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5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质


三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象及其变换
【知识点梳理】
一、三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 五点作图法 设 X ? ? x ? ? ,令 X ? 0 、

? 3? 、? 、 、 2? 求出相应的 x 值,得到 5 个关键点的坐标,描点 2 2

后画出图象. 二、三角函数 y ?

A sin(?x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0) 的伸缩平移 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 图象与函数 y ? sin x 图象的关系: ①函数 y ? sin x 的图象的纵坐标不变,横坐标向左 ?? ? 0 ? 或向右 ?? ? 0 ? 平移 (左加右减) y ? sin? x ? ? ? 的图象; ②函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的 图象;

? 个单位得

1

?

,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的

③函数 y ?sin ?? x ? ? ? 的 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数 ④函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 的图象的横坐标不变,纵坐标向上 ( B ? 0) 或向下 ( B ? 0) 平移 B 个单

y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象;
位,得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的图象. (上加下减) 三、简谐运动 y ? A sin(?x ? ? ) ( x ?[0,??), A ? 0, ? ? 0) 的相关概念 1、振幅:做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 A; 2、最小正周期:做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 T ?

2?

? 1 ? 3、频率:做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 f ? ? ; T 2? 4、 ?x ? ? 称为相位, x ? 0 时的相位 ? 称为初相.
四、 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质及题型(整体思想) 1 .最小正周期: T ?



2?

? 2. 单调区间:把 ?x ? ? 看成一个整体代入到 y ? sin x 的单调区间内求解
3.最值:注意自变量的取值范围。 4.奇偶性判断 五、 y ? A tan(?x ? ? ) 的性质及题型 1. 求最小周期 T ?

? ?

2. 把 ?x ? ? 看成一个整体代入到 y ? tan x 的单调区间内求解 3.奇偶性判断

1

题型一

例题 1:利用五点作图法画出函数 y ? sin 2 x ? 1 在区间 ? 0, ? ? 上的图象.

三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 五点作图法

题型二

三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0) 的伸缩平移

例题 2:为得到函数 y ? 2sin ? ( ) A、向左平移

?x ?? ? ? ? x ? R ? 的图象,只需把函数 y ? 2sin x , x ? R 图象上所有的点 ?3 6?

? 1 的单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? 1 B、向右平移 的单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? C、向左平移 的单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D、向右平移 的单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? ?? ? 例题 3:将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象先向左平移 ,然后将得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 6 3? ?
倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应函数解析式为( A、 y ? ? cos x 题型三 B、 y ? sin 4 x ) C、 y ? sin ? x ?

三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与性质

? ?

??
? 6?

D、 y ? sin x

例题 4: (1)下列函数,在 [ , ?? 上是增函数的是( A. y ? cos 2 x B. y ? cos x

? 2

) D. y ? sin x

C. y ? sin 2 x

? ) 的递减区间是( ) 6 ? ? ? 2? 2? 2? ] , ] A. [ ? , ] B. [ , C. [ ? 2 2 3 3 3 3 (3)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( )
(2)下列区间中,函数 y ? 3sin( x ? 2

D. [ ??,0]

A. y ? tan 2 x (4)函数 y = sin(2x+ A.x = -

B. y ? sin x

C. y ? sin ?

? 2

5? )的图象的一条对称轴方程是 ( 2
B.x =-

?π ? ? 2x ? ?2 ?


D. y ? cos ?

? 3π ? ? 2x ? ? 2 ?

(5)函数 y ? sin 2( x ? A.点 (

?
6

? 4

C.x = )

? 8

D.x =

5? 4

) 的图象关于 (
B.点 (?

? ,0)对称 12

?
6

,0)对称

C.直线 x ?

例题 5:已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

? ? 对称 D.直线 x ? ? 对称 3 3

),

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间;

3? ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4 (7)求函数 f ( x) 的对称轴与对称中心;
(6)若 x ? [0,

\

3

例题 6:求函数 y=tan(2x-

? )的单调增区间. 3

题型四

函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0) 的解析式的求法

例题 7: 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 解析式。

? ?

