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第4讲 线性规划

时间:2012-12-18


数学建模与数学实验

线性规划

实验目的
1. 了解线性规划的基本内容.

2. 掌握用数学软件包求解线性规划问题.

实验内容
1. 两个引例. 2. 用数学软件包MATLAB求解线性规划问题. 3. 用数学软件包LINDO、LINGO求解线性规划问题. 4. 建模案例:投资

的收益与风险. 5. 实验作业.

两个引例 问题一 : 任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床,可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900,三种工件的数量分别为400、600和500,且已知用三种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要 求,又使加工费用最低?
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900



设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3, 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6,可建立以 下线性规划模型:

min z ? 13x1 ? 9x2 ? 10x3 ? 11x4 ? 12x5 ? 8x6
? x1 ? x4 ? 400 ? x ? x ? 600 ? 2 5 ? x3 ? x6 ? 500 ? s.t. ? ?0.4 x1 ? 1.1x2 ? x3 ? 800 ?0.5 x4 ? 1.2 x5 ? 1.3 x6 ? 900 ? ? xi ? 0, i ? 1, 2,? , 6 ?

解答

问题二: 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
控制,计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为: 速度25件/小时,正确率98%,计时工资4元/小时;二级检验员 的标准为:速度15件/小时,正确率95%,计时工资3元/小时.检 验员每错检一次,工厂要损失2元.为使总检验费用最省,该工 厂应聘一级、二级检验员各几名? 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为:

8 ? 4 ? x1 ? 8 ? 3 ? x2 ? 32 x1 ? 24 x2
因检验员错检而造成的损失为:

(8 ? 25 ? 2% ? x1 ? 8 ?15 ? 5% ? x2 ) ? 2 ? 8x1 ? 12 x2

故目标函数为:

min z ? (32 x1 ? 24 x2 ) ? (8x1 ? 12 x2 ) ? 40 x1 ? 36 x2
约束条件为:

?8 ? 25 ? x1 ? 8 ? 15 ? x2 ? 1800 ?8 ? 25 ? x ? 1800 ? 1 ? ?8 ? 15 ? x2 ? 1800 ? x1 ? 0, x2 ? 0 ?

线性规划模型:

min z ? 40 x1 ? 36 x2

?5 x1 ? 3 x2 ? 45 ?x ? 9 ? 1 s.t. ? ? x2 ? 15 ? x1 ? 0, x2 ? 0 ?
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解答

线性规划模型的一般形式
目标函数和所有的约束条件都是设计变量 的线性函数.

min u ? ? ci xi
i ?1

n

?n ?? aik xk ? bi , i ? 1, 2,..., n. s.t. ? k ?1 ? x ? 0, i ? 1, 2,..., n. ? i

矩阵形式: min u ? cx Ax ? b s.t. vlb ? x ? vub

?

优化模型的分类
实际问题中 min(或 max) z ? f ( x), x ? ( x1 ,?, x n ) T 的优化模型 s.t. gi ( x) ? 0, i ? 1, 2,?, m x是决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)是目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)?0是约束条件

连续规划

整数规划(IP)

用MATLAB优化工具箱解线性规划
1. 模型:

min z=cX
s.t. AX ? b

命令:x=linprog(c, A, b)

2. 模型:min z=cX s.t. AX ? b Aeq ? X ? beq 命令:x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
AX 注意:若没有不等式: ? b 存在,则令A=[ ],b=[ ].

3. 模型:min z=cX s.t. AX ? b Aeq ? X ? beq VLB≤X≤VUB 命令:[1] x=linprog(c,A,b,Aeq,beq, VLB,VUB)

[2] x=linprog(c,A,b,Aeq,beq, VLB,VUB, X0) 注意:[1] 若没有等式约束: Aeq ? X ? beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4. 命令:[x,fval]=linprog(…) 返回最优解x及x处的目标函数值fval.

例1

max

s.t.

z ? 0.4x1 ? 0.28x2 ? 0.32x3 ? 0.72x4 ? 0.64x5 ? 0.6x6 0.01x1 ? 0.01x2 ? 0.01x3 ? 0.03 x4 ? 0.03 x5 ? 0.03 x6 ? 850 0.02x1 ? 0.05x4 ? 700 0.02x2 ? 0.05x5 ? 100 0.03x3 ? 0.08x6 ? 900 xj ? 0 j ? 1,2,?,6

解 编写M文件xxgh1.m如下: c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900];

Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];

To MATLAB (xxgh1)

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

例2

min z ? 6x1 ? 3x2 ? 4x3 s.t. x1 ? x2 ? x3 ? 120 x1 ? 30 0 ? x2 ? 50 x3 ? 20

min z ? (6

3

? x1 ? ? ? 4) ? x2 ? ?x ? ? 3?

s.t.

