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高二下数学理科第一次月考试卷

时间:2012-03-24


2011信丰中学 2011-2012 高二下学期第一次月考试卷 数学(理科) 数学(理科)
命题人:翁远珍 审题人:王贵生 曹丽萍 选择题( 小题, 一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分) a ? 2i 1.若复数 (a ∈ R, i 为虚数单位 ) 是纯虚数 ,则实数 a 的值为( ) 1 + 2i A. 4 B. ?4 C. 1 D. ?1 甲

乙 2.右图是 2010 年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打 07 9 出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个) ,去掉一个最高 分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a2 , 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m9 3 则一定有( ) B. a1 < a2 A. a1 > a2 C. a1 = a2 D. a1 , a2 的大小与 m 的值有关 3.由曲线 y = 3 ? x 2 和直线 y = 2 x 所围成的面积为 ( A. )

若 a = 3 0.3 ? f (3 0.3 ), , b = log π 3 ? f (log π 3) , c = log 3 ( )

1 1 ? f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9

B . c>b>a C. c > a > b D. a>c>b A. a > b > c 10.定义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) = Ax + B (A,B 为常数),使得 f ( x) ≥ g ( x) 对一切实数 x 都成立,那么称为 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数,给出如 下命题: (1)定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; (2) g ( x) = 2 x 为函数 f ( x) = 2 x 的一个承托函数; (3) g ( x) = ex 为函数 f ( x) = e x 的一个承托函数; 1 1 (4)函数 f ( x) = ? 2 ,若函数 g ( x) 的图象恰为 f ( x) 在点 P (1, ? ) 处的切线,则 5 x ? 4 x + 11 12 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数。 其中正确的命题的个数是( ) ........ A.0 B.1 C.2 D.3 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

86 32 16 14 B. C. D. 3 3 3 3 r r r r r r 4.已知两空间向量 a =(2,cos θ,sin θ), b =(sin θ,2,cos θ),则 a + b 与 a - b 的夹角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°



2

0

(3x 2 + k )dx = 10, 则k =



12.椭圆的焦点是 F1 (-3,0 ) F2 (3,0) 为椭圆上一点,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差 ,P
中项,则椭圆的方程为___________________________. 13.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 11 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规 定从二楼到三楼用 7 步走完,则上楼梯的方法有_________种.

- 5.如图是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 x 的程序框图,图中 ) 空白框中应填入的内容为( xn A.S=S+xn B.S=S+ n 1 C.S=S+n D.S=S+n 6.从 5 位男教师和 4 位女教师中选 出 3 位教师,派到 3 个班 担任班主任(每班 1 位班主任) ,要求这 3 位班主任中男、女 教师都要有,则不同的选派方案共有 ( )种 A.210 B .420 C. 630 D.840 2 5 7.在(x +3x+2) 展开式中 x 的系数为( ) A.160 B.240 C.360 D.800

14.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

论,在边长 为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 15、下列命题 ①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件. ② “am2<bm2”是“a<b”的充分必要条 件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假. ④ 在 ?ABC 中 , ∠B = 60° ” 是 ∠A, ∠B, ∠C 三 个 角 成 等 差 数 列 的 充 要 条 件 .[ 来 “ 源:Zxxk.Com] ⑤ ?ABC 中,若 sin A = cos B ,则 ?ABC 为直 角三角形. 判断错误的有___________. 错误 ..

3 a ,类比上述结 2 。

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: ( .

8.奥运会足 球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛) ,中国队和韩国队是其中的两支球队,现要 将 9 支球队随机分成 3 组进行比赛,则中国队与韩国队分在同一组的概率是 ( ) A.1/4 B.1/6 C.1/9 D.1/12 9.已知函数 y = f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ∈ (?∞,0) 时不等式 f ( x) + xf ' ( x) < 0 成立,

x2 y2 16.抛物线顶点在原点,准线过双 曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的实
?3 ? 轴垂直,已知抛物线与双曲线交点为 M ? , 6 ? ,求抛物线与双曲线方程. ?2 ?

19.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学期望

Eξ = 3 ,标准差 σξ 为 6 。 (Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ξ 的分布列; 2 (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

17.奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 ,2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小球, 规定所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和, (1)求奖金为 9 元的概率 (2)求此次摇奖获得奖金数额的分布列,期望。

20. (13 分) 已知在四棱锥 P 一 ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1, AB=2, E、F 分别是 AB、PD 的中点。 P (Ⅰ)求证:AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求二面角 P 一 EC 一 D 的正切值。 F

D A

C

E

B

,与数列 18.已知数列 {an } : a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = r , an + 3 = an + 2 ( n 是正整数) . {bn } : b1 = 1 , b2 = 0 , b3 = ?1 , b4 = 0 , bn +4 = bn ( n 是正整数) 记 Tn = b1a1 + b2 a2 + b3 a3 + L + bn an . (1)若 a1 + a2 + a3 + L + a12 = 64 ,求 r 的值; (2)求证:当 n 是正整数时, T12 n = ?4n ; 21.(14)已知函数 学科网]

f ( x ) = ax ? 2 ln x, a ∈ R (Ⅰ)a = 1 时,求函数 f ( x) 的极值;[来源:

a + 2e x 使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围。

(Ⅱ)求 f (x) 单调区间(Ⅲ)设 g ( x) =

( a > 0 ) ,若在 [1, e] 上至少存在一个 x0 ,



当 n=1 时, T12 = a1 ? a3 + a5 ? a7 + a9 ? a11 = ?4, 等式成立 假设 n=k 时等式成立,即 T12 k

2011高二下学期第一次月考试卷数学(理科) 信丰中学 2011-2012 高二下学期第一次月考试卷数学(理科)答案
② 一.选择题 ABBDA BBACB
x2 y2 + =1 36 27

