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2013年数学北师大版必修5课件:第1章3.1.2等比数列的性质


3.1.2

等比数列的性质

学习目标

1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式,
理解等比中项的概念.

2.掌握等比数列的性质,会用性质灵活解决
问题.

课前自主学案 3.1.2 等比 数列 的 性质

课堂互动讲练
<

br />知能优化训练

温故夯基 等差数列的常用性质 性质1

通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m、
n∈N+)

性质2

若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,
m,n∈N+),则ak+al=am+an

性质3

若{an}是等差数列,则2an=an-1+an+1,
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?

若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差
性质4 数列,则{pan+qbn}(p,q为常数)是以pd1 +qd2为公差的等差数列

若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+
性质5
2m,?(k、m∈N+)是公差为md的等差数



知新益能 1.等比中项 a、G、b成等 如果在a与b中间插入一个数G,使 ______________ 比数列 ,那么G叫作a与b的等比中项. ________

2.等比数列的单调性
公比q 单调性 q<0 0<q<1 q=1 q>1

首项a1
a1>0 a1<0 不具备 递减数列 不具备 递增数列 _________ _________ 单调性 单调性

不具备 递增数列 不具备 递减数列 _________ _________ 单调性 单调性

3.等比数列的常用性质
n- m q 通项公式的推广:an=am· _________ 性质1 (n,m∈N+)

若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k, 性质2 am· an l,m,n∈N+),则ak· al=________

性质3

若{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}, 1 an 2 { },{an},{an· bn},{ }仍是等比数列 an bn

性质4

在等比数列{an}中距首末两端等距离的两 项的积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=? 在等比数列{an}中,序号成等差数列的项 仍成等比数列

性质5

问题探究 1.若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若G=0,且a,b中至少有

一个为0,则G2=ab,而根据等比数列的定义,
a,G,b不成等比数列;当a,G,b全不为零时, 若G2=ab,则a,G,b成等比数列.

2.等比数列与指数函数有何关系?
a1 n 提示: 等比数列的通项公式可整理为 an= q q .当 q>0, a1 x a1 且 q≠1 时, y= q 是一个不为零的常数 与指数函数 q q a1 n a1 x q 的乘积.数列{ q }中的各项对应的是函数 y= q q q
x

图像上的孤立的点.如下图, 表示等比数列{2n-1}的各点 都在函数 y=2x-1 的图像上.

考点突破 等比中项问题
若 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中 项,此时 G=± ab. (1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时, 没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

(3)“a、 G、 b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a, b 均不为 0),可以用它来判断或证明三数成等比 数列. 同时还要注意到“a、G、b 成等比数列”与“G = ab”是不等价的.

例1

(1)求 2+1 与 2-1 的等比中项.

(2)数列{an}中, 若 an+1 为 an 和 an+2 的等比中项, 则数列{an}是否为等比数列?并说明理由.

【思路点拨】

在(1)中,只需代入 G=± ab便

可求出两个数的等比中项.在(2)中,由等比中项 的定义可得出递推公式,由递推公式的传递性, 并结合等比数列的定义,即可解题.

【解】(1)所求的等比中项为± ? 2+1?? 2-1?=± 1. (2)∵an+1 是 an 和 an+2 的等比中项, an+1 an+2 ∴an≠0 且 a = , an+1 n an an-1 an-2 a3 a2 ∴ = = =?= = , a2 a1 an-1 an-2 an-3 a2 由于 是一个确定的常数,所以{an}为等比数列. a1

【误区警示】 若数列{an}满足:a2 an+ n+1=an·
2,则数列{an}不一定为等比数列,因为

an 有

可能等于 0.

等比数列的性质
等比数列性质的应用是高考常考内容.对于 这类题目,根据通法通解,设出首项和公比 列出方程组可以解决,但有时用上等比数列 的性质,能加快解题速度、提高解题效率, 得到事半功倍的效果.

例2

(2009年高考广东卷)已知等比数列{an}满足 )

an>0,n=1,2,…,且a5· a2n-5=22n(n≥3),则当
n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(

A.n(2n-1)
C.n2

B.(n+1)2
D.(n-1)2

【思路点拨】从整体上利用等比数列的性质求解.

【解析】 法一:∵a5· a2n-5=a1· a2n-1=an2=22n, 又∵an>0,∴an=2n, ∴a2n-1=22n 1,


∴log2a1+log2a3+?+log2a2n-1 n[1+?2n-1?] =1+3+?+(2n-1)= =n2. 2

法二:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, ∵a5· a2n-5=a1q · a1q 即
4 2n-6

=22n,

2 2n-2 2n n- 1 2 a1· q =2 ?(a1· q ) =22n?(an)2=(2n)2, n 2n - 1

∵ an>0,∴ an= 2 ,∴ a2n- 1= 2
3

,∴ log2a1+ log2a3
2n- 1

+?+ log2a2n- 1= log22+ log22 +?+ log22

= 1+ 3

1+?2n-1? +?+(2n-1)= · n=n2,故选 C. 2

【答案】

C

【名师点评】

在等比数列有关运算中,常

常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法, 往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦, 通过本例可以看出:结合等比数列的性质,进 行整体变换,会起到化繁为简的效果.

