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函数奇偶性对称性周期性


函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思

维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:
对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立, 则称函数 f ( x) 具有周期性,T 叫做 f ( x) 的一个周期,则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x) 的 周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x) 的最小正周期。 分段函数的周期:设 y ? f ( x) 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C: y ? f ( x),

x ? ?a, b?, T ? b ? a 。把 y ? f ( x)沿x轴平移KT ? K (b ? a) 个单位即按向量
a ? (kT,0)平移,即得y ? f ( x) 在其他周期的图像:

y ? f ( x ? kT), x ? ?kT ? a, kT ? b? 。
? f ( x) f ( x) ? ? ? f ( x ? kT) x ? ?a, b? x ? ?kT ? a, kT ? b?

2、奇偶函数: 设 y ? f ( x), x ? ?a, b?或x ? ?? b,?a? ? ?a, b? ①若 f (? x) ? ? f ( x), 则称y ? f ( x)为奇函数; ②若 f (? x) ? f ( x)则称y ? f ( x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性

3、函数的对称性: (1)中心对称即点对称: ①点 A( x, y)与B(2a ? x,2b ? y)关于点(a, b)对称; ② 点A(a ? x, b ? y)与B(a ? x, b ? y)关于(a, b)对称; ③ 函数y ? f ( x)与2b ? y ? f (2a ? x)关于点(a, b)成中心对称; ④ 函数b ? y ? f (a ? x)与b ? y ? f (a ? x)关于点(a, b)成中心对称; ⑤ 函数F(x, y) ? 0与F (2a ? x,2b ? y) ? 0关于点(a, b)成中心对称。 (2)轴对称:对称轴方程为: Ax ? By ? C ? 0 。 ① 点A( x, y)与B( x / , y / ) ? B( x ?
2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) 关于 2 2 A ?B A2 ? B 2

直线 Ax ? By ? C ? 0成轴对称; ②函数 y ? f ( x)与y ?
2 B( Ax ? By ? C ) 2 A( Ax ? By ? C ) ? f (x ? ) 关于直线 2 2 A ?B A2 ? B 2

Ax ? By ? C ? 0 成轴对称。

③ F ( x, y) ? 0与F ( x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ? 0 关于直线 2 2 A ?B A2 ? B 2

Ax ? By ? C ? 0 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数 y ? f ( x) 图象本身的对称性(自身对称)

若 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) , 则 f ( x) 具有周期性; 若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) , 则 f ( x) 具有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。
1、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? y ? f ( x) 图象关于直线 x ?

(a ? x) ? (b ? x) a ? b 对称 ? 2 2

推论 1: f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) 推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) 2、 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c

? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x) 的图象关于点 (
a?b , c) 对称 2

推论 1、 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 推论 2、 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b

? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称

推论 3、 f (? x) ? f (2a ? x) ? 2b ? y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 图象关于 Y 轴对称 2、奇函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 图象关于原点对称函数 3、函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 图象关于 X 轴对称 4、互为反函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f
?1

( x) 图象关于直线 y ? x 对称

5.函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 图象关于直线 x ?

b?a 对称 2

推论 1:函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (a ? x) 图象关于直线 x ? 0 对称 推论 2:函数 y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 图象关于直线 x ? a 对称 推论 3:函数 y ? f (? x) 与 y ? f (2a ? x) 图象关于直线 x ? ?a 对称

(三)抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x) 性质 2 若函数 y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1(或 2)当 a=0 时的特例。

2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=f[g(x)],则复 数函数 y=f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=-f[g(x)],则 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数。 说明: (1) 复数函数 f[g(x)]为偶函数, 则 f[g(-x)]=f[g(x)]而不是 f[-g(x)] =f[g(x)],复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则 f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是 f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a);y=f(x +a)为奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x) (3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数 y=f(x)关于直线 x =a 轴对称(或关于点(a,0)中心对称) 3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x=(b-a)/2 轴对称 性质 4、复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中 心对称 推论 1、 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(a-x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若 a 是非零常数,若对于函数 y=f(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。

①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称,则函数 f(x)必 为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 6、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函 数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 7、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 x=b 轴对 称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=4|a-b|
6、函数对称性的应用 (1)若 y ? f ( x)关于点(h, k )对称,则x ? x ? 2h, y ? y ? 2k ,即
/ /

f ( x) ? f ( x / ) ? f ( x) ? f (2h ? x) ? 2k f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f (2h ? xn ) ? f (2h ? xn?1 ) ? ? ? f (2h ? x1 ) ? 2nk
(2)例题 1、 f ( x) ?

