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课时跟踪检测60 最值、范围、证明问题


课时跟踪检测(六十)

最值、范围、证明问题

(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 2 1. 已知抛物线 C:x =2py(p>0),其焦点 F 到准线的距离为 . 2 (1)试求抛物线 C 的方程; (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M, 过点 Q

作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

x y 1 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0), 求 y0 的取值范围.

2

2

x 3.(2013?南京二模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 a y 3 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半 b 2 径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.
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2

第Ⅱ卷:提能增分卷

x y 1. (2014?石家庄模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1(-1,0)、 F2(1,0), a b 过 F1 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若△ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的离心率满足 0<e< 5- 1 2 2 2 ,O 为坐标原点,求证:|OA| +|OB| <|AB| . 2

2

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2. (2013?西安质检)如图,已知中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴 上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,当△OAB 面积最 大时,求直线 l 的方程.

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1.解:(1)因为焦点 F 到准线的距离为 , 2 1 2 所以 p= .故抛物线 C 的方程为 x =y. 2 (2)设 P(t,t ),Q(x,x ),N(x0,x0),则直线 MN 的方程为 y-x0=2x0(x-x0).
2 2 2 2

?x0 ? 令 y=0,得 M? ,0?, ?2 ?
t 2t 所以 kPM= = , x0 2t-x0 t- 2 x0-x kNQ= =x0+x. x0-x 因为 NQ⊥QP,且两直线斜率存在, 所以 kPM?kNQ=-1, 即 2t ?(x0+x)=-1, 2t-x0
2 2 2 2 2 2

2t x+2t 整理,得 x0= 2 .① 1-2t 又 Q(x,x )在直线 PM 上, 2xt 则 MQ 与 MP 共线,得 x0= ,② x+t
2

2t x+2t 2xt 由①②,得 (t>0), 2 = 1-2t x+t x +1 所以 t=- , 3x 2 2 所以 t≥ 或 t≤- (舍去). 3 3 2 所以所求 t 的最小值为 . 3 2.解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 e= , 2 所以 a=2c=2,b =a -c =3. x y 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). y= - , ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
2 2 2 2 2 2

2

消去 y 并整理得(3+4k )x -8k x+4(k -3)=0.

2

2

2

2

8k 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3),则 x1+x2= 2. 3+4k x1+x2 4k 所以 x3= = 2, 2 3+4k -3k y3=k(x3-1)= 2. 3+4k 4k ? 3k 1? 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ 2?. 2=- ?x- 3+4k k? 3+4k ? 在上述方程中,令 x=0, 得 y0= k 1 . 2= 3+4k 3 +4k k
2 2

2

3 3 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3,当且仅当 =4k,k=- 时等号成立; k k 2 3 3 当 k>0 时, +4k≥4 3,当且仅当 =4k, k k k= 3 时等号成立. 2

所以-

3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? ? , ?. 12 12 ? ? 2 2 = 2.

综上,y0 的取值范围是?-

3.解:(1)由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离,即 b= c 3 因为离心率 e= = , a 2 b 所以 = a

?c?2 1 1-? ? = .所以 a=2 2. ?a? 2
2 2

x y 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2 (2)由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0), y0-1 则直线 PM 的方程为 y= x+1, ① x0 y0-2 直线 QN 的方程为 y= x+2.② -x0 设 T 点的坐标为(x,y). x 3y-4 联立①②解得 x0= ,y0= . 2y-3 2y-3 x0 y0 因为 + =1, 8 2 1? x ?2 1?3y-4?2 所以 ? ?+ ? ? =1. 8?2y-3? 2?2y-3? x 整理得 + 8
2 2 2

- 2

2

x 9y x y 2 2 =(2y-3) ,所以 + -12y+8=4y -12y+9,即 + =1. 8 2 8 2

2

2

2

2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,∵|AF2|=|BF2|, ∴|AF1|=|BF1|,即 F1F2 为边 AB 上的中线, ∴F1F2⊥AB. 2c c 3 在 Rt△AF1F2 中,cos 30°= ,则 = , 4a a 3 3 ∴椭圆的离心率为 3 . 3 5-1 , 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵0<e<

1+ 5 c=1,∴a> . 2 1 y b b 2 ①当直线 AB 与 x 轴垂直时, 2 + 2 = 1 , y = 2 , OA ? OB = x1x2 + y1y2 = 1 - 2 = a b a a
2 4 4

? 2 3?2 5 -?a - ? + 2? 4 ? -a +3a -1 = , 2 2 a a
4 2

3+ 5 2 ∵a > ,∴ OA ? OB <0, 2 ∴∠AOB 恒为钝角, ∴|OA| +|OB| <|AB| . x y ②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1),代入 2+ 2=1, a b 整理得,(b +a k )x +2k a x+a k -a b =0, -2a k a k -a b ∴x1+x2= 2 2 2,x1x2= 2 2 2 , b +a k b +a k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=x1x2(1+k2)+k2(x1+x2)+k2
2 2

= = = k k
2

k -a b
2 2

2 2

+k -2a k +k 2 2 2 b +a k
2 2 2 2

2

2 4

2

2

+a k

2 2

+b -a b -a b 2 2 2 b +a k
4 2

2

-a +3a - 2 2 2 b +a k
4 2

-a b

2 2

令 m(a)=-a +3a -1,由①可知 m(a)<0, ∴∠AOB 恒为钝角, ∴恒有|OA| +|OB| <|AB| . x y 2.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b b=c, ? ?1 由已知得? ?2b?2c=2 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a =2, ? ? 2 ,解得?b =1, ? ?c2=1.

2

x 2 所以所求椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)根据题意可知直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,

y=kx+2, ? ? 2 y2).由方程组?x 2 +y =1. ? ?2

,消去 y 得关于 x 的方程(1+2k )x +8kx+6=0.

2

2

由直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,则有 Δ >0,即 64k -24(1+2k )=16k -24>0, 3 2 解得 k > . 2 由一元二次方程的根与系数的关系,得 8k ? ?x +x =-1+2k , ? 6 x ?x = , ? ? 1+2k
1 2 2 1 2 2

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2

2

故|AB|=|x1-x2|? 1+k = 16k -24 2 ? 1+k . 2 2k +1
2

2

|k?0-0+2| 2 又因为原点 O 到直线 l 的距离 d= = , 2 2 1+k 1+k 1 16k -24 2 2? 2k -3 故△AOB 的面积为 S△AOB= |AB|?d= = . 2 2 2 1+2k 1+2k 2 2m 2 2m 2 2 2 2 令 m= 2k -3(m>0),则 2k =m +3,所以 S△AOB= 2 ≤ = ,当且仅当 m=2 时 m +4 2 4m2 2 等号成立,此时 k=± 14 ,直线 l 的方程为± 14x-2y+4=0. 2
2 2


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