自我挑战1

已知各项都为正数的等比数列{an}

中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6 =36,求此数列的通项公式.
解:法一:设等比数列{an}的公比为 q,则
4 2 6 2 8 ?a2 q + 2 a q + a 1 1 1q =100, ? 2 4 2 6 2 8 ?a1q -2a1q +a1q =36.

① ②

6 2 6 ①-②,得 4a2 q = 64 ,所以 a 1 1q =16,③

16 将③代入①,得 2 +2×16+16q2=100, q 1 解得 q =4 或 q = . 4
2 2

又因为数列{an}的各项均为正数, 1 1 所以 q=2 或 q= ,代入③得 a1= 或 a1=32. 2 2 1 1 n-1 n-1 n-2 所以 an= ×2 =2 或 an=32×( ) =26-n. 2 2 法二:因为 a1a5=a2a4=a2 3,a2a6=a3a5, a3a7=a4a6=a2 5,

?a1a5+2a2a6+a3a7=100, 所以由? ?a2a4-2a3a5+a4a6=36,
2 2 ?a2 ? + 2 a a + a = 100 , ? a + a ? 3 3 5 5 3 5 =100, 可得? 2 即? 2 2 ?a3-2a3a5+a5=36, ??a3-a5? =36.

?a3+a5=10, 又因为数列{an}的各项均为正数, 所以? 6. ?a3-a5=± ?a3=8, ?a3=2, 解得? 或? 所以 an ?a5=2 ?a5=8.

=8×(

1 n- 3 6-n n- 3 n-2 ) =2 或 an=2×( 4) =2 . 4

等比数列的设项 像等差数列一样,等比数列的设项方法主要有 两种,即“通项法”和“对称设项法”.
例3

有四个数,其中前三个数成等差数列,

后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个
数的和是 16 ,第二个数与第三个数的和是 12 ,

求这四个数.

【思路点拨】 三数成等差数列, 可设 a-d, a, a a+d,若三数成等比数列,可设 ,a,aq(a≠0, q q≠0).
【解】 法一:设四个数依次为 a-d,a,
2 ? ? a + d ? ?a-d+ ?a+d?2 =16, a ? a+d, , 由条件得 a ? ?a+?a+d?=12,

?a=4 ?a=9, 解得? 或? ?d=4 ?d=-6.

所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;

当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
2a a 法二:设四个数依次为 -a, , q q a,aq(a≠0,q≠0). ? ?2a-a+aq=16, ? 1 ? ?q= , q= 2 ?q 3 由条件得? 解得? 或? ?a ? ?a=8 +a=12, ?a=3. ? ?q

所以,当 q=2,a=8 时,所求四个数为 0,4,8,16; 1 当 q= ,a=3 时,所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 法三:设四个数依次为 x,y,12-y,16-x.
?2y=x+?12-y?, 由条件得? 2 ? 12 - y ? =y?16-x?, ? ?x=0 ?x=15 解得? 或? . ?y=4 ?y=9

故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.

【名师点评】

合理地设出所求数中的三个,根

据题意得出另一个是解决这类问题的关键.一般 a 地,三个数成等比数列,可设为 ,a,aq;三个 q 数成等差数列,可设为 a-d,a,a+d.

自我挑战2

若本例条件改为:已知四个数,前3

个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两 个数之积为 16 ,首、末两数之积为-128 ,则如 何求这四个数?
a 解: 依题意设后三个数为 , a, aq, (a≠0, q≠0) q ∵前三个数成等差数列, 2a ∴第一个数为 q -a,则由已知得:

? ?a· a=16, ?q ? ? 2a ? q -a?· aq=-128. ? ?

① ②

由①得 a2=16q,③ 2 2 由②得 a (q-1)· q=-128.

将③代入得:q2-2q-8=0, ∴q=4或q=-2.

又a2=16q,∴q>0,

∴q=4,∴a=±8.
当a=8时,所求四个数分别为:-4,2,8,32.

当a=-8时,所求四个数分别为:
4,-2,-8,-32.

故所求四个数分别为-4,2,8,32
或4,-2,-8,-32.

方法感悟
1.等比中项 (1)由 a,G,b 成等比数列,可知:①a,G,b 均不 G b 为零;②由 = 知,G2=ab,∴ab>0,即 a 与 b a G 必须同号;③由 G2=ab 知,G=± ab,∴两个同 号的数 a,b 的等比中项有两个,即± ab.

(2)在一个等比数列中,从第2项起,每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一 项的等比中项. (3)“a,G,b成等比数列”等价于“G2= ab”(a,b均不为0),可以用它来判断或证明三 数成等比数列.

2.在等比数列中,常用的两个性质 (1)若 m+n=2p(m,n,p∈N+),则 am· an=a2 p. (2)若 m+n=p+q(m, n, p, q∈N+), 则 am· an=ap· aq. 3.由等比数列的任意两项求公比 若已知等比数列{an}中的任意两项 an,am,由 an= am· q
n-m

可得 q

n-m

an =a ,进而求得公比 q. m


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