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高三月考


辉县一中 2012-2013 学年 12 月份高三质量检测 数学(文)
命题人:庾晓燕 考查范围
选择、填空题考查范围:集合与简易逻辑、函数与导数、不等式、三角函数与解 三角形、平面向量、数列; 解答题:高考模式.
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若 A ?

{ x || x |? 2}, B ? { x | x ? a } , A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 2 B. a ? ? 2 2. 若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( θ A.sin 2 θ B.cos 2 C. a ? 2 ) θ C.tan 2 D. a ? ? 2

D.cos2θ )

3. 已知等比数列 { a n } 中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 40, a 4 ? a 5 ? a 6 ? 20 ,则前 9 项之和等于( A.50 B.70 C.80 D.90
2

4.设函数 f ( x ) 为偶函数,且当 x ? [ 0 , 2 ) 时 f ( x ) ? 2 sin x ,当 x ? [ 2 , ?? ) 时 f ( x ) ? log 则 f (? A. ?
?
3 ) ? f (4) ? (

x,

) B. -3 C. 3 D.
3?2

3?2
? ?

5. 函数 f ( x ) ? 3 s in ? 2 x ? 在区间 ? ?
? ? ?

?? 11 ? 对称;②函数 f ( x ) ? 的图象为 C ,①图象 C 关于直线 x ? ?? 12

5? ? ? , ? 内是增函数;③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图 ?? ?? ? ?

象 C ,以上三个论断中,正确论断的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 6.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2, 0) , b ? 1 ,则 a ? 2 b =(

D. 3 )

A. 3 B.2 3 C.4 D.12 7.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85? 且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 西偏北 25? 且 B 到 C 的距离为 3k m ,则 A , B 两船的距离为( A. 2 3 km 8. 函数 f ( x ) ?
1

) C. 1 5 km D. 1 3 km )

B. 3 2 km
? (1 ? 2 x ) ? 1 ? 2 2 ?
x

? 的图象大致为( ?

-1-

9. 设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则 A. a ? ?
1 e





B. a ? ?

1 e

C. a ? ? 1

D. a ? ? 1

10.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a 2 、a 4 是方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的两个根, S 5 等于 则 ( A.
5 2



B.5

C. ?

5 2

D.-5

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 11.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为 ( ?x ? 1 ? 0 ?



A. ? 5

B. ? 4

C. ? 2

D.3

12.已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数, f ? x ? 1 ? ? ? f ? x ? , 若 f ? x ? 在 ? ? 1, 0 ? 上是增函 且 数,那么 f ? x ? 在 ?1, 3 ? 上是( )

A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题横线上.
? ? x, x ? 2000 ? 2 cos 13.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f 3 ? x ? 2000, x ? 2000 ?

? f ( 2 0 1 3) ? ?

.

14. lo g 2

1 ln 2 ? lo g 9 2 7 ? ( ) 1 6 = e

1

.

15.已知函数 f ( x ) 的定义域是 ? ? 1, 5 ? ,部分对应值如表所示, f ( x ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 的图 象如图所示, —1 0 1 2 下列关于函数 f ( x ) 的命题:

x f(x)

4 2

5 1

①函数 f ( x ) 的值域为[1,2]; ②函数 f ( x ) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x ? [ ? 1, t ] 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2时 , 函 数 y ? f ( x ) ? a 有 4 个零点. 其中真命题为 (请把真命题的序号都填上) 16. 对大于或等于2 的自然 数m 的n 次幂有如下分解方式:

-2-

根据上述分解规律,则 m 的值为_______.

的分解中最小的数为 73, 则

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 函数 y
? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? 2 )

的一段图象如图所示.

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 ( 0 , ? ) 内的 4 单调递增区间.

18.

(本小题满分12 分) 如 图,在四 棱 锥P-ABCD 中,PA 丄平面ABCD,底 面ABCD 是菱 形, AB= 2, (1) 平面 PBD 丄平面 PAC; (2) 当 四棱锥P-ABCD 的 体积等于 时,求PB 的长.
P _

.

D _

A _

C _

B _

-3-

19. (本小题满分12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个

数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

20.

(本小题满分12 分) 已知椭圆 C:

x 2 + y 2 =1(a>b>0)的离心率为 a 2 b2

6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3

3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△AOB 面积的最大值.

3, 2

-4-

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x ) ? x ? (
3

m 2

? 2) x

2

? 2x .

(1)若 m=-3,求函数 g ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 t ? [1, 2 ] ,函数 g ( x ) 在区间(t,3)上总不为单调函数,求实数 m 的取值范 围.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
? ABC 中, AB ? AC , 过点 A 的直线与其外接圆交于 点 P ,交 BC 延长线于点 D.

(1)求证:

PC AC

?

PD BD

;

(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值.

A P B C D

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

-5-

参考答案: 选择题 CCBDC BDADA BC 13.-2 14.18 15.②

16.9

2π 17. 【解析】(1)由图知 A=2,T=π ,于是 ω = =2,

T

将(

? 6

, 2 )代入 y ? 2 sin( 2 x ? ? ) ,得 ? ?

