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2014届高三数学一轮复习 第51讲 空间角及其计算课件 理 新人教版


第51讲 空间角及其计算

1. (2013· 海南嘉积中学期末)正四棱锥 SABCD 的侧棱 长为 2,底面边长为 3,E 为 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角是( C ) A.30° C.60° B.45° D.90°

解析:取 AC 的中点 F,连接 EF,BF. 由三角形的中位线知 EF∥SC, 所以∠BEF

为异面直线 BE 与 SC 所成的角, 2 6 EF= ,BF= ,BE= 2. 2 2 在△BEF 中, 1 由余弦定理得 cos ∠BEF= , 2 所以∠BEF=60° ,故选 C.

2.在三棱柱 ABCA1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直 于底面, 点 D 是侧面 B1BCC1 的中心, 则 AD 与平面 B1BCC1 所成角的大小为( C ) A.30° C.60° B.45° D.90°

解析:取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则 AE⊥平面 BB1C1C,所以 AE⊥DE,因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即 3 a 为∠ADE, 设 AB=a, 则 AE= a, DE= , 即有 tan ∠ADE 2 2 = 3,所以∠ADE=60° .

3.已知向量 m, n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量, 1 法向量, 若 cos 〈m, n〉 =- , 则 l 与 α 所成的角为( A ) 2 A.30° C.120° B.60° D.150°

解析: 根据直线 l 的方向向量 m 与平面 α 的法向量 n 所 成角〈m,n〉与直线 l 与平面 α 所成角 θ 之间的关系有 sin θ 1 =|cos〈m,n〉|= ,所以 θ=30° ,故选 A. 2

4.在一个锐二面角的一个面内有一点,它到棱的距离 等于到另一个面的距离的 2 倍,则二面角的度数为 .

解析:如图,过点 C 作平面 β 的垂线,垂足为 D,过 D 作 DE 垂直 AB 于 E,连接 CE. 由三垂线定理得∠CED 为 αABβ 的平面角. 由题意可知∠CED=30° .

5. 已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0), n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角的大小为( C ) A.45° C.45° 或 135° B.135° D.90°

0×0+1×1+0×1 2 解析:cos〈m,n〉= 2 2 2 2 2 2= 2 , 0 +1 +0 · 0 +1 +1 即〈m,n〉=45° , 于是两个平面所成的二面角的大小为 45° 或 135° ,故选 C.



异面直线所成的角
【例 1】如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求: (1)AD 与 BB1 所成的角; (2)AA1、AB、CC1 的中点分别为 E、F、G,求 EF 与

A1G 所成的角.

分析:求异面直线的夹角一般转化为求相交直线的夹角. 解析:(方法一) (1)因为 AA1∥BB1, 所以∠A1AD 为 AD 与 BB1 所成的角. 又因为∠A1AD=90° , 所以异面直线 AD 与 BB1 所成的角为 90° .

(2)连接 A1B、BG. 因为 A1B∥EF,所以∠BA1G 为 EF 与 A1G 所成的角. 设 AB=2,则 A1B=2 2,BG= 5,A1G=3. 在△A1BG 中,由余弦定理,得 A1B2+A1G2-BG2 8+9-5 2 cos ∠BA1G= = = . 2· A1B· A1G 2×2 2×3 2 因为 0° <∠BA1G≤90° ,所以∠BA1G=45° , 所以异面直线 EF 与 A1G 所成的角为 45° .

(方法二)分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,如图. 则 D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),G(0, 1 1 1 1, ),E(1,0, ),F(1, ,0). 2 2 2

→ =(1,0,0),BB →1=(0,0,1). (1)DA →· →1=0,所以 DA⊥BB1, 因为DA BB 所以 AD 与 BB1 所成角为 90° . 1 1 1 → → (2)EF=(0, ,- ),A1G=(-1,1,- ), 2 2 2 →· → EF A 2 1G → → 所以 cos 〈EF,A1G〉= = , → → |EF||A1G| 2 → ,A → → ,A → 又 0° ≤〈EF ,所以〈EF , 1G〉≤180° 1G〉=45° 所以异面直线 EF 与 A1G 所成的角为 45° .

【拓展演练 1】 直三棱柱 ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB= 90° ,D、E 分别为 AB、BB′的中点.求异面直线 CE 与 AC′ 所成角的余弦值.

→ =a,CB → =b,CC → 解析:设CA ′=c, → 根据题意,|a|=|b|=|c|,AC ′=-a+c, 5 → → 所以|AC′|= 2|a |,|CE|= |a|, 2 1 1 2 1 2 → → AC′· CE=(-a+c)· (b+ c)= c = |a| , 2 2 2 1 2 |a| 2 10 → → 所以 cos 〈AC′,CE〉= = , 10 5 2 2× |a| 2 10 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 . 10



直线与平面所成的角
【例 2】如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,

PD⊥底面 ABCD,AD=PD,AB= 2BC,E、F 分别为 CD、 PB 的中点,求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.

