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专题二十 不等式选讲


专题二十

不等式选讲

1.(15 年福建理科)已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ( x) =| x + a | + | x - b | +c 的最小值为 4. (Ⅰ)求 a + b + c 的值;

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值. 4 9 8 【答案】(Ⅰ) 4 ;(Ⅱ)

. 7
(Ⅱ)求 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 f ( x) =| x + a | + | x - b | +c 的最小值为 | a + b | +c ,故 |a + b| +c =4 ,即

a +b +c = 4 ;(Ⅱ)利用柯西不等式 ( x12 ? x22 ? x32 )( y12 ? y22 ? y32 ) ? ( x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 )2 求解.

| a + b| +c 试题解析:(Ⅰ)因为 f (x) =| x + a | +| x + b | +c ? | (x a) - (x + b) | +c =
当且仅当 - a #x

b 时,等号成立

又 a > 0, b > 0 ,所以 | a + b |= a + b ,所以 f (x) 的最小值为 a + b + c , 所以 a + b + c = 4 . (Ⅱ)由(1)知 a + b + c = 4 ,由柯西不等式得

骣 1 2 1 2 2 琪 琪 a + b +c 4 9 桫


骣 a b 3+c 1 ( 4 +9 +1) 炒琪 琪 2+ 创 2 3 桫

2

= ( a + b + c) = 16 ,

2

1 2 1 2 2 8 a + b +c ? . 4 9 7 1 1 b a 8 18 2 c , c = 时,等号成立 当且仅当 2 = 3 = ,即 a = , b = 7 7 7 2 3 1 1 2 1 2 2 8 所以 a + b + c 的最小值为 . 4 9 7
考点:1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式.

2.(15 年新课标 2 理科)设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

3.(15 年新课标 2 文科)设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件. 【答案】 【解析】 试题分析:(I)由 a ? b ? c ? d 及 ab ? cd ,可证明

?

a? b

? ??
2

c? d

? ,开方即得
2

a? b? c? d .

(II)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析: 解:(I)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

考点:不等式证明. 4.(15 年陕西理科)已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值. 【答案】 (I) a ? ?3 , b ? 1 ; (II) 4 . 【解析】 试题分析: (I) 先由 x ? a ? b 可得 ?b ? a ? x ? b ? a , 再利用关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4

?

?

?

?

可得 a ,b 的值; (II) 先将 ?3t ? 12 ? t 变形为 3 ? 4 ? t ? t , 再利用柯西不等式可得 ?3t ? 12 ? t 的 最大值. 试题解析: (I)由 | x + a |< b ,得 - b - a < x < b - a 则?

??b ? a ? 2, 解得 a = - 3 , b = 1 ? b ? a ? 4,
? ? ?

(II) ?3t +12+ t ? 3 4 ? t ? t ?

? ?

3 ? 12 ? ? ? ? ? ? ?
2

?

4?t

? ? ?
2

?

2 t ? ? ?

= 2 4 - t +t = 4
当且仅当 故

4- t t ,即 t = 1 时等号成立, = 1 3

(

- 3t +12+ t

)

max

=4.

考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式.

5.(15 年陕西文科)已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值. 【答案】(I) a ? ?3, b ? 1 ;(II) 4 . 【解析】 试题分析:(I)由 x ? a ? b ,得 ?b ? a ? x ? b ? a ,由题意得 ?
2

? ?b ? a ? 2 ,解得 a ? ?3, b ? 1 ; ?b ? a ? 4
2 2 2

(II)柯西不等式得 ?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t ? [( 3) ? 1 ][( 4 ? t ) ? ( t ) ? 2 4 ? t ? t ? 4 ,当 且仅当

4?t t 即 t ? 1 时等号成立,故 ? 1 3

?

?3t ? 12 ? t

?

min

?4.

试题解析:(I)由 x ? a ? b ,得 ?b ? a ? x ? b ? a 则?

? ?b ? a ? 2 ,解得 a ? ?3, b ? 1. ?b ? a ? 4

(II) ?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t

? [( 3) 2 ? 12 ][( 4 ? t ) 2 ? ( t ) 2

? 2 4?t ?t ? 4
当且仅当 故

4?t t 即 t ? 1 时等号成立, ? 1 3

?

?3t ? 12 ? t

?

min

?4

考点:1.绝对值不等式;2.柯西不等式. 6.(15 年江苏)解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3 【答案】 ? x x ? ?5或x ? ? ?

? ?

1? 3?

【解析】 试题分析:根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可

3 3 ? ? ?x ? ? ?x ? ? 2 或? 2 . 试题解析:原不等式可化为 ? ? ? ?? x ? 3 ? 2 ?3x ? 3 ? 2
解得 x ? ?5 或 x ? ?

1 . 3

综上,原不等式的解集是 ? x x ? ?5或x ? ? ? .

? ?

1? 3?

考点:含绝对值不等式的解法


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