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2015年上海市高考数学文科模拟卷(闵行三模)

时间:2015-05-21


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准考证号______________

闵行区 2014 学年第二学期高三年级综合练习 数 学 试 卷(文科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚. 2.本试卷共有 23 道

题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A
2

姓名_________

B 等于
. .



2.函数 y ? 0.2 x ?1 的定义域是 3.已知函数 f ( x) ?

班级__________

1 1 ,则 f ?1 (1) ? x 1 2

4.若复数

1? i 1 ? b(b ? R ) 的实部与虚部相等,则 b 的值为 1? i 2
2

. .

学校_____________________

5. 若对任意正实数 a , 不等式 x ? 1 ? a 恒成立, 则实数 x 的最小值为

6.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1、 2S2、 3S3 成等差数列,则数列 ?an ? 的公比 为 .

AB 1 2 O 、 A 、 B 、 C ? 7.已知平面上四点 ,若 OB ? OA ? OC ,则 3 3 AC
8. 如图,水平放置的正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的主视图是 一边长为 2 的正方形,则该三棱柱的左视图的面积 为 .
A1 ?x ? 2 ? 0 ? 9.已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 , 则目标函数 u ? x ? 2 y 的 ?x ? y ? 2 ? C A B A



B

C1 B1A1 主视图 B1

取值范围是



俯视图

10. 某班级有 3 名学生被复旦大学自主招生录取后, 大学提供了 3 个专业由这 3 名学生 选择,每名学生只能选择一个专业,假设每名学生选择每个专业都是等可能的,则这 3

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个专业中恰有一个专业没有学生选择的概率是 11.函数 f ( x) ? 2 x ? sin 2 x ?1 图像的对称中心是

. .

12.设 F1、F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若在双曲线右支上 a 2 b2
3 F1 F2 ,则该双曲线的渐近线方程为 5


存在点 P,满足 PF1 ? PF2 ?

13.设角 ? 的终边在第一象限,函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1,当

x ? y 时, 有 f(
集合为

x? y 1 1 ) ? f ( x) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( y ) , 则使等式 f ( ) ? 成立的 ? 的 2 2 2


14.在直角坐标平面上,有 5 个非零向量 a1、、、、 a2 a3 a4 a5 ,且 ak ? ak ?1 (k ?1 ,2,3,4) ,各 向量的横坐标和纵坐标均为非负实数,若 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ? l (常数) ,则

a1 +a2 +a3 +a4 +a5 的最小值为



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生 应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 下列函数中,与函数 y ? x3 的值域相同的函数为 (A) y ? ? ( )

?1? ? ?2?

x ?1

. (B) y ? ln( x ? 1) . (C) y ?

x ?1 1 . (D) y ? x ? . x x
( )

16. 角 ? 终边上有一点 (?1,2) ,则下列各点中在角 2? 的终边上的点是 (A) (3, 4) . (B) (?3, ?4) . (C) (4,3) .

(D) (?4, ?3) . )

17. 一无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 (A)

1 . 3

(B)

2 . 3

3 1 ,第二项为 ,则该数列的公比为 ( 2 3 1 1 2 (C) ? . (D) 或 . 3 3 3

18.下图揭示了一个由区间 ?0,1? 到实数集 R 上的对应过程:区间 ?0,1? 内的任意实数 m 与数轴上的线段 AB (不包括端点)上的点 M 一一对应(图一) ,将线段 AB 围成一个 圆,使两端 A, B 恰好重合(图二) ,再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y

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轴上,点 A 的坐标为 (0,1) (图三).图三中直线 AM 与 x 轴交于点 N ?n,0? ,由此得到 一个函数 n ? f (m) ,则下列命题中正确的序号是 ( )

?1? (1) f ? ? ? 0 ; ?2?

(2) f ( x) 是偶函数;

(3) f ( x) 在其定义域上是增函数;

?1 ? (4) y ? f ( x) 的图像关于点 ? ,0 ? 对称. ?2 ?
A M 0 m B 1 (图一) x M

y A(B) M N(n,0) A(0,1)

(图二)

(0,1 ?
O

1

?

)

x

(图三) (A) (1) (3) (4).(B) (1) (2) (3).(C) (1) (2) (4). (D) (1) (2) (3) (4). 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 个小题满分 8 分。

cos ? ? i sin ? ( 0 ? ? ? 已知复数 ?1 ? 3i、
依次为 A、B ,点 O 是坐标原点. (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点的横坐标为

?
2

, i 是虚数单位)在复平面上对应的点

4 ,求 S?AOB . 5

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分。 某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位:米) ,其中储油罐的

l ? 2r ? 3( l 为圆柱的高,r 为球的半径, l ? 2) 中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, .
假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分 每平方米建造费用为 c 千元,半球形部分每平方米建造费 用为 3 千元.设该储油罐的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该储油罐的建造费用最小时的 r 的值. r r l r r

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分。 已知 f ( x) ? xn ? xn?1 ?

