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精品教案 2.1.2 指数函数及其性质

时间:2016-08-05


2.1.2

指数函数及其性质 第 1 课时

本教学设计获福建省数学设计大赛一等奖. 整体设计 教学内容分析 本节课是 《普通高中课程标准实验教科书· 数学(1)》 (人教 A 版)第二章第一节第二课(2.1.2) 《指数函数及其性质》 .根据实际情况,将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数 的图象及其性质,指数函数及其性质的应用(

1),指数函数及其性质的应用(2)〕 ,这是第一节 课“指数函数的图象及其性质”.指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它 不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础, 同时在生活及生产实际中有着广泛的应用, 所以 指数函数应重点研究. 学生学习情况分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念, 基本掌握了函数性质的基础上进行研究的, 是 学生对函数概念及性质的第一次应用.教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP 的增 长问题和碳 14 的衰减问题),已经让学生感受到了指数函数的实际背景,但这两个例子的背 景对于学生来说有些陌生. 本节课先设计一个看似简单的问题, 通过超出想象的结果来激发 学生学习新知的兴趣和欲望. 设计思想 1. 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置. 如何突破这个既重要又抽象的内容, 其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来, 通过具有一定思考价值的 问题,激发学生的求知欲望——持久的好奇心.我们知道,函数的表示法有三种:列表法、 图象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注到图象的作用,这其实只是借助了图象的直 观性,只是从一个角度看函数,是片面的.本节课力图让学生从不同的角度去研究函数,对 函数进行一个全方位的研究, 并通过对比总结得到研究的方法, 让学生去体会这种研究方法, 以便能将其迁移到其他函数的研究中去. 2.在本节课的教学中我努力实践以下两点: (1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. (2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反 思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法. 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法. 教学目标 根据学生的实际情况,本节课的教学目标是:理解指数函数的概念 ,能画出具体指数 函数的图象;在理解指数函数概念、性质的基础上,能应用所学知识解决简单的数学问题; 在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方 法,加深对指数函数的认识,让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方 法之重要; 同时通过本节课的学习, 使学生获得研究函数的规律和方法; 培养学生主动学习、 合作交流的意识. 重点难点 教学重点:指数函数的概念、图象和性质. 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质. 教学过程 一、创设情境、提出问题(约 3 分钟) 师:如果让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 6 粒米,4 号同 学准备 8 粒米,5 号同学准备 10 粒米,??,按这样的规律,51 号同学该准备多少粒米? 学生回答后教师公布事先估算的数据:51 号同学该准备 102 粒米,大约 5 克重. 师:如果改成让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 8 粒米,4 号同学准备 16 粒米,5 号同学准备 32 粒米,??,按这样的规律,51 号同学该准备多少粒 米? 学情预设

