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复习练习:计数原理


一、选择题
1、5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( A、10 种 B、20 种 C、25 种 D、32 种 )

2、用 8 个数字 A.168 B.180

可以组成不同的四位数个数是 C.204 D.456

3、使 A.4

( B.

5

的展开式中含有常数项的最小的 为( C.6 D.7



4、现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机 四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作,丁、戊都能胜四项 工作,则不同安排方案的种数是( A.240 B.126 ) C.78 D.72

5、将二项式( 整数的项共有 ( A.1 项

)n 的展开式按 x 降幂排列,若前三项系数成等数列,则该展开式中 x 的幂指数是 ) C.5 项 D .7 项 )

B.3 项

6、某重点中学要把 9 台相同的电脑送给农村三所希望小学,每个小学到少 2 台电脑,不同的送法种数为( A.10 种
5

B.9 种
6 7

C.8 种
8

D.6 种 ( )

7、在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x3 的项的系数是 A.74 B.121 C.-74 D.-121

8、从 1,3,5,7,9 这 5 个奇数中选取 3 个数字,从 2,4,6,8 这 4 个偶数中选取 2 个数字,再将这 5 个 数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位数的个数是 (A)180 (B)360 (C)480 (D)720

9、如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与 前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每天所吃水 果个数的不同选择方案共有 A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种

1

10、 甲、乙、丙等 6 人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有____ 种(用数字作答). A.720 B.480 C.144 D.360 )

11、 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有( A. 30 种 B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种

12、

的展开式中

的系数等于 10,则 的值为(



A.

B.

C.

D.

13、八个一样的小球按顺序排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂红色,三个涂白色,恰好有三个连续的小 球涂红色,则涂法共有 A.24 种 B.30 种 C.20 种 D.36 种

14、已知

的展开式中各项系数之和为 1,则该展开式中含

项的系数为(



A、

B、40

C、

D、20

15、5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有( (A)150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种



16、如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数 与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每天所吃 水果个数的不同选择方案共有 A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 )

17、甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有( A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种

18、把 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票分发给 4 个人,每人至少 1 张,最多分 2 张,且这两张票具有 连续的编号,那么不同的分法种数是( A.168 B.96 C.72 ) D.144

19、三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程,不同的选法有 A、3 种 B、6 种 C、8 种 D、9 种
2

20、在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的

村庄数,下列概率中等于 (A)P(X=2) (B)P(X≤2)

的是( (C)P(X=4)

) (D)P(X≤4)
2

21、已知随机变量ξ 服从正态分布 N(1,σ ),P(ξ <4)=0.84,则 P(ξ <-2)=( (A)0.16 (B)0.32 (C)0.68 (D)0.84
k 1-k

)

22、离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=p q (A)0 和 1 (B) p 和 p
2

(k=0,1,p+q=1),则 E(X)与 D(X)依次为( (D)p 和 p(1-p)

)

( C)p 和 1-p

23、甲、 乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定 甲每局比赛获

胜的概率均为

,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

24、设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 事件 A 发生的概率 P(A)是( )

,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则

(A)

(B)

(C)

(D)

25、国庆节放假,甲去北京旅游的概率为

,乙、丙去北京旅游的概率分别为 )



.假定三人的行动相互

之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为(

(A)

(B)

(C)

(D) )

26、设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于(

(A)0

(B)

(C)

(D)

3

27、在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在 BC 边上任取一点 M,则∠AMB≥90°的概率为(

)

(A)

(B)

(C)

(D) )

28、下列事件中,随机事件的个数为( ①物体在只受重力的作用下会自由下落; ②方程 x +2x+8=0 有两个实根;
2

③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过 10 次; ④下周六会下雨. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

29、设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a,b), 记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值 为( (A)3 ) (B)4 (C)2 和 5 (D)3 和 4 )

30、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为(

(A)

(B)

(C)

(D)

31、已知随机变量 的分布规律如下,其中 a、b、c 为等差数列,若 E( )=

,则 D( )为





32、连续投掷两次骰子得到的点数分别为

,向量

与向量

的夹角记为

,则

的概率为(



(A )

(B)

(C)

(D)

4

二、计算题

33、已知 (I)求 的值;

展开式的二项式系数之和比

展开式的所有项系数之和大 240.

