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浙江师范大学2009年硕士研究生入学考试试题

时间:2012-03-19


浙江师范大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
科目代码: 681 提示: 1、本科目适用专业:基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论; 基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、 2、请将所有答案写于答题纸上,写在试题上的不给分; 3、请填写准考证号后 6 位:____________。 一、 (每小题 4 分,共 20 分)叙述下列各概念或定理。 1. 2. 3. 4.
5.

科目名称:数学分析 数学分析

函数项级数 ∑ un ( x) 在区间 I 上不一致收敛。 二元函数 z = f(x, y)在 P0 ( x0 , y0 ) 点可微。 闭区间套定理。 积分第一中值定理。 黎曼可积的充分必要条件。

二、 (每小题 10 分,共 50 分)计算下列各题。

1.

∫∫ sin x ? y dxdy,
D

π? ? D = ? ( x, y ) : 0 ≤ x, y ≤ ? 。 2? ?

2.

lim

ln cos( x ? 1) 。 x →1 πx 1 ? sin 2
3 3 3

3.

∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy,


∑ : 球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 上半部分,取上侧。

4.

设 z = z ( x, y )由z + e z = xy所确定,求

?2 z 。 ?x ?y

5.

a 3 3 求星形线 x = a cos3 t , y = a sin 3 t上点P ( , a ) 处的切线和星形线以及坐 8 8 标轴围成的在第一象限部分区域的面积。
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(?1)n ?1 ? x ? 1 三、 (14 分)求级数 ∑ ? 3 x 1 ? 的收敛域、和函数 S(x)以及和 S (? 2 ) 。 + ? n =1 n(2 n ? 1) ?
∞ 2n

四、 14 分)证明不等式 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) ≥ 1 + x 2 , ?x ∈ 成立。 (

五、 14 分)讨论函数项级数 ∑ (

(?1)n sin 2 n x π π 在(- , ) 上的一致收敛性、绝对收 2n n 1 + sin x 2 2 n =1


敛性以及绝对一致收敛性。 六、 14 分)设 f(x)在[-1,1]上二阶连续可微, f (0) = 0 ,证明(可用 Taylor 展开) (



1

?1

f ( x)dx ≤

M , 其中M = sup f ''( x) . 3 ?1≤ x ≤1

七、 12 分)两抛物线 y = 1 ? x 2 和y = x 2 ? 1 围成闭区域 D。试求整个位于 D 内且面 ( 积达到最大的圆的方程。 八、 12 分)任取 a ≥ 1,构造数列如下:1 = a, x2 = ( x

a a , x3 = ,K 。试证 a a+a a + a+ a

1. ?n ≥ 2, 有

1 ≤ xn < 1; 2

2. {xn } 收敛,并求其极限值λ。

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