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学生可能说出很多或能算出具体数目. 师:大家能否估计一下 51 号同学该准备的米有多重吗? 教师公布事先估算的数据:51 号同学所需准备的大米约重 1.2 亿吨. 师: 1.2 亿吨是一个什么概念?根据 2007 年 9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示, 2007~2008 年度我国大米产量预计为 1.27 亿吨. 这就是说 51 号同学所需准备的大米相当于 2007~2008 年度我国全年的大米产量! 设计意图 用一个看似简单的实例, 为引出指数函数的概念做准备; 同时通过与一次函数的对比让 学生感受指数函数的爆炸增长,激发学生学习新知的兴趣和欲望. 在以上两个问题中, 每位同学所需准备的米粒数用 y 表示, 每位同学的座号数用 x 表示, y 与 x 之间的关系分别是什么? 学生很容易得出 y=2x(x∈N*)和 y=2x(x∈N*). 学情预设 学生可能会漏掉 x 的取值范围,教师要引导学生思考具体问题中 x 的取值范围. 二、师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 师:其实,在本章开头的问题中,也有一个与 y=2x 类似的关系式 y=1.073x(x∈N*, x≤20). (1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出,约 3 分钟): ①y=2x(x∈N*)和 y=1.073x(x∈N*,x≤20)这两个解析式有什么共同特征? ②它们能否构成函数? ③是我们学过的哪个函数?如果不是, 你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字? 设计意图 引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型.学生对比已经学过的一次函数、反 比例函数、二次函数,发现 y=2x,y=1.073x 是一个新的函数模型,再让学生给这个新的函 数命名,由此激发学生的学习兴趣. 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量. 师:如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 y=ax 的形式.自 变量在指数位置,所以我们把它称作指数函数. (2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约 6 分钟). 对于底数的分类,可将问题分解为: 1 ①若 a<0,会有什么问题?(如 a=-2,x= ,则在实数范围内相应的函数值不存在) 2 x ②若 a=0,会有什么问题?(对于 x≤0,a 都无意义) ③若 a=1 又会怎么样?(1x 无论 x 取何值,它总是 1,对它没有研究的必要 ) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0 且 a≠1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话. ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义, 教师可以问, 为什么要求 a>0, 且 a≠1; a=1 为什么不行? ②若学生只给出 y=ax,教师可以引导学生通过类比一次函数(y=kx+b,k≠0)、反比例 k 函数(y= ,k≠0)、二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)中的限制条件,思考指数函数中底 数的 x 限制条件.学情预设 设计意图 ①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义 和研究价值; ②讨论出 a>0,且 a≠1,也为下面研究性质时对底数的分类做准备. 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义, 能否写出一两个指数函数?教师也 x 在黑板上写出一些解析式让学生判断,如 y=2×3 ,y=32x,y=-2x. 学情预设 学生可能只是关注指数是否是变量,而不考虑其他的.
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设计意图 加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解. 2.指数函数的性质 (1)提出两个问题(约 3 分钟) ①目前研究函数一般可以包括哪些方面? 设计意图 让学生在研究指数函数时有明确的目标:函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数 的基本性质(单调性、奇偶性). ②研究函数(比如今天 的指数函数)可以怎么研究?用什么方法、从什么角度研究? 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手(即底数取一 些数值);当然也可以用列表法研究函数,只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函 数的性质, 可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍! 还可以借助一些数学思想 方法来思考. 设计意图 ①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法,由此引导学生可以从图象和解析式(包 括列表)两个不同的角度对函数进行研究; ②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、 数形结合、 分类讨论)的有机渗透. (2)分组活动,合作学习(约 8 分钟) 师:下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究. ①让学生分为两大组,一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数,一组借助电脑 通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数; ②每一大组再分为若干合作小组(建议 4 人一小组); ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流. 学情预设 考虑到各组的水平可能有所不同,教师应巡视,对个别组可做适当的指导. 通过自主探索、 合作学习, 不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解. 设 计意图 (3)交流、总结(约 10~12 分钟) 师:下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况, 此时可选一些有代表性的小组上台展示研究 成果,并对比从两个角度入手研究的结果. 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分 析.这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外,再引导学生注意是否还有其他性质? 师:各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的 1?x 副产品呢? 如过定点(0,1),y=ax与y=? ?a? 的图象关于y轴对称 学情预设 ①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报; ②对于从图象的角度研究的,可先选没对底数进行分类的小组上台汇报; ③问其他小组有没有不同的看法,上台补充,让学生对底数进行分类,引导学生思考哪 个量决定着指数函数的单调性, 以什么为分界, 教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变 化. 设计意图 ①函数的表示法有三种:列表法、图象法、解析法,通过这个活动,让学生知道研究一 个具体的函数可以从多个角度入手, 从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质, 而 具体的性质还是要通过对解析式的论证; 特别是定义域、 值域更是可以直接从解析式中得到 的. ②让学生上台汇报研究成果, 使学生有种成就感, 同时还可训练其对数学问题的分析和 表达能力,培养其数学素养; ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点,让学生在讨论中自己解决分类问题, 使该难点的突破显得自然.





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师:从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性,以及过定点(0,1),但定义域、 值域却不可确定;从解析式(结合列表)可以很容易得出函数 的定义域、值域,但对底数的分 类却很难想到. 教师通过几何画板中改变参数 a 的值,追踪 y=ax 的图象,在变化过程中,让全体学生 进一步观察指数函数的变化规律. 师生共同总结指数函数的 图象和性质,教师可以边总结边板书.