?1 ? ?0

解: 编写M文件xxgh2.m如下: c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50]; Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; To MATLAB (xxgh2) vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

? x1 1?? ? x2 1 0?? ?x ? 3 ? x1 ? ? 3 0? ? 0 ? ? ?x ? ? 2? ? 2 0? ? ? ? x3 ? 1

? ? 120 ? ? ?? ? ? ? 50 ? ? ?

例3 问题一的解答
改写为: s.t.

问题

min z ? ?13 9 10 11 12 8?X
0 0? ? 0.4 1.1 1 0 ? 800 ? ? ?X ? ? ? 0 ? ? 900 ? ? 0 0 0.5 1.2 1.3 ? ? ? ?
? x1 ? ? ? ? x2 ? ?x ? 3 ,X ?? ??0 ? x4 ? ?x ? ? 5? ?x ? ? 6?

?1 0 0 1 0 0? ? 400 ? ? ? ? ? ? 0 1 0 0 1 0 ? X ? ? 600 ? ?0 0 1 0 0 1? ? 500 ? ? ? ? ?

编写M文件xxgh3.m如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1]; To MATLAB (xxgh3) beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

结果:
x =

0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000 fval =1.3800e+004
即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、 500个工件3,可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800.

例2 问题二的解答
改写为:

问题

? x1 ? min z ? ?40 36 ?? ? ?x ? ? 2? ? x1 ? s.t. ?? 5 ? 3?? ? ? (?45) ?x ? ? 2?

编写M文件xxgh4.m如下:
c = [40;36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; To MATLAB (xxgh4) beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数: [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

结果为: x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员.

注:本问题应还有一个约束条件:x1、x2取整数.故它是
一个整数线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解, 求得其最优解刚好是整数:x1=9,x2=0,故它就是该整数 规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数, 将其取整后不一定是相应整数规划的最优解,这样的整数 规划应用专门的方法求解.
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用LINDO、LINGO优化工具箱解线性规划

一、LINDO软件包

下面我们通过一个例题来说明LINDO 软件包的使用方法.

LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
优化模型

连续优化

整数规划(IP)

线性规划 (LP)

二次规划 (QP)

非线性规划 (NLP) LINGO

LINDO

例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或 12小时 8小时 3千克A1 获利24元/千克

4千克A2

获利16元/千克

每天: 50桶牛奶 时间: 480小时 至多加工100千克A1 制订生产计划,使每天获利最大 ? 35元可买到1桶牛奶,买吗?若买,每天最多买多少? ? 可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元? ? A1的获利增加到 30元/千克,是否应改变生产计划?

建立模型
决策变量 目标函数 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2

获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 max z ? 72 x1 ? 64 x2
原料供应

x1 ? x2 ? 50
12x1 ? 8x2 ? 480

约束条件

劳动时间 加工能力 非负约束

3x1 ? 100 x1 , x2 ? 0

线性 规划 模型 (LP)

模型求解
max 72x1+64x2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE

st
2)x1+x2<50 3)12x1+8x2<480

1)
VARIABLE X1

3360.000
VALUE 20.000000 REDUCED COST 0.000000

4)3x1<100
end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No

X2

30.000000

0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000

3)
4)

0.000000
40.000000 2

2.000000
0.000000

NO. ITERATIONS=

20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2,利润3360元.