? x ?1( x ? (0, ??), n ? N, n ? 2) .

(1)当 n ? 2 , x ? ? 0,1? 时,若不等式 f ( x) ? kx 恒成立,求 k 的范围; (2)试证函数 f ( x ) 在 ?

?1 ? ,1? 内存在零点. ?2 ?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分. 已知椭圆 C 过点 A(1,

3 ) ,两焦点为 F1 (? 3, 0) 、 F2 ( 3,0) , O 是坐标原点, 2

不经过原点的直线 l:y ? kx ? m 与椭圆交于两不同点 P 、 Q . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 当 k ? 1 时,求 ?OPQ 面积的最大值; (3) 若直线 OP 、 PQ 、 OQ 的斜率依次成等比数列,求直线 l 的斜率 k .

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 如 果 数 列 ?an ? 同 时 满 足 : (1)各项均为正数, ( 2 ) 存 在 常 数 k, 对 任 意

n ? N* , an?12 ? an an?2 ? k 都成立,那么,这样的数列 ?an ? 我们称之为“类等比数列” .
由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问: (1)若数列 ?an ? 为“类等比数列” ,且 k=(a2-a1)2,求证:a1、a2、a3 成等差数列; a2 (2)若数列 ?an ? 为“类等比数列” ,且 k= 0 , a2、a4、a5 成等差数列,求 的值; a1 (3)若数列 ?an ? 为“类等比数列” ,且 a1=a,a2=b(a、b 为常数),是否存在常数 λ, 使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N 都成立?若存在, 求出 λ; 若不存在, 说明理由.
*

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闵行区 2014 学年第二学期高三年级综合练习数学试卷 参考答案与评分标准(文科)
一、填空题 5. ?1 ; 6. 1. ? ?1, 2? ; 2. ? ??,0? ; 8. 2 3 ; 13. ?? | ? ? 2k? ? 17.D; 3.1; 9. [2, 4] ; 4. 2 ; 10.

1 ; 3

7.

2 ; 3

2 3



11. ?0, ? 1? ; 12. y ? ? 二、选择题 15.B;

4 x; 3
16.B;

? ?

?

2 ? l. , k ? Z ? ; 14. 2 6 ?

18.A .

三、解答题 19.⑴解法 1:由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ,

OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? )
OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0

?????????????? 2 分

1 ???? 4 分 3 解法 2:由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) , kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ?2 分 1 ∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 ?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? ????? 4 分 3
∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ?

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分)?????? 6 分 ? ?? 10 10 10 10 4 3 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分)??8 分 ∵ OB ? 1 5 5 3 10 4 10 3 3 10 (列式计算各 1 分)10 分 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ? (列式计算各 1 分)12 分 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? 2 2 2 10 解法 2:由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 ???????? 6 分 3 4 3 2 则 sin ? ? 1 ? cos ? ? 即 B ( , ) (列式计算各 1 分)???? 8 分 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分)? 10 分 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10
(2)解法 1:由⑴ OA ? 又 OA ?

?

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? ?12 分 2 2 10 2

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解法 3: sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B ( , ) (每式 1 分)?????? 6 分 ?????????????????7 分

4 3 5 5

即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , )

4 3 5 5

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , OB ? 1 ,

4 3 ?1? ? 3 ? 5 5 ? 10 ????????????9 分 cos ?AOB ? ? 10 10 ?1 OA OB OA ? OB
3 10 ????????????10 分 10 1 1 3 10 3 则 S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 分)12 分 2 2 10 2 2 20. [解] :(1) y ? 2?rlc ? 4?r ? 3 ??????????????3 分 5 ?????????????6 分 y ? (12? ? 4?c)r 2 ? 6?rc ( r ? ) 2 3c 9?c 2 (2) y ? (12? ? 4?c)[r ? ?????????? 8 分 ]2 ? (12 ? 4c) 12 ? 4c 5 3c 3 3 3 ? ? (1 ? )? ? y在[ , ??) 上是增函数 ????12 分 12 ? 4c 4 c?3 4 2 5 所以当 r ? 时,储油罐的建造费用最小.???????????14 分 2 1 2 21.[解] (1)由 f ( x) ? kx ? x ? x ?1 ? kx , 则 k ? x ? ? 1 , ??????2 分 x 1 又 g ( x ) ? x ? ? 1 在 ? 0,1? 上是增函数, g ( x)max ? g (1) ? 1 ?????4 分 x 所以 k ? 1 . ?????????????????? 6 分
∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

(2)

f ( x) ? xn ? xn?1 ?