图象

0<a<1 定义域 值域 R (0,+∞)

a>1

过定点(0,1) 性质 非奇非偶 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 三、巩固训练、提升总结(约 8 分钟) 1.例:已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠ 1)的图象经过点(3,π),求 f(0),f(1),f(- 3)的值. 解:因为 f(x)=ax 的图象经过点(3,π),所以 f(3)=π, 即 a3=π.解得 a

? π ,于是 f(x)= π .

1 3

x 3

1 3 所以 f(0)=1,f(1)= π,f(-3)= . π 设计意图 通过本题加深学生对指数函数的理解. 师:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 师:从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即布列一个方程 就可以了. 设计意图 让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透方程的思想. 1?x 2.练习:(1)在同一平面直角坐标系中画出 y=3x 和 y=? ?3? 的大致图象,并说出这两个 函数的性质; (2)求下列函数的定义域:① y

?2

x?2

? 1 ?x ;② y ? ? ? . ?2?

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3.师:通过本节课的学习,你对指数函数有什么认识?你有什么收获? 学情预设 学生可能只是把指数函数的性质总结一下, 教师要引导学生谈谈对函数研究的学习, 即 怎么研究一个函数. 设计意图 ①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行),让学生体会本节课的研 究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去. ②总结本节课中所用到的数学思想方法. ③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系,相互作用,才能融会贯通. 4.作业:课本习题 2.1A 组 5.
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教学反思 1.本节课改变了以往常见的函数研究方法,让学生从不同的角度去研究函数,对函数 进行一个全方位的研究, 不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质, 更重要的是让学生体 会到对函数的研究方法, 以便能将其迁移到其他函数的研究中去, 教师可以真正做到“授之 以渔”而非“授之以鱼”. 2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足,可 以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率,本节课使用几何画板可以动态地 演示出指数函数的底数的变化过程,让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响. 3.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法,让学生在活动中感受数学思想方法之 美、体会数学思想方法之重要,部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问 题. 指数函数及其性质的应用 整体设计 三维目标 1.知识与技能 理解指数函数的图象和性质,会利用性质来解决问题. 2.过程与方法 能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小, 图象间的平移, 去探索利用指数函 数的单调性来求未知字母的取值范围. 3.情感、态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型, 激发学生学习数 学的兴趣,努力培养学生的创新意识. 重点难点 教学重点:指数函数的图象和性质. 教学难点:指数函数的性质应用. 教学过程

第 2 课时

指数函数及其性质的应用(1)

导入新课 思路 1.复习导入:我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一 下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是 本堂课要讲的主要内容.教师板书课题. 思路 2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比 和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性),以便于我 们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质 的应用(1). 应用示例 例 1 比较下列各题中的两个值的大小: - - (1)1.72.5 与 1.73;(2)0.8 0.1 与 0.8 0.2;(3) 1.70.3 与 0.93.1. 活动:学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的方 法,再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案).比较数的大小,一是作差,看两 个数差的符号,若为正,则前面的数大;

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图1 二是作商,但必须是同号数,看商与 1 的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个 数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视 其他学 生的解答,发现问题及时纠正并评价. 解法一:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出 y=1.7x 的图象, 如图 1. 在图象上找出横坐标分别为 2.5,3 的点,显然,图象上横坐标为 3 的点在横坐标为 2.5 - - 的点的上方,所以 1.72.5<1.73,同理 0.8 0.1<0.8 0.2,1.70.3>0.93.1. 2.5 解法二:用计算器直接计算:1.7 ≈3.77,1.73≈4.91, - - 所以 1.72.5<1.73.同理 0.8 0.1<0.8 0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三:利用函数单调性, (1)1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7x,当 x=2.5 和 3 时的函数值; 因为 1.7>1,所以函数 y=1.7x 在 R 上是增函数,而 2.5<3,所以 1.72.5<1.73; - - (2)0.8 0.1 与 0.8 0.2 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y=0.8x,当 x=-0.1 和-0.2 时的 - 函数值;因为 0<0.8<1,所以函数 y=0.8x 在 R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以 0.8 0.1 - <0.8 0.2; (3)因为 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以 1.70.3>0.93.1. 点评: 在第(3)小题中, 可以用解法一、 解法二解决, 但解法三不适合. 由于 1.70.3 与 0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与 1 比较 大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小,这里的 1 是中间值. 思考 在上面的解法中,你认为哪种方法更实用? 活动:学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多 种解法中选择最优解法,这要通过反复练习强化来实现. 变式训练 1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列 a,b,c. 解:b<a<c(a、b 可利用指数函数的性质比较,而 c 是大于 1 的). 2.比较 a 与 a 的大小(a>0 且 a≠1). 解:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论:当 0<a<1 时, a
1 3 1 2 1 3 1 3

