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2015高考数学总复习专题系列——数列.版块一.数列的概念.学生版

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数列的概念

典例分析
【例1】 请写出下面数列的一个通项公式. ⑴ 2 , 0 , 2 , 0 , 2 ,? 1 1 1 1 ⑵? , ,? , ,… 2 6 12 20 ⑶请写出下面数列的一个通项公式: 0.9,0.99,0.999,0.9999,

【例2】 ⑴ 请写出下面数列的一个通项公式:

1 9

25 , 2 , , 8 , ?, 2 2 2 ⑵ 请写出下面数列的一个通项公式: 1 , 2 , 3 ,4, 5 , 8 , 7 , 16 , 9 ?,

【例3】 观察下列等式: n 1 2 1 ? i ? n ? n, i ?1 2 2 n 1 1 2 1 2 3 ? i ? n ? n ? n, i ?1 3 2 6 n 1 1 1 3 4 3 2 ?i ? n ? n ? n , i ?1 4 2 4 n 1 5 1 4 1 3 1 4 ? i ? n ? n ? n ? n, i ?1 5 2 3 30 n 1 1 5 1 2 5 6 5 4 ?i ? n ? n ? n ? n , i ?1 6 2 12 12 n 1 1 1 1 1 6 7 6 5 3 ? i ? n ? n ? n ? n ? n, i ?1 7 2 2 6 42 ??????????????
i ?1 k k ?2 k k ?1 k ?2 ? i ? ak ?1n ? ak n ? ak ?1n ? ak ? 2 n ? ??? ? a1n ? a0 , n

可以推测,当 n ≥ 2 时, ak ?1 ?
ak ? 2 ?

1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2

.

1

【例4】 ⑴根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数, 写出点数的通项公式.

⑵将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ≥ 3) 从左向右的第 3 个数为



【例5】 如下图,第⑴个多边形是由正三角形“扩展“而来,第⑵个多边形是由正方形

“扩展”而来,??,如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数 为 a n ,则 a 6 ?

【例6】 观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多

是( ) ,其通项公式为 A.40 个 B.45 个 C.50 个

. D.55 个

2

【例7】 将正 ?ABC 分割成 n2 ( n ≥ 2 , n ? N? )个全等的小正三角形(图 2 ,图 3 分别

给出了 n ? 2 ,3 的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于 ?ABC 的 三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别依次成 等差数列.若顶点 A , B , C 处的三个数互不相同且和为 1 ,记所有顶点上的 数之和为 f (n) , 则有 f (2) ? 2 , f (3) ? _________, , f (n) ? _____________.

图2

图3

【例8】 已知一个数列的通项公式是 an ? 30 ? n ? n2 . ⑴ 问 ? 60 是否是这个数列中的项? an ? 0 , an ? 0 ? ⑵ 当 n 分别为何值时, an ? 0 , ⑶ 当 n 为何值时, a n 有最大值?并求出最大值.

【例9】 一个数列的通项公式是 an ? n2 ? 8n ? 13 ,写出此数列的前五项,并求此数列的

最小项的值?

【例10】 数列 {an } 中,a1 ? 1 ,对所有的 n ≥ 2 ,都有 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? n2 ,求数列 {an } 的

通项公式 a n .

3

【例11】 已知整数以按如下规律排成一列: ?1 , 1? 、 ?1 , 2 ? 、 ? 2 , 1? 、 ?1 , 3? 、 ? 2 , 2? , ? 3 , 1? ,

?1 , 4 ? , ? 2 , 3? , ?3 , 2? , ? 4 , 1? ,……,则第 60 个数对是(
A. ?10 , 1? B. ? 2 , 10 ? C. ? 5 , 7 ? D. ? 7 , 5?



【例12】 已知数列 A : a1 , a2 ,

, an

? 0≤ a1 ? a 2 ?

? an , n ≥ 3 ? 具有性质 P :对任意

i , j ?1≤ i ≤ j ≤ n ? , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项.现

给出以下四个命题: ① 数列 0 , 1 , 3 具有性质 P ;
② 数列 0 , 2 , 4 , 6 具有性质 P ; ③ 若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④ 若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ≤ a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

2 2 【例13】 在数列 ?an ? 中,若 an ( n ≥ 2, n ? N? , p 为常数) ,则称 ?an ? 为“等 ? an ?1 ? p ,

方差数列” .下列是对“等方差数列”的判断:
2 ①若 ?an ? 是等方差数列,则 an 是等差数列;

? ?

② (?1)n 是等方差数列; ③若 ?an ? 是等方差数列,则 ?akn ? ( k ? N? , k 为常数)也是等方差数列; ④若 ?an ? 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 . (将所有正确的命题序号填在横线上)

?

?

【例14】 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,a2 ? 3 ,an?1 ? ? 2n ? ? ? an( n ? 1 , 2 , A. 15 B. 10 C. 9 D. 5

) , 则 a3 等于 (



4

【例15】 在一个数列中,若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数(有限数列最

后一项除外) ,则称该数列为等积数列,其中常数称公积.若数列 ?an ? 是等积 数列,且 a6 ? 2 ,公积为 6 ,则 a1 ? a5 ? a9 ????? a2005 ? a2009 的值是(
A. 2502 B. 3502 C. 2503 D. 3503



5


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