??

求函数 f ? x ? 的 ? 的部分图象如图所示, 2?

例题 8: 设 y ? A sin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的最高点 D 的坐标为 2, 2 , 由最高点运动到相邻 的最低点时,曲线与 x 轴交点 E 的坐标为 ?6,0? . (1)求 A、 ? 、 ? 的值; (2)求函数的单调增区间。

?

?

4

【方法与技巧总结】 1、“五点作图法”的步骤: 用“五点法”作图要找出五个关键点,即 z ? ? x ? ? ? 0 、 时,先由 z ? ? x ? ? ? 0 、

? 3? 、? 、 、 2? ,求出 x 的值和 y 的值再描点画图,一般五点作图包括 2 2

? 3? 、? 、 、 2? 对应的五点.作图 2 2

三类点,即最高点、最低点和对称中心点.当题目中所给区间的端点不是关键点时,需要将端点和区间 内四个关键点描出. 2、 图象变换的两种方法 如果是“先平移后伸缩”,是先平移 ? 个单位后再将横坐标变为原来的 移”,是先将横坐标变为原来的 3、根据图象求解析式的方法

1

?

;如果是“先伸缩后平

1

?

,再平移

? 个单位. ?

利用函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? b 求 A 、 b 、? 、? 的值或求确定函数解析式时,一般先求 A 和 b ,

其中 A ?

ymax ? ymin y ? ymin 2? , b ? max ;求 ? ?? ? 0? 时,一般根据公式 ? ? (其中 T 是对应函数 T 2 2

的最小正周期) ,确定函数的最小正周期一般是将函数的最小正周期分为四等份(由函数在一个周期内 的五个关键点确定) ,根据图中的两个关键点确定函数的最小正周期;在求初相 ? ,一般根据根据关键 点而确定,一般认为最高点对应的相位值为

近图象为单调递增)与 ? (附近图象为单调递减) ,将对应的横坐标代入即可求解. 4、“局部——整体”思想 (1)求函数的单调区间:由 ?x ? ? 的取值范围确定 x 的取值范围(整体到局部) ; (2)已知 x 的取值范围求值域:由 x 的取值范围确定 ?x ? ? 的取值范围(局部到整体) .

? 3? ,最低点的相位值为 ,对称中心点的相位值为 0 (附 2 2

【课后练习】
1. 用五点作图法作函数 y ? sin 2 x 在一个周期内的图象, 所选择的五个关键点的横坐标分别为 ( A、0、 ) .

? 3? ? ? 3? 、? 、 、 2? B、0、 、 、 、? 2 2 4 2 4 ? ? 3? ? C、0、 、 、 、 D、0、 ? 、 2? 、 3? 、 4? 8 4 8 2 ?? ? 2.简谐运动 y ? 3 sin ? 5 x ? ? 的相位和初相分别是( ). 4? ? ? ? ? ? ? A、3,5 B、 5 x ? , C、3, D、 , 5 x ? 4 4 4 4 4 ? 3.把函数 y ? sin x ? x ? R? 的图象上所有点向左平移 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标 6 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到图象所表达的解析式是( ).
5

?? ? ?, x ? R 3? ? ?? ?1 D、 y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? ?2 ?? ? 4.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象( ). 6? ? ? ? ? ? A、向右平移 个单位 B、向左平移 个单位 C、向右平移 个单位 D、向左平移 个单位 6 6 12 12 ? 5.函数 f ? x? ? Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? )的部分图象如图所示,则 ? 、 ? 的值分 y 2
A、 y ? sin ? 2 x ? B、 y ? sin ? 2 x ? 别为( ) .

?? ? ?, x ? R 3? ? ?? ?1 C、 y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? ?2

? A、2, 3

1 ? B、 , 2 6

C、2, ?