1 2

?a ;

1 2

当 a>1 时, a ? a . 例 2 用函数单调性的定义证明指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的单调性. 活动:教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性, 要按规定的格式书写. 证法一:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 y2-y1= a
x
x2

? a 1 ? a 1 (a

x

x

x2

? x1 ? 1) .

x ?x x ?x 因为 a>1,x2-x1>0,所以 a 2 1 >1 ,即 a 2 1 -1>0.

又因为 a 1 >0,所以 y2-y1>0,即 y1<y2. 所以当 a>1 时,y=ax,x∈R 是增函数. 同理可证,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数. y2 a 证法二:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 y2 与 y1 都大于 0,则 = x y1 1 y 因为 a>1,x2-x1>0,所以 a >1,y1<y2. >1 >1,即y2 1 x 所以当 a>1 时,y=a ,x∈R 是增函数.
6

x2

x2 ? x1

a

?a

x2 ? x1

.

同理可证,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数. 变式训练 若指数函数 y=(2a-1)x 是减函数,则 a 的取值范围是多少? 1 解:由题可知 0<2a-1<1,即 <a<1. 2 例 3 截止到 1999 年底, 我国人口约 13 亿, 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 活动:师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一 般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况, 再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿; 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿; 经过 2 年 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿; 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿; ?? 经过 x 年 人口约为 13(1+1% )x 亿; 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿. 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则 y=13(1+1%)x, 当 x=20 时,y=13(1+1%)20≈16(亿). 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 点评:类似此题,设原值为 N,平均增长率为 p,则对于经过时间 x 后总量 y=N(1+ x p) (x∈N),像 y=N(1+p)x 等形如 y=kax(k∈R,且 k≠0;a>0,且 a≠1)的函数称为指数型 函数. 知能训练 1.函数 y=a|x|(a>1)的图象是( )

图2 解析:当 x≥0 时,y=a|x|=ax 的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数. 答案:B 2.下列关系中正确的是( )

? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ?3 A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?5? ? 2? ? 1 ?3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 B. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ?5?
2 1 2
1 2 2

2

2

1

? 1 ? 3 ? 1 ?3 ? 1 ? 3 C. ? ? ? ? ? ? ? ? ?5? ? 2? ? 2?
? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ?3 D. ? ? ? ? ? ? ? ? ?5? ? 2? ? 2?
答案:D
7

2

2

1

3.已知函数 f(x)的定义域是(0,1),那么 f(2x)的定义域是( ) 1 ? A.(0,1) B.? C.(-∞,0) D.(0,+∞) ?2,1? 解析:由题意得 0<2x<1,即 0<2x<20,所以 x<0,即 x∈(-∞,0). 答案:C 4.若集合 A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则( ) A.A B B.A B C.A=B D.A∩B= ? 解析:A={y|y>0},B={y|y≥0},所以 A B. 答案:A 5.对于函数 f(x)定义域中的任意的 x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)· f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2); f(x1)-f(x2) f(x1)+f(x2) x + x 1 2? ③ >0;④f? < . 2 ? 2 ? x1-x2 当 f(x)=10x 时,上述结论中正确的是__________.
x ?x 解析:因为 f(x)=10x,且 x1≠x2,所以 f(x1+x2)=10 1 2 以①正确; x ?x x x

? 10 1 ?10

x

x2

=f(x1)· f(x2),所

因为 f(x1· x2)=10 1 2 ? 10 1 ? 10 2 =f(x1)+f(x2),②不正确; 因为 f(x)=10x 是增函数,所以 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号, f(x1)-f(x2) 所以 >0,所以③正确. x1-x2 因为函数 f(x)=10x 图象 如图 3 所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图3 答案:①③④ 另解:④.∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,

10 1 ? 10 ∴ 2


x

x2

? 10 ?10
x1? x2

x1

x2

10 1 ? 10 .∴ 2

x

x2

? 10 1

x ? x2



10 ? 10 2

x1

x2

? 10

2

f(x1)+f(x2) ?x1+x2? .∴ >f 2 ? 2 ?.