解析:(方法一) 不妨设 BC=1, 则 AD=PD=1, AB= 2,PA= 2,AC= 3. 所以△PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2. 因为 F 为斜边 PB 的中点,所以 BF=1,且 AF⊥PB. 又 EF⊥PB,所以 PB⊥平面 AEF. 连接 BE,交 AC 于 G.作 GH∥BP 交 EF 于 H, 则 GH⊥平面 AEF,

所以∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角. 1 由△EGC∽△BGA 可知,EG= GB, 2 1 2 2 3 所以 EG= EB,从而 AG= AC= . 3 3 3 1 1 由△EGH∽△EBF 可知,GH= BF= . 3 3 GH 3 所以在 Rt△AHG 中,sin∠GAH= = , AG 6 3 所以 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 . 6

(方法二)以 D 为坐标原点,DC、DA、DP 所在直线分别 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图. 设 AD=1, 则 AB= 2, A(0,1,0), C( 2, 0,0), B( 2, 1,0), 2 1 1 P(0,0,1),F( , , ). 2 2 2

2 → → → 所以AC=( 2,-1,0),PB=( 2,1,-1),AF=( , 2 1 1 →· → =0,所以 PB⊥AF. - , ),于是PB AF 2 2 又 PB⊥EF,所以 PB⊥平面 AEF, → 是平面 AEF 的一个法向量. 即PB →· → AC PB 3 → → 所以 cos〈AC,PB〉= = , → ||PB →| 6 |AC 3 所以异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为 . 6

设 AC 与平面 AEF 所成的角为 θ, 3 → → 则 sin θ=cos〈AC,PB〉= , 6 3 故 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值是 . 6

【拓展演练 2】 如图, 已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD, AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点. (1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成 角的正弦值.

解析:以 H 为原点,HA、HB、HP 分别为 x、y、z 轴, 线段 HA 的长度为单位长度,建立空间直角坐标系如图. 则 A(1,0,0),B(0,1,0).

(1)证明:设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0), 1 m 则 D(0,m,0),E( , ,0), 2 2 1 m → → =(m,-1,0). 可得PE=( , ,-n),BC 2 2 m m → → 因为PE· BC= - +0=0,所以 PE⊥BC. 2 2

3 3 (2)由已知条件可得 m=- ,n=1,故 C(- ,0,0), 3 3 3 1 3 D(0,- ,0),E( ,- ,0),P(0,0,1). 3 2 6 设 n=(x,y,z)为平面 PEH 的法向量,
?1 3 ? → ? n · HE = 0 ? x- y=0 2 6 则? ,即? → =0 ? ? HP ?n· ?z=0



因此可以取 n=(1, 3,0). 2 → → 由PA=(1,0,-1),可得|cos 〈PA,n〉|= . 4 2 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 . 4



二面角
【例 3 】(2012· 北京市石景山区一模改编)如图,三棱柱

ABCA1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1 =3,D 为 AC 的中点.求二面角 C1BDC 的余弦值.

解析: 如图, 建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0), B(0,3,2), C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0), → → 所以C 1B=(0,3,2),C1D=(1,3,0). ,

设 n=(x1,y1,z1)是平面 BDC1 的一个法向量,
? → ?3y1+2z1=0 C ?n· 1B=0 则? ,即? , → ? ?x1+3y1=0 C ?n· 1D=0

1 1 取 x1=1,则 n=(1,- , ). 3 2 → 易知C 1C=(0,3,0)是平面 ABC 的一个法向量, → n · C 2 1C → 所以 cos〈n,C1C〉= =- , 7 →1| |n|· |CC 2 所以二面角 C1BDC 的余弦值为 . 7

【拓展演练 3】 (2012· 广东省肇庆市上学期期末)如图,已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面),BC 是圆柱底面的直 径, O 为底面圆心, E 为母线 CC1 的中点, 已知 AB=AC=AA1 =4. (1))求证:B1O⊥平面 AEO; (2)求二面角 B1AEO 的余弦值.

解析:依题意可知,AA1⊥平面 ABC,∠BAC=90° , 如图建立空间直角坐标系 Oxyz, 因为 AB=AC=AA1=4,则 A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),O(2,2,0),B1(4,0,4).