结果解释
max 72x1+64x2
st 2)x1+x2<50
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X1 X2 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000 DUAL PRICES

3)12x1+8x2<480
4)3x1<100 end

ROW SLACK OR SURPLUS

原料无剩余 三 2) 0.000000 48.000000 种 时间无剩余 3) 0.000000 2.000000 资 加工能力剩余40 4) 40.000000 0.000000 源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束(有效约束)

模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X1 X2 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 0.000000 0.000000 40.000000 2 48.000000 2.000000 0.000000

reduced cost值表 示当该非基变量 增加一个单位时 (其他非基变量 保持不变),目标 函数减少的量(对 max型问题) . 也可理解为: 为了使该非基变 量变成基变量, 目标函数中对应 系数应增加的量

NO. ITERATIONS=

结果解释

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 REDUCED COST

最优解下“资源”增加1 VARIABLE VALUE 单位时“效益”的增量 X1 20.000000
X2 30.000000

0.000000
0.000000

影子价格

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

原料增1单位, 利润增48 时间增1单位, 利润增2 能力增减不影响利润

2)
3) 4)

0.000000
0.000000 40.000000

48.000000
2.000000 0.000000

? 35元可买到1桶牛奶,要买吗? 35 <48, 应该买! ? 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元!

结果解释

DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X1 X2 72.000000 24.000000 8.000000

最优解不变时目标 系数允许变化范围 (约束条件不变)

x1系数由24?3= 72 增加为30?3= 2 50.000000 10.000000 6.666667 90,在允许范 3 480.000000 53.333332 80.000000 围内 4 100.000000 INFINITY 40.000000 不变! ? A1获利增加到 30元/千克,应否改变生产计划
ROW

64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72)

结果解释
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000

影子价格有意义 时约束右端的允 许变化范围
(目标函数不变) 注意: 充分但 可能不必要

64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

2
3 4

50.000000
480.000000 100.000000

10.000000
53.333332 INFINITY

6.666667
80.000000 40.000000

原料最多增加10
时间最多增加53

? 35元可买到1桶牛奶,每天最多买多少? 最多买10桶

1.使用LINDO的一些注意事项?
“>”(或“<”)号与“>=”(或“<=”)功能相同 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符 变量名以字母开头,不能超过8个字符 变量名不区分大小写(包括LINDO中的关键字) 目标函数所在行是第一行,第二行起为约束条件 行号(行名)自动产生或人为定义.行名以“)”结束 行中注有“!”符号的后面部分为注释.如: ! It’s Comment. 8. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名 (最多72个字符),如: TITLE This Model is only an Example 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

使用LINDO的一些注意事项
9. 变量不能出现在一个约束条件的右端 10.表达式中不接受括号“( )”和逗号“,”等任何符号, 例: 400(X1+X2)需写为400X1+400X2 11.表达式应化简,如2X1+3X2- 4X1应写成 -2X1+3X2 12.缺省假定所有变量非负;可在模型的“END”语句 后用“FREE name”将变量name的非负假定取消 13.可在 “END”后用“SUB” 或“SLB” 设定变量上下 界 例如: “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10” 但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模 型的约束,也不能给出其松紧判断和敏感性分析. 14. “END”后对0-1变量说明:INT n 或 INT name

2.状态窗口(LINDO Solver Status)
?当前状态:已达最优解 ?迭代次数:18次 ?约束不满足的“量”(不 是“约束个数”):0 ?当前的目标值:94 ?最好的整数解:94 ?整数规划的界:93.5 ?分枝数:1 ?所用时间:0.00秒(太快 了,还不到0.005秒) ?刷新本界面的间隔:1(秒)

二、LINGO软件包

1. LINGO软件简介
(1) LINGO模型的优点
?包含了LINDO的全部功能 ?提供了灵活的编程语言(矩阵生成器)

(2) 对简单的LINGO程序 ?LINGO也可以和LINDO一样编程 ?但LINGO与LINDO语法有差异

Lindo与简单Lingo程序的比较
?lindo程序:
min 7x1+3x2 st x1+x2>=345.5 x1>=98 2*x1+x2<=600 end gin 2

?lingo程序:
Model: min=7*x1+3*x2; x1+x2>=345.5; x1>=98; 2*x1+x2<=600; @gin(x1); @gin(x2); end

投资的收益和风险
一、问题提出
市场上有 n 种资产 s i (i=1,2,?,n)可以选择,现用数额为 M 的相当大的资金作一个时 期的投资.这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 ri ,风险损失率为 qi ,投资越分散, 总的风险越小,总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量. 购买 s i 时要付交易费,(费率 已知 n=4 时相关数据如下:

pi ),当购买额不超过给定值 ui 时,交易费按购买 ui 计算.