拓展提升 在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系. + - (1)①y=3x,②y=3x 1,③y=3x 1; 1?x ?1?x-1 ?1?x+1 (2)①y=? ?2? ,②y=?2? ,③y=?2? . 活动:学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路,教师可以提示.学生回忆函数 作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点. 解:如图 4 及图 5.

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观察图 4 可以看出,y=3x,y=3x 1,y=3x 1 的图象间有如下关系: + y=3x 1 的图象由 y=3x 的图象左移 1 个单位得到; - y=3x 1 的图象由 y=3x 的图象右移 1 个单位得到; + x-1 y=3 的图象由 y=3x 1 的图象向右移动 2 个单位得到. 1?x ?1?x-1 ?1?x+1 观察图 5 可以看出,y=? ?2? ,y=?2? ,y=?2? 的图象间有如下关系: 1?x+1 ?1?x y=? ?2? 的图象由 y=?2? 的图象左移 1 个单位得到; 1?x-1 ?1?x y=? ?2? 的图象由 y=?2? 的图象右移 1 个单位得到; 1?x-1 ?1?x+1 的图象向右移动 2 个单位得到. y=? 的图象由 y = ?2? ?2? 你能推广到一般的情 形吗?同学们留作思考. 课堂小结 思考 本节课我们主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上. 活动:教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内 容一致. 本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对 问题的分析能力,形成了一定的能力与方法. 作业 课本习题 2.1 B 组 1,3,4. 设计感想 本节课主要是复习巩固指数函数及其性质, 涉及的内容较多, 要首先组织学生回顾指数 函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观 性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要 分 a>1,0<a<1,这是分类讨论的思想,因此加大了习题和练习的量,目的是让学生在较短 的时间内,掌握学习的方法,提高分析问题和解决问题的能力,要加快速度,多运用现代化 的教学手段.
+ -

第 3 课时

指数函数及其性质的应用(2)

导入新课 思路 1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比 + - 和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x 1,③y=3x 1 的图 x x+m 象之间的关系, 由其中的一个可得到另外两个的图象, 那么, 对 y=a 与 y=a (a>0, m∈R) 有着怎样的关系呢?在理论上, 含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂 课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质的应用(2). 思路 2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的 重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时 应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的 是指 数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题,也是
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我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指数函数有哪些性质? (2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些? (3)对复合函数,如何证明函数的单调性? (4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有 困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容. 讨论结果:(1)指数函数的图象和性质 一般地,指数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所 示: a>1 0<a<1

图 象

图 象 特 征

图象分布在一、二象限,与 y 轴相交,落在 x 轴的上方 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都大于 1; 第一象限的点的纵坐标都大 第二象限的点的纵坐标都大于 0 于 0 且小于 1;第二象限的点 且小于 1 的纵坐标都大于 1 从左向右图象逐渐上升 从左向右图象逐渐下降 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞)

(3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y (4)x>0 时, 0<y<1; x<0 时, <1 y>1 (5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数 (2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是: ①取值.即设 x1,x2 是该区间内的任意两个值且 x1<x2. ②作差变形.即求 f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差 的符号的方向变形. ③定号.根据给定的区间和 x2-x1 的符号确定 f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可 以进行分类讨论. ④判断.根据单调性定义作出结论. (3)对于复合函数 y=f(g(x))可以总结为: 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时,复合函数 y=f(g(x))是增函数; 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相异即不同时,复合函数 y=f(g(x))是减函数; 又简称为口诀“同增异减”. (4)判断函数的奇偶性: 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考查式子 f(x)与 f(-x)的关系, 最后确定函数的奇偶性; 二是作出函数图象或从已知图象观察, 若图象关于原点或 y 轴对称, 则函数具有奇偶性. 应用示例 例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数 y=2x 的图象的关
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性 质

系. + + - - (1)y=2x 1 与 y=2x 2;(2)y=2x 1 与 y=2x 2. 活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法, 学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或 用计算机作图. 解:(1)列出函数数据表作出图象如图 6. x 0 1 2 3 ? -3 -2 -1 ? 2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ? ? x+1 0.25 0.5 1 2 4 8 16 2 ? ? + 0.5 1 2 4 8 16 32 2x 2 ? ?