?
3

? D、2, 6

1 11π 12

O

π 6

x

6. 已知 f ?x ? ? sin ?3x ? ? ? 的图象的一个对称中心是 ? ? (1)

? 4

B、 ?

?
4

C、

7? 12

图3 ? 7? ? ) . ,0 ? ,则 ? 可取( ? 12 ? 7? D、 ? 12

7.已知函数 f ?x ? ? cos? 2 x ?

) . ?( x ? R) ,下面结论错误的是( 2? A、函数 f ?x ? 的最小正周期为 ? B、函数 f ?x ? 是奇函数 ? ? ?? C、函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? 对称 D、函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上是减函数 4 ? 2? ? ?? ? 8.把函数 y ? 3 sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,则得到的函 6 3? ? 数的解析式是 . . 9.函数 y ? A sin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的图象如图所示,则函数解析式为 y= 10.已知函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?

??

? ?1 . 4?

(1)用“五点法”画出函数的草图; (2)函数图象可由 y ? sin x 的图象怎样变换得到?

11.已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 在一个周期内的图象如图: (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间. 6

12.已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? 0) ,图象最低点的纵坐标是 ? 3 ,相邻的两 个对称中心是 ?

? ? ? ? 5? ? ,0 ? 和 ? ,0 ? . ?3 ? ? 6 ? (1)求 f ?x ? 的解析式; (2)求 f ?x ? 的值域; (3)求 f ?x ? 的对称轴.

课后练习答案: 1.选 B. 2.选 B.

3.选 C.

4.选 C. 5.选 D.

? ? 7? ? ? 7? ? ?? ? 6. 选 B. 由于 f ? ? 则s ∴s 验证各选项可知仅当 ? ? ? i n ?? ?? ? ? 0 , i n ? ?? ? ? 0 , ??0, 4 ? 12 ? ? 4 ? ?4 ? ?? ? 时满足 sin ? ? ? ? ? 0 . ?4 ? ?? ? 7.选 D. f ?x ? ? cos? 2 x ? ? ? ? sin 2 x ,所以最小正周期为 ? ,所以选项 A 正确; 2? ? f ?? x? ? ? sin 2?? x? ? sin 2 x ? ? f ?x? ,所以函数 f ?x ? 是奇函数,所以选项 B 正确; ? ?? ? ? ?? 由于 f ? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ?1 ,则当 x ? 时,函数 f ?x ? 取最小值-1,所以函数 f ?x ? 的图象 4 4? ?4? ? ? 关于直线 x ? 对称,所以选项 C 正确; 4 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? 对 于 区 间 ?0, ? 内 的 和 , ? , 但 是 f ? ? ? ?1 , f ? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? 0 , 则 4 2 4 2 2? ? 2? ?4? ?2? ? ?? ? ?? ? ? ?? f ? ? ? f ? ? ,所以函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上不是减函数,所以选项 D 错误. ? 2? ?4? ?2? 8. y ? 3 sin 2 x ? 1 T 5? 3? ?? ?2 ?? ? 9. 5 sin ? x ? ? .由图知, A ? 5 ,由 ? ,知 T ? 3? , 2 2 2 3? ?3 2? 2 ?2 ? ? ,则 y ? 5 sin ? x ? ? ? , ∴? ? T 3 ?3 ?
7

?? ? ?2 ? ?? ? ,5 ? ,将其代入 y ? 5 sin ? x ? ? ? ,得 5 sin ? ? ? ? ? 5 , ?4 ? ?3 ? ?6 ? ? ? ? ∴ ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解得 ? ? 2k? ? (k ? Z ) , 6 2 3 ? ?? ?2 由于 ? ? ? ,则 ? ? ,∴ y ? 5 sin? x ? ? . 3 3? ?3
由图象知最高点坐标为 ? 10. 【解析】 (1)列表: π 2x+ 4 0 - π 8 1 π 2 π 8 2 π 3π 8 1 3π 2 5π 8 0 2π 7π 8 1

x y

描点、连线如图所示:

