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三角函数解答题—三角函数(单调性)


三角函数解答题—三角函数(单调性)
例 1 ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 已知函数

?? ? 的最小正周期为 ? . f ( x) ? 4 cos ? x? sin ( ? 0) ? ? x? ? ? 4? ?
(Ⅰ)求? 的值;
【答案】解:

(Ⅱ)讨

论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

(Ⅰ)

? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ? 2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

?
4

)? 2

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ? (sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

?

?

?

?

?

例 2(2012 高考真题北京理 15) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。 【答案】解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈),

故 f(x)的定义域为{x∈|x≠kπ,k∈}. 因为 f(x)= ?sinx-cosx?sin2x sinx

=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π? ? = 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π? ? (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?(k∈). ? ? π π π 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈), π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈).
1

π 3π? ? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈). ? ? ? ?
例 3(2012 高考湖南文 18) (本小题满分 12 分)

π? ? 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?x∈R,ω>0,0<φ<2?的部分图象如图 1-6 所示. ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

图 1-6
【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

(0 , 1 ) 又点 在 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin
f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

?

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12
2

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?

3


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