图6 + + 比较可知函数 y=2x 1、y=2x 2 与 y=2x 的图象的关系为:将指数函数 y=2x 的图象向左 + 平行移动 1 个单位长度,就得到函数 y=2x 1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向左平行移 + 动 2 个单位长度,就得到函数 y=2x 2 的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图 7. x 0 1 2 3 ? -3 -2 -1 ? 2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ? ? x-1 0.062 5 0.125 0.25 0.5 1 2 4 2 ? ? - 0.031 25 0.062 5 0.125 0.25 0.5 1 2 2x 2 ? ?

图7 比较可知函数 y=2 、y=2 与 y=2 的图象的关系为:将指数函数 y=2x 的图象向右 - 平行移动 1 个单位长度,就得到函数 y=2x 1 的图象;将指数函数 y=2x 的图象向右平行移 x-2 动 2 个单位长度,就得到函数 y=2 的图象. + 点评:类似地,我们得到 y=ax 与 y=ax m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系: x+m y=a (a>0,m∈R)的图象可以由 y=ax 的图象变化而来. + 当 m>0 时,y=ax 的图象向左移动 m 个单位得到 y=ax m 的图象; + 当 m<0 时,y=ax 的图象向右移动|m|个单位得到 y=ax m 的图象. 上述规律也简称为“左加右减”.
x-1 x-2 x

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变式训练 - 为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 y=2x 的图象( ) A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 答案:A 点评:对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出. -2x+b 例 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 活动:学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等 式, 如果有困难, 教师可以提示, (1)从条件出发, 充分利用奇函数的性质, 由于定义域为 R, 所以 f(0)=0,f(-1)=-f(1),(2)在(1)的基础上求出 f(x),转化为关于 k 的不等式,利用恒成 立问题再转化. (1)解:因为 f(x)是奇函数, b-1 1-2x 所以 f(0)=0,即 =0?b=1.所以 f(x)= + ; a+2 a+2x 1 1 1- 2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2x 1 1 (2)解法一:由(1)知 f(x)= ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. + =- + x 2 2 +1 2+2x 1 又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因 f(x)为减函数,由上式推得: t2-2t>k-2t2,即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,∴k<- . 3 1-2x 解法二:由(1)知 f(x)= + . 2+2x 1 又由题设条件得
2t ?k ?1 2

1? 2 2?2

2 t ? 2t

2 t ?2t ?1

?

1? 2 2?2

2 2t ? k

2 2t ?k ?1

<0 ,
2 2t ?k

即 (2

? 2)(1 ? 2

t ?2t

2

) ? (2

2 t ?2t ?1

? 2)(1 ? 2

) ?0.

整理得 2

2 3t ?2t ?k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0,
1 为减 f(x)

1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,即 k<- . 3 点评:记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若 f(x)为增(减)函数,则 (增)函数. 知能训练 1?|1+2x|+|x-2| 求函数 y=? 的单调区间. ?2? 活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数 的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考 讨论,然后解答.

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1 解:由题意可知 2 与- 是区间的分界点. 2 1?-1-2x-x+2 ?1?1-3x 1 1 x - 当 x<- 时,因为 y=? =?2? =23x 1= · 8, ?2? 2 2 所以此时函数为增函数. 1?1+2x-x+2 ?1?3+x 1 1 ?1?x - - 当- ≤x<2 时,因为 y=? =?2? =2 3 x= · , ?2? 2 8 ?2? 所以此时函数为减函数. 1?1+2x+x-2 ?1?3x-1 1-3x ?1?x, 当 x≥2 时,因为 y=? =?2? =2 =2· ?2? ?8? 所以此时函数为减函数. 1 - ,2?,x2∈[2,+∞)时,因为 当 x1∈? ? 2 ?

