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2012届高考数学理科二轮专题限时卷:函数、导数及其应用1.

时间:2012-04-25


第二部分:函数、导数及其应用( 第二部分:函数、导数及其应用(1)
(限时:时间 45 分钟,满分 100 分) 一、选择题 1.(2012 年珠海二模)函数 y=-x (x∈R)是( R A.左减右增的偶函数 B.左增右减的偶函数 C.减函数、奇函数 D.增函数、奇函数 【解析 解析】 ∵y=-x 是开口向下的一条抛物线, 解析 ∴y=-x 在(-∞,0)上为增函数,(0,+∞)上为减函数, 不妨设 y=f(x)=-x , 则 f(-x)=-(-x) =-x =f(x), ∴f(x)为偶函数. 【答案 答案】 B 答案 2. (2010 年重庆高考)若定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意 x1, 2∈R 有 f(x1+x2) x R = f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 【解析 解析】 ∵对任意 x1,x2∈R 有 解析 R f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=-1 ∴令 x1=x,x2=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)+1, ∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1], ∴f(x)+1 为奇函数. 【答案 答案】 C 答案 3.(2011 年福建高考)函数 f(x)=x +sinx+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值 R 为( ) A.3 B.0
3 2 2 2 2 2 2

)

)

C.-1 D.-2 解析】 由 f(a)=2,得 【解析 解析 a +sina+1=2,a +sina=1,
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3 3

又 f(-a)=(-a) +sin(-a)+1=-(a +sina)+1 =-1+1=0. 【答案 答案】 B 答案 4. (2010 年湖北高考)已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), x∈(0,2) 当 时,f(x)=2x ,则 f(7)=( A.-2 C.-98 B.2 D.98
2

3

3

)

【解析 解析】 ∵f(7)=f(4+3)=f(3) 解析 =f(4-1)=f(-1) =-f(1)=-2×1 =-2. 【答案 答案】 A 答案 5.(2011 年盐城模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1 1 -x -2 ,则不等式 f(x)<- 的解集是( 2 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D. [1,+∞) )
2

解析】 当 x>0 时, 【解析 解析 1 -x 1-2 =1- x>0 与题意不符, 2 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=1-2 , 又∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=1-2 ,∴f(x)=2 -1, 1 1 x x ∴f(x)=2 -1<- ,∴2 < , 2 2 1 ∴x<-1,∴不等式 f(x)<- 的解集是(-∞,-1). 2 【答案 答案】 A 答案 二、填空题 6.(2010 年上海高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x∈(0,+∞)时, f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 【解析 解析】 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx, 解析 由对数函数图象与性质知 x∈(0,1)时 f(x)<0,x∈(1,+∞)时 f(x)>0. 又∵f(x)是奇函数,
x x x

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∴f(x)的图象关于原点对称. ∴x∈(-∞,-1)时 f(x)<0,x∈(-1,0)时 f(x)>0. 综上所述,满足 f(x)>0 的 x 的范围是 (-1,0)∪(1,+∞). 答案】 (-1,0)∪(1,+∞) 【答案 答案 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+1)+f(x)=3,当 x∈[0,1] 时,f(x)=2-x,则 f(-2 009.9)=________. 【解析 解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数且 解析 f(x+1)+f(x)=3① ∴f(-x+1)+f(-x)=3, 即 f(x-1)+f(x)=3 由①②,得 f(x+1)=f(x-1),∴f(x)的周期 T=2,② ∴f(-2 009.9)=f(-2 010+0.1)=f(0.1) =2-0.1=1.9. 【答案 答案】 1.9 答案 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给 出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0), 其中正确的序号是________. 【解析 解析】 ∵f(x+1)=-f(x), 解析 ∴f(x)=-f(x+1)=-[-f(x+1+1)]=f(x+2), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确. 又∵f(x+2)=f(x)=f(-x), ∴y=f(x)的图象关于 x=1 对称,②正确, 又∵f(x)为偶函数且在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是增函数, 又∵对称轴为 x=1. ∴f(x)在[1,2]上为增函数,f(2)=f(0), 故③④错误,⑤正确. 答案】 ①②⑤ 【答案 答案
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三、解答题 ax +1 (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3,求 a、b、 9.已知函数 f(x)= Z bx+c c 的值. 【解析 解析】 由 f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c), 解析 ∴c=0. 由 f(1)=2,得 a+1=2b① 4a+1 由 f(2)<3,得 <3② 2b 4a+1 由①②得 <3③ a+1 解得-1<a<2.又 a∈Z, Z ∴a=0 或 a=1. 1 若 a=0,则 b= ,与 b∈Z 矛盾, Z 2 若 a=1,则 b=1,∴a=1,b=1,c=0. a 2 10.已知函数 f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R). R x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 【解析 解析】 (1)当 a=0 时,f(x)=x 对任意 解析 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有 f(-x)=(-x) =x =f(x), ∴f(x)为偶函数. a 2 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), R x 取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2, a a 2 2 f(x1)-f(x2)=x1 + -x2 - x1 x2 = (x1-x2) [x1x2(x1+x2)-a], x 1x 2
2 2 2 2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数, 必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立.

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∵x1-x2<0,x1x2>4, 即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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