? ? 7? ? ? ? 1 在 ?? , ? 的图象向左(右)平移 k? (k ? Z ) 个单位, 4? ? 8 8 ? ?? ? 即得到 y ? sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? ? ?? ? (2)将 y ? sin x 向左平移 个单位得到 y ? sin ? x ? ? , 4 4? ? 1 ?? ?? ? ? 将 y ? sin ? x ? ? 横坐标变为原来的 得到 y ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? 4? ? ? ?? ?? ? ? 将 y ? sin ? 2 x ? ? 所有点向上平移 1 个单位得到 y ? sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? 4? ? ? 2? ? 5? ? ? ?? ? 2 ,故 y ? 2 sin?2 x ? ? ? . 11. 【解析】 (1)由图得 A ? 2 , T ? 2? ? ? ? ?? ? ? , ? ? T 12 12 ? ? ? ?
将 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ,即 sin ? ? ? ? ? ? 1, 12 ? ? 6 ? 2? 2? 2? ? ? (k ? Z ) ,又 ? ? ? ,∴ ? ? ∴ ? ? 2k? ? ,得函数解析式为 y ? 2 sin ? 2 x ? ?. 3 3 3 ? ? 2? ? ? ? ? (2)令 z ? 2 x ? ,函数 y ? sin z 的单调递增区间是 ?? ? 2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) , 3 2 ? 2 ? ? 2? ? 7? ? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? ? ? k? (k ? Z ) , 由 ? ? 2k? ? 2 x ? 2 3 2 12 12 2? ? ? ? ? 7? ? ? k? ,? ? k? ? (k ? Z ) . 所以函数 y ? 2 sin ? 2 x ? ? 的递增区间为 ?? 3 ? 12 ? ? 12 ? 2? ? 5? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,∴ ? ? 2 ,∴ f ?x? ? 3 sin ?2x ? ? ?. 12. 【解析】 (1) A ? 3 , T ? ? ? 6 3?
又 2 sin ? ? 2 ?

? ?

?

8

? 2? ? ? 2? ? ? ? ? ? 0 ,∴ sin ? ?? ? ? 0. ? 3 ? ? 3 ? 2? 2? ? ? 又 ? ? ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ,∴ f ?x ? ? 3 sin ? 2 x ? ?. 3 3 ? ?
又∵ f ?3? ? 0 ∴ 3 sin ? (2)值域是 ? 3, 3 . (3)令 2 x ? 例题答案: 例题 1: 【解析】令 z ? 2 x ,? x ??0, ? ?,?2x ??0, 2? ? ,? z ??0, 2? ? ,且 x ?

?

2? ? 7? k? 7? k? ? ? k? ,得 x ? ? ? (k ? Z ) ,∴对称轴是直线 x ? (k ? Z ) . 3 2 12 2 12 2
z , 2

?

z

0

x

0

0 sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 故函数 y ? sin 2 x ? 1 在区间 ? 0, ? ? 上的图象如下图所示:

? 2 ? 4 1 2

?
? 2 0 1

3? 2 3? 4 ?1 0

2?

?
0 1

【点评】用“五点法”作图要明确哪“五点”,即 z ? ? x ? ? ? 0 、 作图时,先由 z ? ? x ? ? ? 0 、

? 3? 、? 、 、 2? ,求出 x 的值和 y 的值再描点画图,一般五点作图 2 2
向左平移 个单位长度 6

? 3? 、? 、 、 2? 对应的五点, 2 2

包括三类点,即最高点、最低点和对称中心点,有时也需要将端点描出.