?1? 2?? ? ?8?

x2

?3x ?x 1?3x ?3? x 1 ?1? 1 ?3 ? ?? ? ? 2? 2 2 ? 2 ? 2 1 ? 2 2 ? 2 1 , 8 ?2? x2

x

又因为 1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以 1-3x2<-3-x1,

?1? 即 2?? ? ?8?

1 ?1? 1 ? ?? ? . 8 ?2?

x

所以此时函数为减函数. 1 1 -∞,- ?上单调递增,在?- ,+∞?上单调递减. 综上所述,函数 f(x)在? 2? ? ? 2 ? 拓展提升 4x 设 m<1,f(x)= x ,若 0<a<1,试求: 4 +2 (1)f(a)+f(1-a)的值; 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?1 000? (2)f? ?1 001?+f?1 001?+f?1 001?+?+f?1 001?的值. 活动: 学生思考, 观察, 教师提示学生注意式子的特点,做这种题目, 一定要有预见性, 即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决. 4 - 4a 41 a 4a 4a 4a 4 4a 2 解: (1)f(a)+f(1-a)= a + 1-a = a + = a + + = a= a 4 +2 4 +2 4 +2 4 4 +2 4+2· 4 4 +2 2+4a a+2 4 a 4 +2 =1. 4a+2 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?1 000? (2)f? ?1 001?+f?1 001?+f?1 001?+?+f?1 001? ? 1 ? ?1 000?? ? ? 2 ? ? 999 ?? ? ? 500 ? ? 501 ?? =? ?f?1 001?+f?1 001??+?f?1 001?+f?1 001??+?+?f?1 001?+f?1 001?? =500×1=500. 点评:第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问题是衔接的,利用前 一个问题解决后一个问题是我们经常遇到的情形,要注意问题与问题之间的联系. 课堂小结 本节课复习了指数函数的性质, 借助指数函数的性质的运用, 我们对函数的单调性和奇 偶性又进行了复习巩固, 利用单调性和奇偶性解决了一些问题, 对常考的函数图象的变换进 行了学习,要高度重视,在不断学习中升华提高. 作业 课本习题 2.1B 组 2. 设计感想 指数函数作为一类基本的初等函数, 它虽然不具有函数通性中的奇偶性, 但是它与其他
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函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函 数,判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可 帮我们找到解题思路, 本堂课是在以前基础上的提高与深化, 同时又兼顾了高考常考的内容, 因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务. 备课资料 富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言 富兰克林利用放风筝而感受到电击, 从而发明了避雷针. 这位美国著名的科学家死后留 下了一份有趣的遗嘱: “??一千英镑赠给波士顿的居民, 如果他们接受了这一千英镑, 那么这笔钱应该托付 给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年 5%的利率借给一些年轻的手工业者去生 息.这些钱过了 100 年增加到 131 000 英镑.我希望那时候用 100 000 英镑来建立一所公共 建筑物, 剩下的 31 000 英镑拿去继续生息 100 年. 在第二个 100 年末了, 这笔钱增加到 4 061 000 英镑,其中 1 061 000 英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的 3 000 000 英镑让马萨 诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了!” 你可曾想过:区区的 1 000 英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开 河”,还是“言而有据”呢?事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作 出自己的判断. yn=m(1+a)n 就是复利公式,其中 m 为本金,a 为年利率,yn 为 n 年后本金与利息的总 和.在第一个 100 年末富兰克林的财产应增加到:y100=1 000(1+5%)100≈131 501(英镑), 比遗嘱中写的还多出约 501 英镑.在第二个 100 年末,遗产就更多了:y100′=31 501(1+ 5%)100≈4 142 421(英镑).可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的. 遗嘱故事启示我们: 在指数效应下, 微薄的财产, 低廉的利率, 可以变得令人瞠目结舌. 威 名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪! 1797 年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺 只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由 于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言!1894 年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了 “玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和 1 375 596 法郎的债款中,二者选取其 一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以 5%的年利率,在 97 年的指数效应下的产物.

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