1 1 关于点( , )对称:f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ; 2 2 a ? a
x

ax

f ( x) ?

4x ?1 ? 2 x ? 1关于(0, 1 )对称:f ( x) ? f (? x) ? 2 2 x ?1

f ( x) ?

1 1 1 1 (? ? R, x ? 0)关于( , )对称:f(x) ? f ( ) ? 1 2 2 x x ?1
?

2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称: f ( x) ? f (? x) ? 0 。 3、 若 f ( x) ? f (2a ? x)或f (a ? x) ? f (a ? x), 则y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对 称。设 f ( x) ? 0有n个不同的实数根,则

x1 ? x2 ? ? ? xn ? x1 ? (2a ? x1 ) ? x2 ? (2a ? x2 ) ? ? ? x n ? (2a ? x n ) ? na .
2 2

(当n ? 2k ? 1时,必有x1 ? 2a ? x1 , ? x1 ? a)

(四)常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

1、 f ( x ? T ) ? f ( x) ( T ? 0 ) ? y ? f ( x) 的周期为 T , kT ( k ? Z )也是函数的周期 2、 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ? y ? f ( x) 的周期为 T ? b ? a 3、 f ( x ? a) ? ? f ( x) 4、 f ( x ? a) ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

1 f ( x) 1 f ( x)

5、 f ( x ? a) ? ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

6、 f ( x ? a ) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 1 f ( x) ? 1

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 3a

7、 f ( x ? a) ? ?

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 2a

8、 f ( x ? a ) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

? y ? f ( x) 的周期为 T ? 4a ? y ? f ( x) 的周期为 T ? 6a

9、 f ( x ? 2a) ? f ( x ? a) ? f ( x)

10、若 p ? 0, f ( px) ? f ( px ?

p p ) , 则T ? . 2 2

11、 y ? f ( x) 有两条对称轴 x ? a 和 x ? b (b ? a) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:偶函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2a 12、 y ? f ( x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b ? a) ? y ? f ( x) 周期 T ? 2(b ? a) 推论:奇函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 周期 T ? 4a 13、 y ? f ( x) 有一条对称轴 x ? a 和一个对称中心 (b,0) (b ? a) ? f ( x) 的 T ? 4(b ? a)

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分 析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。 1.求函数值 例 1. ( 1996 年 高考题) 设 f ( x) 是 (??,??) 上 的奇函 数, f (2 ? x) ? ? f ( x), 当

0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) 等于(-0.5)

(A)0.5;

(B)-0.5;

(C)1.5;

(D)-1.5.

例 2. (1989 年北京市中学生数学竞赛题)已知 f ( x) 是定义在实数集上的函数,且

f ( x ? 2)?1 ? f ( x)? ? 1 ? f ( x) , f (1) ? 2 ? 3 , 求 f (1989 ) 的值. f (1989 ) ? 3 ? 2 。
2、比较函数值大小 例 3. 若 f ( x)( x ? R) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? x
1 1998

, 试比较

f(

98 101 104 )、 f ( )、 f ( ) 的大小. 19 17 15
解:? f ( x)( x ? R) 是以 2 为周期的偶函数,又? f ( x) ? x
1 1998

在 ?0,1? 上是增函数,且

0?

1 16 14 1 16 14 101 98 104 ? ? ? 1 ,? f ( ) ? f ( ) ? f ( ), 即f ( ? f( )? f( ). 17 19 15 17 19 15 17 19 15 3、求函数解析式
例 4.(1989 年高考题)设 f ( x) 是定义在区间 (??,??) 上且以 2 为周期的函数,对

k ? Z ,用 I k 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1), 已知当 x ? I 0 时, f ( x) ? x 2 . 求 f ( x) 在 I k 上的解
析式. 解:设 x ? (2k ? 1,2k ? 1),? 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 ? ?1 ? x ? 2k ? 1

? x ? I 0 时,有 f ( x) ? x 2 ,?由 ? 1 ? x ? 2k ? 1得f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k ) 2