= ?4 k ,

6a 填空题: 1 12. 13. 35 14. 二.填空题:11. 3 2 16.解答:根据已知条件可设抛物线方程为 y =2px(p>0),

那么当 n = k +1 时, 15.②⑤

T12( k +1) = T12 k + a12 k +1 ? a12 k +3 + a12 k +5 ? a12 k +7 + a12 k +9 ? a12 k +11
= ?4k + (8k +1) ? ( 8k + r ) + (8k + 4) ? ( 8k + 5) + ( 8k + r + 4) ? (8k + 8)

?3 ? ∵M?2, 6?是抛物线与双曲线的交点,则 3p=6,即 p=2,所求抛物线方程为 y2=4x. ? ? 由所求抛物线方程可知双曲线的两个焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),即 c=1, 又|MF1|=
7 ?3 ? ?2-(-1)?2+6= ,|MF2|= 2 ? ? 5 ?3 ? ?2-1?2+6= , 2 ? ?

= ? 4 k ? 4 = ? 4 ( k + 1) , 等式也成立.

根据①和②可以断定:当 n ∈ Z 时 , T12 n = ? 4 n. 3 1 1 19.解:(1)由 Eξ = np = 3, (σξ ) 2 = np (1 ? p ) = , 得 1 ? p = ,从而 n = 6, p = 2 2 2

+

ξ 的分布列为

ξ
P

1 3 因此|MF1|-|MF 2|=2a,即 a=2,b2=c2-a2=4, 4y2 所求双曲线方程为 4x - 3 =1
2

0 1 64

1 6 64

2 15 64

3 20 64

4 15 64

5 6 64

6 1 64

17.解(1):设此次摇奖的奖金数额为 ξ 元, P (ξ = 9 ) =

1 C 82 C 2 7 = 3 C 10 15

(2)当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ξ = 6; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ξ = 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ξ = 12 。

C 83 7 = 所以, P (ξ = 6 ) = 3 15 C 10
P (ξ = 12 ) =
1 C 8 C 22 1 = , 3 15 C 10 6 9 7/15 7/15

1 C 82 C 2 7 P (ξ = 9 ) = = 3 15 C 10

分布列为:
12 1/15

ξ
P

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A, 则 P ( A) = P (ξ ≤ 3), 得 1 + 6 + 15 + 20 21 15 + 6 + 1 21 P ( A) = = , 或 P ( A) = 1 ? P (ξ > 3) = 1 ? = 64 32 64 32 1 20 解: (Ⅰ)取 PC 的中点 O,连结 OF、OE.∴FO∥DC,且 FO= DC ∴FO∥AE 2 又 E 是 AB 的中点.且 AB=DC.∴FO=AE. ∴四边形 AEOF 是平行四边形.∴AF∥OE 又 OE ? 平面 PEC,AF ? 平面 PEC ∴AF∥平 面 PEC (Ⅱ)连结 AC ∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角[来 源:学_科_] PA 1 5 5 在 Rt△PAC 中,tan ∠PCA = = = 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角正切为 AC 5 5 5 (Ⅲ)作 AM⊥CE,交 C E 的延长线于 M.连结 PM,由三垂线定理.得 PM⊥CE∴∠PMA 是 二面角 P—EC—D 的平面角 2 PA ,∴ tan ∠PMA = = 2 2 AM ∴二面角 P 一 EC 一 D 的正切为 2 2 21.解: (I) f '( x) = 1 ? , x > 0 .令 f ' ( x) = 0 得 x = 2 ,当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 变化情况 x 如下表:

7 7 1 39 39 Eξ = 6 × ( + 9 × + 12 × = ) 答: 此次摇奖获得奖金数额的数字期望是 元 15 15 15 5 5

由△AME∽△CBE,可得 AM =

a1 + a2 + a3 + ... + a12

18.(1)

= 1 + 2 + r + 3 + 4 + ( r + 2 ) + 5 + 6 + ( r + 4) + 7 + 8 + ( r + 6)


= 48 + 4 r .

48 + 4r = 64, ∴ r = 4.

+ 【证明】 2)用数学归纳法证明:当 n ∈ Z 时, T12 n = ?4 n. (

x
f '( x)

( 0, 2 )
-

2 0

( 2, +∞ )
+

f ( x)

单调递减

极小值

单调递增

∴ 当 x = 2 时, f (x) f ( x) 取得极小值 f (2) = 2 ? 2 ln 2 . (Ⅱ) a ≤ 0时,f(x)在(0,+∞)上为减函数 2 2 a>0时,f(x)在(0, )上是减函数,在( , +∞ )上是增函数 a a (Ⅲ)本命题等价于 f ( x ) ? g ( x ) > 0 在 [1, e] 上有解,
设 F ( x ) = f ( x) ? g ( x) = ax ? 2 ln x ?

a + 2e , x 2 2 a + 2e ax 2 ? 2 x + a + 2e ax + a + 2 ( e ? x ) F ′( x) = a ? + = = > 0, x x2 x2 x2

所以 F ( x ) 为增函数, F ( x )max = F ( e ) . 依题意需 F ( e ) > 0 ,解得 a >

4e . e ?1
2

? 4e ? 所以 a 的取值范围是 ? 2 , +∞ ? . ? e ?1 ?


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