另外,假定同期银行存款利率是 r0 ,既无交易费又无风险.( r0 =5%)

si
S1 S2 S3 S4

ri (%)
28 21 23 25

qi (%)
2.5 1.5 5.5 2.6

pi (%)
1 2 4.5 6.5

ui (元)
103 198 52 40

试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金 M,有选择地购买若干种资产或存银行生 息,使净收益尽可能大,使总体风险尽可能小.

二、基本假设和符号规定
基本假设: 1. 投资数额 M 相当大,为了便于计算,假设 M=1; 2.投资越分散,总的风险越小; 3.总体风险用投资项目 s i 中最大的一个风险来度量; 4.n 种资产 s i 之间是相互独立的; 5.在投资的这一时期内, ri,pi,qi,r0 为定值,不受意外因素影响; 6.净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响,不受其他因素干扰.

符号规定: Si ——第 i 种投资项目,如股票,债券 ri,pi,qi ----分别为 Si 的平均收益率, 交易费率,风险损失率 ui ----Si 的交易定额 r0 -------同期银行利率 xi -------投资项目 Si 的资金 a -----投资风险度 Q ----总体收益 Δ Q ----总体收益的增量

三、模型的建立与分析

1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1,2,…,n}

2.购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui 而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(ri-pi)xi
3.要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max
n

? (r ? p ) x
i i i ?0

n

i

minmax{ qixi} 约束条件

? (1? p )x =M
i ?0 i i

xi≥0

i=0,1,…,n

4. 模型简化:

a. 在实际投资中,投资者承受风险的程度不一样,若给定风险一个界限 a,使最大的一个 风险 qixi/M≤a,可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划. 模型 1 固定风险水平,优化收益 目标函数: 约束条件: Q=max

? (r ? p ) x
i ?1 i i

n ?1

i

qi xi M

≤a
i i

?(1 ? p )x
n

? M , xi≥ 0

i=0,1,?, n

b.若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上,在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 模型 2 固定盈利水平,极小化风险 目标函数: R= min{max{ qixi}} 约束条件:

? (r
i ? 0

i

? p i ) x i ≥k,
i i

?(1? p )x

? M , xi≥ 0

i=0,1,?,n

c.投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时,希望选择一个令自己满意的投资组合. 因此对风险、收益赋予权重 s(0<s≤1),s 称为投资偏好系数. 模型 3 目标函数:min s{max{qixi}} -(1-s) 约束条件

? (r ? p ) x
n i i i ?0

i

? (1 ? p ) x =M, x ≥0
i ?0 i i
i

n

i= 0,1,2,?,n

四、模型1的求解
模型 1 为: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 ≤a 0.015x2 ≤a s.t. 0.055x3 ≤a 0.026x4≤a xi ≥0 (i = 0,1,?,4) x1 x2 x3 x4 )T

由于a是任意给定的风险度,到底怎样给定没有一个准则,不同的投资 者有不同的风险度.我们从a=0开始,以步长△a=0.001进行循环搜索,编制 程序如下:

a=0; while(1.1-a)>1 c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1]; A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0];vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q,'.'),axis([0 0.1 0 0.5]),hold on a=a+0.001; To MATLAB(xxgh5) end xlabel('a'),ylabel('Q')

计算结果:
a a a a a a = = = = = = 0.0030 0.0060 0.0080 0.0100 0.0200 0.0400 x x x x x x = = = = = = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673

五、 结果分析 1.风险大,收益也大.

2.当投资越分散时,投资者承担的风险越小,这与题意一致.即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况,保守的投资者则尽量分散投资.
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险.对于不同风险的承受能力,选择该风险水平下的最优投资组合. 4.在a=0.006附近有一个转折点,在这一点左边,风险增加很少时,利润增长 很快.在这一点右边,风险增加很大时,利润增长很缓慢,所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说,应该选择曲线的拐点作为最优投资组合, 大约是a*=0.6%,Q*=20% ,所对应投资方案为: 风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212

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实验作业
某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克, 工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20 名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其 他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即 两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计 划.

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...不等式、函数与导数 第4讲不等式及线性规划

第4讲 不等式及线性规划 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基 本不等式及线性规划问题. 基本不等式主要考查...

专题1-第4讲-不等式及线性规划【理科】

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工程运筹学(讲义)A-4

第四章 目标规划 (goal programming) 第一节 问题的提出与目标规划的数学模型 ...或者说是针对线性规划单一目标、单一最优解的局限 性而发展起来的。在一般线性...