? f ( x) 是以 2 为周期的函数,? f ( x ? 2k ) ? f ( x),? f ( x) ? ( x ? 2k ) 2 .
例 5.设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 是偶函数,在区 间 ?2,3? 上, f ( x) ? ?2( x ? 3) ? 4. 求 x ? ?1,2? 时, f ( x) 的解析式.
2

解:当 x ? ?? 3,?2? ,即 ? x ? ?2,3? ,

f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x ? 3) 2 ? 4 ? ?2( x ? 3) 2 ? 4
又 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,于是当 x ? ?1,2? ,即 ? 3 ? x ? 4 ? ?2 时,

有f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x) ? ?2?( x ? 4) ? 3? ? 4 ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).
2

? f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).

4、判断函数奇偶性
例 6.已知 f ( x) 的周期为 4,且等式 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 对任意 x ? R 均成立,

判断函数 f ( x) 的奇偶性. 解:由 f ( x) 的周期为 4,得 f ( x) ? f (4 ? x) ,由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得

f (? x) ? f (4 ? x) ,? f (? x) ? f ( x), 故 f ( x) 为偶函数.

5、确定函数图象与 x 轴交点的个数
例 7.设函数 f ( x) 对任意实数 x 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ?

f (7 ? x)且f (0) ? 0, 判断函数 f ( x) 图象在区间 ?? 30,30? 上与 x 轴至少有多少个交点.
解:由题设知函数 f ( x) 图象关于直线 x ? 2 和 x ? 7 对称,又由函数的性质得

f ( x) 是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 ?0,10 ? 上,
f (0) ? 0, f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2 ? 2) ? f (0) ? 0且f ( x)不能恒为零,
故 f ( x) 图象与 x 轴至少有 2 个交点. 而区间 ?? 30,30 ? 有 6 个周期,故在闭区间 ?? 30,30 ? 上 f ( x) 图象与 x 轴至少有 13 个交 点.

6、在数列中的应用
例 8. 在数列 ?a n ? 中, a1 ?

3, an ?

1 ? a n ?1 (n ? 2) ,求数列的通项公式,并计算 1 ? a n ?1

a1 ? a5 ? a9 ? ? ? a1997 .
分析:此题的思路与例 2 思路类似. 解:令 a1 ? tg? , 则 a 2 ?

1 ? a1 1 ? tg? ? ? ? tg ( ? ? ) 1 ? a1 1 ? tg? 4

1 ? a2 a3 ? ? 1 ? a2 ????

1 ? tg ( 1 ? tg (

? ?
4

??) ??)

? tg (2 ?

?
4

??)

4

1 ? a n ?1 ? ? ? ? ? ? ? a n ?1 ? tg ?(n ? 1) ? ? ? ?, 于是a n ? ? tg ?(n ? 1) ? ? ? 4 1 ? a n ?1 4 ? ? ? ?
不难用归纳法证明数列的通项为: a n ? tg (

?
4

n?

?
4

? ? ) ,且以 4 为周期.

于是有 1,5,9 ?1997 是以 4 为公差的等差数列,

? a1 ? a5 ? a9 ? ? ? a1997 ,由 1997 ? 1 ? (n ? 1) ? 4 得总项数为 500 项,

? a1 ? a5 ? a9 ? ? ? a1997 ? 500 ? a1 ? 500 3.

7、在二项式中的应用
例 9.今天是星期三,试求今天后的第 92 天是星期几? 分析:转化为二项式的展开式后,利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解:? 92
92 0 1 90 91 ? (91 ? 1) 92 ? C92 9192 ? C92 9191 ? ? ? C92 912 ? C92 ? 91 ? 1

92

0 1 90 ? 92 92 ? (7 ? 13 ? 1) 92 ? C 92 (7 ? 13) 92 ? C 92 (7 ? 13) 91 ? ? ? C 92 (7 ? 13) 2 91 ? C 92 (7 ? 13) ? 1

因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子,最后一项为 1,即为余数, 故 92 天为星期四.
92

8、复数中的应用
例 10. (上海市 1994 年高考题) 设z ? ? 且大于 1 的正整数 n 中最小的是 ? (A) 3 ; (B)4

1 3 n ? i (i是虚数单位) , 则满足等式 z ? z, 2 2

?
; (C)6 ; (D)7.