? 6

π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? π 或(将 y=2sin 2x 的图象向左平移 ,得 y=2sin(2x+φ )的图象. 12 π? π π ? 于是 φ =2? = ,∴f(x)=2sin?2x+ ?.) 6? 12 6 ?
? ? ? π? π? (2)依题意得 g(x)=2sin?2?x- ?+ ?= 2 sin( 2 x ? ) 4? 6? ? ? 3

由 2k? ?

? 2

? 2x ?

? 3

? 2k? ?

? 2

,得 k ? ?
5? 12

? 12

? x ? k? ? , ?)

5? 12

又? x ? ( 0 , ? ) ? 单调递增区间是: ( 0 ,

), (

11 ? 12

18.证明:(1) ? 底面 ABC D 是菱形, ? BD ? AC , ? P A ? 平面 A B C D , BD ? 平面 A B C D ? BD ? PA . AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , AC ? PA ? A , ? BD ? 平面 PAC , ? BD ? 平面 PBD ,
? 平面 PBD ? 平面 PAC .

(2)? 底面 ABCD 是菱形, AB ? 2 , ? BAD ? 60 0 ,
?

菱形 ABCD
1 2
1 ?2 3 ? PA ?

的面积为 S 菱形 ABCD ? 2 ?

? AB ? AD ? sin 60

0

? 2?2?

3 2

? 2 3 ,
3 2

? 四棱锥 P ? ABCD 的高为 PA ,?

3 ,得 PA ?

3 ? P A ? 平面 A B C D , AB ? 平面 A B C D ,

? PA ? AB .

在 Rt ? PAB 中, PB ?

PA

2

? AB

2

?

?3? ? ? ?2?

2

? 2

2

?

5 2

.

19.【解析】 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 = ,所以 n=2 000, n 100+300

-6-

则 z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得 = ,则 a=2. 1 000 5 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2 表示 2 辆舒 适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其中 至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3),共 10 个. 事件 E 包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 1 (3)样本平均数 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基本 事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个,所以 6 3 3 P(D)=8=4,即所求概率为4.

20.【解析】

?c 6 , ? ? (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意得 ? a 3 ?a ? 3, ?
x2 2 +y =1. 3

∴b=1,∴所求椭圆方程为 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), ①当 AB⊥x 轴时,|AB|=

3;

②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 由已知

|m| 1? k
2

=

3 ,得 m2= 3 4 2

(k2+1).

2 2 2 把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)x +6kmx+3m -3=0,

∴x1+x2=

?6km 3(m 2 ? 1) ,x1x2= , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

2 2 2 ∴|AB| =(1+k )(x2-x1)

-7-

=(1+k2)[

36k 2 m2 12(m2 ? 1) ] (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

=

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) (3k 2 ? 1) 2

3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 = =3+ 4 9k ? 6k 2 ? 1 (3k 2 ? 1) 2
12 12 =3+ 2 =4(k≠0), ≤3+ 1 9k ? 2 ? 6 2?3 ? 6 k
2 当且仅当 9k =

1 3 ,即 k=± 时等号成立. 2 k 3

当 k=0 时,|AB|=

3 .综上所述|AB|max=2.

∴当|AB|最大时,△AOB 的面积取最大值, S=

1 3= 3. ?|AB|max? 2 2 2
3

21. 【解析】 (1)当 m=-3 时, g ( x ) ? x ?
g ' (x ) ? 3x
2

1 2

x

2

? 2x

? x ? 2 ? ( x ? 1)( 3 x ? 2 )
2 3 , ?? ) ,减区间: ( ? 1, 2 3 )

? 增区间: ( ?? , ? 1 ), (

(2) g ' ( x ) ? 3 x 2 ? ( m ? 4 ) x ? 2
? g'(t) ? 0 ? g ' ( 0 ) ? ? 2 ,? ? ? g ' (3) ? 0
2 ? m ? 4 ? ? 3t 2 ? 3t ? (m ? 4)t ? 2 ? 0 ? t 得: ? ? ? 37 ? 27 ? ( m ? 4 ) ? 3 ? 2 ? 0 ? m ? ? 3 ?

,对于任意 t ? [1, 2 ] 成立

? ?

37 3

? m ? ?9 .

-8-

22. (1)证明:∵ ? CPD ? ? ABC , ? D ? ? D , ∴ ? D P C ∽ ? D B A ,? 又? AB ? AC ,? (2)? AB ? AC ,
? ? B ? ? ACB .
PC AC

PC AB
?

?

PD BD
.

.

PD BD

又? ? B ? ? APC ? 180 ? .
?A C B? ? A C D ? 1 8 0 , ?

? ?ACD ? ?APC , 又 ? ?CAP ? ?CAP ,
? ? APC ∽ ? ACD , ? AP AC ? AC AD .

? AC

2

? AP ? AD ? 9

23.【解析】 (1)当 a ? ? 3 时, f ( x ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
x ? 2 2 ? x ? 3 x ? 3 ? ? ? ? ? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3? x ? 2 ? 3

? x ? 1或 x ? 4

故所求不等式的解集是: ? x x ? 1或 x ? 4? . (2)原命题 ? f ( x ) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立
? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ? 2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?3 ? a ? 0

即 a 的取值范围是: ? ? 3, 0 ? . ?

-9-


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