? x ?1( x ? (0, ??), n ? N, n ? 2) 是 增 函 数 , 且
??????????????? 8 分

f (1) ? n ? 1 ? 0 ,

1 1 1 f ( ) ? ( ) n ? ( ) n ?1 ? 2 2 2
所以 f ( x ) 在 ?

1 1 (1 ? ( )n ) 1 2 ? 1 ? ?( 1 ) n ? 0 ????? 12 分 ? ?1 ? 2 1 2 2 1? 2
???????????????14 分

?1 ? ,1? 内存在唯一的零点. ?2 ?

x2 y2 ? ?1 22.[解] (1)由题意得 c ? 3 ,可设椭圆方程为 2 b ? 3 b2

???2 分

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1 3 x2 2 C ? ? 1 b ? 1 ? y 2 ? 1.???4 分 ,解得 所以椭圆 的方程为 2 2 b ? 3 4b 4

(2) ?

y ? x ? m, 消去 y 得: 5x2 ? 8mx ? 4(m2 ? 1) ? 0 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0. ?
???????? 6 分

则 ? ? 16(5 ? m2 ) ? 0 ? 0 ? m2 ? 5

x1 ? x2 ? ?

8m 4(m2 ? 1) , x1 x2 ? 5 5

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S?OPQ ?

1 1 m d PQ ?? ? 2 x1 ? x2 ? 8 分 2 2 2

?

1 2 2 m2 ? 5 ? m2 m ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? m ? 5 ? m2 ? ? ?1 2 5 5 2
2

当且仅当 m ? (2) ?

5 时,等号成立 所以 ?OPQ 面积的最大值为 1 . 2

??10 分

y ? kx ? m, 消去 y 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 ??? 12 分 2 x ? 4 y ? 4 ? 0. ? ?
2

则 ? ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0

x1 ? x2 ? ?

8km 4(m2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
??????? 14 分

故 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列

所以

y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? ? k 2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 x1 x2 x1 x2
1 1 8k 2 m2 ? m2 ? 0 ,由于 m ? 0, 故 k 2 ? ? k ? ? 2 4 2 1 ? 4k
2

??

???????16 分

23. [解] (1)当 k ? (a2 ? a1 ) 时,在 an?1 ? an an?2 ? k 中,令 n ? 1 得
2 2 a2 ? a1a3 ? (a2 ? a1 ) 2 , 即 a1a3 ? 2a1a2 ? a12 ? 0.

???????? 2 分

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因为 a1 ? 0, 所以 a3 ? 2a2 ? a1 ? 0, 即 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? 故 a1 , a2 , a3 成等差数列 ???????????????? 4 分

2 (2)当 k ? 0 时, an ?1 ? an an?2 ,因为数列 {a n } 的各项均为正数

所以数列 {an } 是等比数列

????????????????6 分

设公比为 q (q ? 0). 因为 a 2 , a 4 , a5 成等差数列,所以 a2 ? a5 ? 2a4 , 即 a1q ? a1q 4 ? 2a1q 3 . 因为 a1 ? 0, q ? 0, 所以 q 3 ? 2q 2 ? 1 ? 0 解得 q ? 1 或 q ? , (q ? 1)(q 2 ? q ? 1) ? 0 ????????8 分

a a 1? 5 1? 5 (舍去负值).所以 a2 ? q ? 1 或 a2 ? q ? ?10 分 2 2 1 1

a2 ? b2 ? k , 使 an ? an?2 ? ?an?1 (仅给出结论 2 分) (3)存在常数 ? ? ab

a2 2 ? k a1 ? a1 ? a3 a1 a 2 ? b2 ? k (或从必要条件入手 a1 ? a3 ? ? a2 ? ? ? ) ? ? a2 a2 ab
2 2 证明如下:因为 an ?1 ? an an? 2 ? k , 所以 an ? an?1an?1 ? k , n ? 2, n ? N * 2 2 2 2 所以 an ?1 ? an ? an an?2 ? an?1an?1 , 即 an?1 ? an?1an?1 ? an an? 2 ? an

??12 分 ??14 分

由于 a n ? 0, 此等式两边同除以 a n a n ?1 , 得 所以

a n ? a n ? 2 a n ?1 ? a n ?1 an ?1 ? an

a n ? a n ? 2 a n ?1 ? a n ?1 a ?a ?? ? 1a 3 , an ?1 ? an 2 a1 ? a3 a2 a n ?1
?????????????? 16 分

* 即当 n ? N 都有 a n ? a n ? 2 ?

2 因为 a1 ? a, a2 ? b, an?1 ? an an?2 ? k , 所以 a3 ?

b2 ? k a

b2 ? k a? 2 2 a1 ? a3 a ? a ?b ?k ? ? 所以 a 2 b ab

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所以对任意 n ? N 都有 an ? an? 2 ? ?an?1 ,
*

此时 ? ?

a2 ? b2 ? k ab

?????????????????18 分

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