分析:运用 z ? ?
n

1 3 ? i 方幂的周期性求值即可. 2 2
n ?1

解:? z ? z,? z ( z

? 1) ? 0 ? z n?1 ? 1 ,

? z 3 ? 1,? n ? 1必须是3的倍数, 即n ? 1 ? 3k (k ? N ), ? n ? 3k ? 1(k ? N ). ? k ? 1时, n最小,? (n) min ? 4.故选择( B )

9、解“立几”题
例 11.ABCD— A1 B1C1 D1 是单位长方体,黑白二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走 一 条 棱称 为 “走 完一 段 ” 。 白 蚁爬 行 的路 线是 AA1 ? A1 D1 ? ?, 黑 蚁 爬 行的 路 线是

AB ? BB1 ? ?. 它们都遵循如下规则:所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必
须是异面直线(其中 i ? N ) .设黑白二蚁走完第 1990 段后,各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑白蚁的距离是 ?

?
; (D)0.

(A)1; (B) 2 ; (C) 3

解:依条件列出白蚁的路线 AA1 ? A1 D1 ? D1C1 ? C1C ? CB ?

BA ? AA1 ? ?, 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知:黑白二蚁走
完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周期. 1990=6 ? 331 ? 4 ,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出 在走完四段后黑蚁在 D1 点,白蚁在 C 点,故所求距离是 2.

例题与应用
例 1:f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时 f(x)=x,求 f(2007) 的值 例 2:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求 f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 例 3:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2,0? 时,f(x)=- 2x+1,则当 x ? ?4,6? 时求 f(x)的解析式 例 4:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+999)= ? 试判断函数 f(x)的奇偶性. 例 5:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ? ?? 2,0? 时,f(x)是减 函数,求证当 x ? ?4,6? 时 f(x)为增函数 例 6:f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x) 在[5,9]上单调.求 a 的值. 例 7:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(x)= f(4-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0, 求在区间[-1000,1000]上 f(x)=0 至少有几个根? 解:依题意 f(x)关于 x=2,x=7 对称,类比命题 2(2)可知 f(x)的一个周期是 10 故 f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间(0,10]上,方程 f(x)=0 至少两个根 又 f(x)是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根,

1 ,f(999+x)=f(999-x), f ( x)

2000 =401 个根. 10 例 1、 函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y= f(6-x)的图象之间(D ) A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 解:据复合函数的对称性知函数 y=-f(x+4)与 y=f(6-x)之间关于 点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选 D。(原卷错选为 C) 例 2、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于 x=1 对称,证明 f(x) 是周期函数。(2001 年理工类第 22 题) 例 3、 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时 f(x)=x,则 f(7.5)等于(-0.5)(1996 年理工类第 15 题)
因此方程 f(x)=0 在区间[-1000,1000]上至少有 1+ 2 ?

例 4、 设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x),f(20- x)=-f(20+x),则 f(x)是(C ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 六、巩固练习
1、函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的函数,那么 y=-f(x+4)与 y= f(6-x)的图象( )。 A.关于直线 x=5 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称 2、设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7.5)=( )。 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 3、设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足 f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是( )。 A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 4、f(x)是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x=1 对称,证明 f(x)是周期函数。 参考答案:D,B,C,T=2。

{xn}中,已知x1 ? x2 ? 1,xn? 2 ? xn?1 ? xn (n ? N *), 5、在数列 求 x100 =-1.


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函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函数的单调性奇偶性周期性对称性之间的关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。大部分学生会对选填压轴题中的设计抽象函数性质的问题(周期、对称、奇偶等)非常...

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

函数单调性、奇偶性周期性对称性的综合应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数单调性、奇偶性周期性对称性的综合应用一、知识回顾: 1、对于给定区间...

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性

在定义域内讨论函数单调性,并会求单调区间。 2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。 3. 求周期函数周期,利用函数周期性对称性,求某一点处函数...

函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析

函数单调性、奇偶性对称性周期性解析_高一数学_数学_高中教育_教育专区。苏教版必修一函数龙文教育教师: 学生: 课题 年级: 数学 学科导学案(第星期: 次课)...

对称性周期性奇偶性

对称性周期性奇偶性_数学_高中教育_教育专区。2015年高考复习 函数对称性、周期性奇偶性全解析(很有用)函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、...