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2014-2015年世纪金榜精品优质课件高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 3.1.1 空间向量及其加减运算

时间:2015-01-02


第三章

空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算

引入 复习平面向量

⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量.
几何表示法: 用有向线段表示. 字母表示法: 用字母a,b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示.

相等的向量: 长度相等且方向相同的向量.

B

D

A

C

⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法:

a?b

a?b

b

b

a

a

平行四边形法则

三角形法则(首尾相连)

⑵向量的减法 三角形法则
a?b

b

a

减向量终点指向被减向量终点

看下面建筑 这个建筑钢架 中有很多向量,但 它们有些并不在同 一平面内——这就 是我们今天要学习 的空间向量.

1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量的概念.

3. 掌握空间向量的加减运算. (重点)

探究点1 概念 1. 空间向量 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量(space vector ). 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).

2. 空间向量的表示 向量 a 的起点是

A,终点是B,则向量

B

a 也可以记作AB,其
模记为| a |或|AB|

a
A

提升总结 (1)我们规定,长度为0的向量叫做零向量 (zero vector),记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时,AB= 0 . (2)模为1的向量称为单位向量(unit

vector).
(3)两个向量不能比较大小,因为决定向量
的两个因素是大小和方向,其中方向不能比较大

小.

3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量,记为 – a . 4. 相等向量(equal vector) 方向相同且模相等的向量称为相等向量.

提升总结

(1)空间的一个平移就是一个向量.
(2)向量一般用有向线段表示,同向等长的

有向线段表示同一或相等的向量 .
(3)空间的两个向量可用同一平面内的

两条有向线段来表示.

b

a
b a A

B

O

结论:空间任意两个向量都是共面向量,

所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.

探究点2 空间向量的加减运算 1. 空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间,所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同. a o b A B

C

B

o

a

A

加法:

OB=OA+AB=a+b,

减法:CA=OA-OC=a-b.

你能证明 下列性质吗?

2. 空间向量的加法运算律

(1)加法交换律
a + b = b + a

(2)加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)

证明加法交换律:

C

a

B

o

a

A

因为 OA = CB = a, AB = OC = b, 所以 a + b = b + a.

证明加法结合律:
O a A b B C c

因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以 (a + b) + c = a + (b + c).

3.对空间向量的加减法的说明 (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加.

4.扩展
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的量. 即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ?

? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ?

? An A1 ? 0

例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.

(1) AB ? BC .
A'

D' B'

C'

(2) AB ? AD ? AA' .
D A B

C

解:

⑴ AB ? BC ? AC .

D' A' B'

C'

(2) AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'

  ? AC ? CC'
? AC' .
A

D B

C

提升总结

始点相同的三个不共面向量之和,等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始

点为始点的体对角线所表示的向量.

1.给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同. (2)若空间向量 a, b 满足 | a |?| b | ,则 a ? b . (3)在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,必有 AC = A1C1 . (4)若空间向量 m, n,p 满足 m = n,n = p ,

则 m? p . (5)空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是( C ) A.1 B.2 C.3
D.4

2.给出以下几种说法: ①若| a |=| b |,则 a , b 的长度相同,方 向相同或相反; ②若向量 a 是向量 b 的相反向量, 则| a |=| b |; ③空间向量的减法满足结合律; → → → ④在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC.
②③ 其中正确说法的序号是__________ .

答案:②③

3.(2013·福建高二检测)空间两向量 a, b 互为 相反向量,已知向量 | b |? 3 ,则下列结论正确的 是( D ) A. a ? b C. a 与 b 方向相同 B. a ? b 为实数 0 D. | a |? 3

提升总结

1.两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向
不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向

量相等的必要不充分条件.
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满

足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键.

一、回顾本节课你有什么收获? 1.空间向量的概念.

在空间,具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.

空间向量的加减运算应用三角形法则和平 行四边形法则.

3.空间向量的加法符合交换律,结合律. 4.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内, 成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平 面向量中有关结论仍适用于它们.

二、空间向量的基本概念
平面向量 定义 具有大小和方向的量 空间向量 在空间,具有大小和方 向的量

表示法

几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a

几何表示法 字母表示法 a AB

向量的模

AB

向量的大小

a

AB

平面向量 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 方向相同且模相等的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

空间向量

方向相同且模相等的向 量
长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

三、空间向量的加法、减法运算
平面向量 加法减法 运算 加法:三角形法则或平 行四边形法则 减法:三角形法则
a ?b ? b?a

空间向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

加法交换律

运算律

加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

生命之灯因热情而点燃,生命之舟因 拼搏而前行.


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