(Ⅱ)求

展开式的有理项.

34、 设 (1)当 (2)若

, =2011 时,记 展开式中 的系数是 20,则当

. ,求 、 变化时,试求 系数的最小值. ;

5

35、 (2012 湖南理)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人)

1至4 件 1

5至8件 30 1.5

9 至 12 件 25 2

13 至 16 件 2.5

17 件及 以上 10 3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间 不超过 2 钟的概率. (注:将频率视为概率)

36、已知

等 10 所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均



. (Ⅰ)如果该同学 10 所高校的考试都参加,试求恰有 2 所通过的概率;

(Ⅱ)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 元,该同学决定按 考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考试所需费用 数学期望.

顺序参加 的分布列及

6

37、学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑 球,这些球除颜色外完全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则 获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中 ①摸出 3 个白球的概率;②获奖的概率。 (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(x)。

38、 有甲、 乙等 7 名选手参加一次讲演比赛, 采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序 (序号为 1, 2, ?, 7)。 (1)甲选手的演出序号是 1 的概率; (2)求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;

(3)求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数

的分布列与期望。

7

39、张师傅驾车从公司开往火车站,途径 4 个交通岗,这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个时段,每个时 段的驾车时间都是 3 分钟,如果遇到红灯要停留 1 分钟。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的,并且概

率都是 (1)求张师傅此行程时间不小于 16 分钟的概率; (2)记张师傅此行程所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值。

40、某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家 医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在地区 附近有 A,B,C 三家社区医院,并且他们的选择是相互独立的. (Ⅰ)求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率; (Ⅲ)设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望.

8

参考答案
一、选择题

1、D 2、C 分三种情况讨论

1.1234 各一个共 A(4,4)种 2.存在且仅存在有一个数字有两个共 C(1,4)C(2,3)C(2,4)A(2,2)种 3.有两个数字重复,有 C(2,4)C(2,4)种 加在一起共 204 种
3、B 4、C 5、B 6、A 7、D 8、D

如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周第二天开始,每天 所吃的水果个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”, 那么,小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有几种?分析:因为第 1 天和 第 7 天吃的水果数相同, 所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同,都是 0、1、2、 3 天,共四种情况,所以共有:C6/0+C6/1C5/1+C6/2C4/2+C6/3C3/3=141 种。
9、D 10、B

解析:先在 6 个位置找 3 个位置,有 C 情况,故共有 4C A =480 种.

种情况,甲、乙均在丙的同侧,有 4 种排法,而剩下三人有 A



11、B 12、C 13、A 14、A 15、A
9

16、D 17、C 18、D 19、C

20、C.15 个村庄中,7 个村庄交通不方便,8 个村庄交通方便,

表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通

不方便,6 个交通方便的村庄,故 P(X=4)=
2

.

21、A.∵随机变量ξ 服从正态分布 N(1,σ ),μ =1,∴P(ξ <-2)=P(ξ >4)=1-P(ξ <4)=0.16. 22、D.由题意可得 P(X=0)=q,P(X=1)=p, ∴E(X)=0×q+1×p=p D(X)=(0-p) q+(1-p) p=p(1-p).
2 2

23、A.前三局中甲获胜 2 局,第四局甲胜,则 P=C

(

) ×(1-

2





.

24、D.由题意,P(

)·P(

)=

,P(

)·P(B)=P(A)·P(

).设 P(A)=x,P(B)=y,





,∴x -2x+1=

2



∴x-1=-

或 x-1=

(舍去),∴x=

.

10

25、B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为





.因此,他们不去北京旅游的概率分别为





,所以,至少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1- 26、C.设失败率为 p,则成功率为 2p. ∴X 的分布列为:

×

×



.

X P

0 p

1 2p

则“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功 ,

∴由 p+2p=1 得 p=



即 P(X=0)=

.