→ → =(2, → =(2,2,0), (1)B -4), EO -2, -2), AO 1O=(-2,2, → → =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B EO 1O· → → 所以B 1O⊥EO, → → =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, B AO 1O· → → 所以B 1O⊥AO, 因为 AO∩EO=O,AO,EO?平面 AEO, 所以 B1O⊥平面 AEO.

→ (2)由(1)知平面 AEO 的法向量为B 1O=(-2,2,-4). 设平面 B1AE 的法向量为 n=(x,y,z), → =(0,4,2),B → AE 1A=(-4,0,-4),
? → =0 ?2y+z=0 AE ?n· 所以? ,即? , → ? ?x+z=0 B ?n· 1A=0

令 x=2,则 z=-2,y=1,所以 n=(2,1,-2), → n · B 6 6 1O → 所以 cos〈n,B1O〉= = = , → 3 ×2 6 6 |n|· |B 1O| 6 所以二面角 B1AEO 的余弦值为 . 6

1.(2013· 山东卷)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂 9 直, 体积为 , 底面是边长为 3的正三角形, 若 P 为底面 A1B1C1 4 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成的角的大小是( B ) 5π A. 12 π C. 4 π B. 3 π D. 6

3 3 3 2 解析:S 底= ×( 3) = , 4 4 3 3 9 V=S 底· AA1= AA1= , 4 4 3 2 所以 AA1= 3,又 PA1= 3× × =1, 2 3 设 PA 与平面 ABC 所成的角为 θ, AA1 π 则 tan θ= = 3,所以 θ= ,选 B. PA1 3

2.(2012· 四川卷)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、 N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的 大小是 .

解析:(方法一)连接 MD1,则 MD1⊥DN,又 A1D1⊥ DN,易知 DN⊥平面 A1MD1,所以 A1M 与 DN 所成角的大 小是 90° .

(方法二)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz,设正方体的边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2), → =(0,2,1),MA → 1=(2,-1,2). 故DN →· →1 DN MA → ,MA → 1〉= 所以 cos〈DN =0, → → |DN||MA1| 故 DN⊥A1M,所以夹角为 90° .

3.(2013· 山东卷)在三棱锥 PABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA =BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点, AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 DGHE 的余弦值.

解析:(1)因为 C,D 分别是 BQ,AQ 的中点, 所以 CD∥AB,同理 EF∥AB, 所以 EF∥CD,CD?平面 EFQ,EF?平面 EFQ, 所以 CD∥平面 EFQ, 又 CD?平面 PCD,平面 PCD∩平面 EFQ=GH, 所以 CD∥GH,而 AB∥CD,所以 AB∥GH.

(2)由 AQ=2BD,D 为 AQ 中点可得,△ABQ 为直角三 角形,即 AB⊥BQ,又 PB⊥平面 ABQ, 以 B 为原点,以 BA,BQ,BP 为 x,y,z 轴建系. 设 AB=BP=BQ=2, 则 E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0), P(0,0,2). → =(-1,2,-1),FQ → =(0,2,-1),DP → =(-1, 所以EQ → =(0,-1,2). -1,2),CP

设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1).
? → =-x1+2y1-z1=0 EQ ?m· 由? , → =2y1-z1=0 ? FQ ?m·

取 y1=1,得 m=(0,1,2). 同理可得平面 PDC 的一个法向量为 n=(0,2,1), 2+2 4 所以 cos〈m,n〉= = . 5× 5 5 又由图知二面角 DGHE 为钝二面角, 4 所以二面角 DGHE 的余弦值为- . 5

4.(2012· 四川卷改编)如图,在三棱锥 PABC 中,∠APB =90° ,∠PAB=60° ,AB=BC=CA,平面 PAB⊥平面 ABC. (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值; (2)求二面角 BAPC 的正切值.

解析:(1)设 AB 的中点为 D,AD 的中点为 O,连接 PO,CO,PD,CD.

由已知,△PAD 为等边三角形,所以 PO⊥AD. 又平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AD, 所以 PO⊥平面 ABC. 所以∠OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角.

不妨设 AB=4,则 PD=2,CD=2 3,OD=1,PO= 3. 在 Rt△OCD 中,CO= OD2+CD2= 13. OP 3 39 所以,在 Rt△OCP 中,tan ∠OCP= = = . OC 13 13 39 故直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为 . 13

(2)过 D 作 DE⊥AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD⊥平面 PAB,所以 CD⊥AP. 又 CD∩DE=D, 所以 AP⊥平面 CDE, 所以 AP⊥EC, 所以∠CED 为二面角 BAPC 的平面角. 由(1)知,DE= 3. CD 在 Rt△CDE 中,tan∠CED= =2. DE 故二面角 BAPC 的正切值为 2.


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