? ? 横坐标缩短为原来的2 倍 ? ? y ? 2sin ? x ? ? ???????? 例题 2: 【解析】选 C.函数 y ? 2sin x ??????? 纵坐标不变 6? ? ?x ?? y ? 2sin ? ? ? . ?3 6?
1

?

【点评】考查三角函数图象先平移后伸缩的方法.
个单位长度 ? ? 向左平移? ? ? ?? ?? ? 6 ? y ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin 2 x ? ??????? 3? 6 ? 3? ? ? ? ?1 ? 横坐标变为原来的2 倍 ??????? ? y ? sin ? ? 2 x ? ? sin x . 纵坐标不变 ?2 ? 【点评】当 ? ? 1 时,要先提取出 ? 后再平移.

例题 3: 【解析】选 D.函数 y ? sin ? 2 x ?

例题 4: (1)A (2) B (3) D (4) A (5) B 例题 5: 【解析】 (1)函数的定义域 R ; 9

(2)函数的值域 [ ?2 , 2 ] ; (3) T ? ? ; (4) f ( x) 的最大值为 2,此时 x 的取值集合为 {x | x ?

3? ? k? , k ? Z } , 8

f ( x) 的最小值为-2,此时 x 的取值集合为 {x | x ? ?
(5) f ( x) 的增区间 [ ? (6) [? 2 , 2 ] ; (7) f ( x) 的对称轴为 x ?

?

?
8

? k? ,

3? 3? 7? ? k? ] ; f ( x) 的减区间 [ ? k? , ? k? ] ; 8 8 8

8

? k? , k ? Z } ;

? ? +kπ , +kπ )(k ? Z)是增函数. 2 2 ? ? ? ? k? 5? k? ∴- +kπ <2x- < +kπ ,k ? Z,即- + <x< + ,k ? Z. 12 2 12 2 2 3 2 ? ? k? 5? k? 函数 y=tan(2x- )的单调递增区间是(- + , + ),(k ? Z). 12 2 12 2 3 2? 2? T 5? ? ? ? ? 2 ,且 A ? 2 , ? ? ,?T ? ? ,?? ? 例题 7: 【解析】周期 T 满足 ? T ? 4 12 6 4 函数解析式为 f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ? , ? ? ? 当 x ? 时, f ? x ? 取最大值,则 2 ? ? ? ? ? 2k? ? k ? Z ? , 6 6 2 ? ? ? ? ?? ? ? 2 k? ? k ? Z ? , ? ? ? , ?? ? ? ? ,
例题 6: 【解析】y=tanx,x ? (-

3? k? ? k? ? , k ? Z ,对称中心 ( ? ,0), k ? Z ; 8 2 8 2

?k ? Z ? , 6 2 ? 1 1 ?? ? k ? ,? k ? Z ,? k ? 0 ,?? ? , 6 3 6 ? ? ? ? 函数解析式为 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? 【点评】根据图象求解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ,一般先由最值确定振幅 A,再由图象确定最小周期 T,
?? 2 ? ? 2 k? ?
得出 ? ,最后代入最值的坐标点求出 ? . 例题 8: 【解析】 (1) 由已知条件得 A ? 2 , ?

?

?

6

?

2

2

2

? ? ?? ? ? 6?2 ? 4, 得? ? , ∴ y ? 2 sin? x ? ? ? . 8 2? ?8 ? ?? ? ? ? ∵当 x ? 2 时 y ? 2 ,∴ 2 sin? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ,即 sin? ? ? ? ? 1 , ?4 ? ?8 ? ? ? ? ?? ?? ∴ ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) ,取 k ? 0 ,则 ? ? ,∴函数的解析式为 y ? 2 sin ? x ? ? . 4 4 2 4? ?8 ? ? ? ? (2)当 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ,即 16k ? 6 ? x ? 16k ? 2(k ? Z ) 时,函数单调递增,
T 4

【点评】求单调区间时,一般根据图象单调性由 ?x ? ? 的范围确定 x 的范围. 10

2

8

4

2


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