27、D.如图,在 Rt△ABC 中,作 AM⊥BC,M 为垂足.由题意知:AB=1,BC=2,可得 BM=

,则 ∠AMB≥90°

的概率为:P=



.

28、B.①是必然事件;②是不可能事件;③、④是随机事件. 29、D.事件 Cn 的总事件数为 6.只要求出当 n=2,3,4,5 时的基本 事件个数即可. 当 n=2 时,落在直线 x+y=2 上的点为(1,1); 当 n=3 时,落在直线 x+y=3 上的点为(1,2)、(2,1); 当 n=4 时,落在直线 x+y=4 上的点为(1,3)、(2,2);

11

当 n=5 时,落在直线 x+y=5 上的点为(2,3).

显然当 n=3,4 时,事件 Cn 的概率最大,为

.

30、C.满足 log2xy=1 的 x,y,有(1,2),(2,4),(3 ,6)这 3 种情况,而总的可能数有 36 种,所以所求概率

为 P= 31、 B 32、 B



.

二、计算题

33、解:(I)∵

展开式的二项式系数之和为

展开式的所有项系数之和为



解得:

(Ⅱ)

展开式的通项为



为整数得



∴有理项为



34、解:(1)令

,得

=
12

(2)因为



所以

,



的系数为

=

∴当

时,

展开式中

的系数最小,最小值为 85

35、【解析】(1)由已知,得

所以

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的 一个容量随机样本,将频率视为概率得

的分布为

X P

1

1.5

2

2.5

3

X 的数学期望为

.

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟”, 则

为该顾客前面第 位顾客的结算时间,

.

13

由于顾客的结算相互独立,且

的分布列都与 X 的分布列相同,所以

.

故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问 中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知 从而解得 ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥

关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率.

36、解:(Ⅰ)因为该同学通过各校考试的概率均为

,所以该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试的概率





???4 分

(Ⅱ)设该同学共参加了 次考试的概率为



).





∴所以该同学参加考试所需费用 的分布列如下:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

???7 分

14

所以



???8 分



,

?(1)



,

?(2)

由(1)-(2)得



所以



???11 分

所以

(元).

???13 分

37、(1) ① 设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件

(i = 0 , 1, 2, 3), 则

P(

) =

????????3 分

② 设“在 1 次游戏中获奖为事件 B”

则B =

又 P(

) =



,

互斥,

所以

??????6 分

15

(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0, 1,2

所以 x 的分布列是

x P

0

1

2

X 的数学期望是 E(X) =

??????????12 分

38、解:(1)设

表示“甲选手的演出序号是 1”,

所以

。所以甲选手的演出序号是 1 的概率为



(2)设

表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”,

表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”。

所以



所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为



(3 )

的可能取值为 0,1,2,3,4,5,

16

所以













所以

的分布列为

0

1

2

3

4

5

所以 39、解: (Ⅰ)如果不遇到红灯,全程需要 15 分钟,否则至少需要 16 分钟. 张师傅此行程时间不小于 16 分钟的概率

P=1-(1-

)=

4



?4 分

(Ⅱ)设此行程遇到红灯的次数为 X,则 X~B(4,

),

P(X=k)=C

(

)(

k

)

4-k

,k=0,1,2,3,4.

依题意,Y=15+X,则 Y 的分布列为

Y P

15

16

17

18

19 ?10 分

17

Y 的均值 E(Y)=E(X+15)=E(X)+15=4×

+15=



?12 分

40、解:(Ⅰ)设“甲、乙两人都选择 A 社区医院”为事件 分

,那么

????????1



????????3 分

所以甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率为



????????4 分

(Ⅱ)设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件

,那么

?????5 分



????7 分

所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是 (Ⅲ)(方法一)随机变量ξ 可能取的值为 0,1,2,3,4.那么

.????????8 分 ?????9 分









. 所以ξ 的分布列为

(错三个没分)

0

1

2

3

4

18

????????12 分



????????13 分

(方法二)依题意

,

????????10 分

所以ξ 的分布列为



.即

0

1

2

3

4

????????12 分

所以



????????13 分

19


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