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高三数学假期作业二及答案

时间:2016-01-12


编号 02

2014 届高三数学国庆假期作业

高三数学备课组

2014 届高三数学国庆假期作业二

综合试卷二
1 2 x 2. 若集合 M ? { y | y ? 2 ? 1}, N ? {x | y ?
3. 已知 510°终边经过点 P(m, 2) ,则 m= 4. 设

函数 h( x) ? 1. 当 n ? {1,2,?1, } 时,幂函数 y=xn 的图象不可能经过第_________象限

x ? 1} ,则 M ? N ?

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立, x 2 4

则实数 b 的取值范围是

5. 在 ?ABC 中, 的 “AB ? AC ? BA ? BC” 是 “ AC ? BC ”

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

条件.

6 . 已 知 等 差 数 列 {an } 满 足 a3 ? a7 ? 10 , 则 该 数 列 的 前 9 项 和 , S9 ? 7. 已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log3 x ? 2 ,若 f (

1 ) ? 4 ,则 f (2013) 的值为 2013

? x ?1 , x ? 18 ? 8. 设 f ( x) ? ? x ? 18 ? x ? 18 ??6

,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (35) 的值为

9. 已知函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 ( a ? 0, a ? 1 ) 的图像恒过定点 A, 若点 A 也在函数 f ( x) ? 3 ? b
x

的图像上,则 f (log3 2) = 10. 已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f (?m ?1) ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是
2
2

11. 函数 f ? x ? ? sin ?x ? 3cos ?x ? x ? R ? ,又 f (?) ? ?2 , f ? ? ? ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值等于 则正数 ? 的值为

π , 2

12.点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点, N 是边 BC 的中点,则 AN ? AM 的 最大值是
3 13.已知方程 x = 4 ? x 的解在区间( k , k ?

???? ???? ?

1 1 )内, k 是 的整数倍,则实数 k 的值是______ 2 2

14. 若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? t 至少有一个负数解,则实数 t 的取值范围是____
2

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2 15.(本小题满分 14 分)已知 p : 1 ? 2 x ? 8 ; q : 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,

若 ? p 是 ? q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

??? ? ??? ? 16.(本小题满分 14 分)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .
(1)求 tan 2 A 的值; ??? ? ??? ? ? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S .

4

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17.(本小题满分 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax3 ? bx( x ? R)图象上相异两点 A, B 处的切线分 别为 l1 , l2 ,且 l1 ∥ l2 .(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;并判断 A, B 是否关于原点对称; (2)若直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,求实数 b 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分)一位幼儿园老师给班上 k (k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖 果数为 a0 ,就先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 2

块糖加入盒中,然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就

1 3

1 分给第 n(n ? 1,2,3,?k ) 个小朋友.如果设分 n ?1 给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? (n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式;
从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的 (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请 求出所有的 k 和 a 0 ,如果不存在,请说明理由.

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19. 设 A ? [?1,1] , B ? [?

2 2 , ] ,函数 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? 1 , 2 2 (1)设不等式 f ( x) ? 0 的解集为 C,当 C ? ( A ? B) 时,求实数 m 取值范围; (2)若对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,试求 x ? B 时, f ( x) 的值 域;
(3)设 g ( x) ?| x ? a | ? x 2 ? mx (a ? R) ,求 f ( x) ? g ( x) 的最小值.

20. 已知函数 f ( x) ? e ? ax, g ( x) ? e ln x ( e 是自然对数的底数).
x x 2 (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线也是抛物线 y ? 4( x ? 1) 的切线,求 a 的值;

(2)若对于任意 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?1 时,是否存在 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线斜 率与 f ( x ) 在 R 上的最小值相等?若存在,求符合条件的 x0 的个数;若不存在,请说明理 由.

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2014 届高三数学国庆假期作业二

综合试卷二参考答案
1. 四 2. [1,??) 10. ? 1 ? m ? 1 3. ?2 3 11. 1 4. b ?

7 4

5. 充要条件 6.45 7. 0 13.1 14. ? ?

8. 28

9.

8 9

12.6

? ?

9 ? ,2 ? 4 ?

15.解: p : 1 ? 2 x ? 8 ,即 0 ? x ? 3 ,……3 分 ? ? p 是 ? q 的必要条件,
2 ? p 是 q 的充分条件,……5 分?不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……7 分

?m ?

x2 ? 4 4 ? x ? 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……10 分 x x

?x ?

4 4 ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? 2 时,等号成立.……13 分 ? m ? 4 .……14 分 x x

【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不等式 应用;考查不等式恒成立问题;考查转化思想. 16.解: (1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c . ??? ? ??? ? 1 ? AB ? AC ? S ,?bc cos A ? bc sin A ,……2 分

2

2t a n A 4 1 2A ? ? ? .……5 分 ?cos A ? sin A , ? tan A ? 2 .……4 分 ? t a n 2 2 3 1? t a n A ??? ? ??? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 ,……6 分 ?t a n A ? 2,0 ? A ? ,……7 分 2 2 5 5 ? sin A ? , cos A ? . ……9 分 5 5

?sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . ……11 分 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b ? ? sin B ? 5 ,……13 分 sin C sin B sin C 1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ? 3 .……14 分 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查运算 变形和求解能力. ?
17.解: (1)? f ?? x? ? a?? x? ? b?? x? ? ? ax3 ? bx ? ? f ?x? ,……2 分
3

?

?

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? f ?x ? 为奇函数.……3 分
设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,又 f ??x ? ? 3ax 2 ? b ,……5 分

? f ?x ? 在两个相异点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ∥ l2 ,
2 2 ? k1 ? f ? ? x1 ? ? 3ax1 ? b ? k2 ? f ? ? x2 ? ? 3ax2 ? b ?a ? 0? ,

2 2 ? x1 ? x2 又 x1 ? x2 ,? x1 ? ? x2 ,……6 分

又? f ( x ) 为奇函数,

?点 A, B 关于原点对称.……7 分
(2)由(1)知 A?x1 , y1 ?, B?? x1 ,? y1 ? ,

? k AB ?
2

y1 2 ? ax1 ? b ,……8 分 x1

又 f ?x ? 在 A 处的切线的斜率 k ? f ??x1 ? ? 3ax1 ? b , ? 直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,

? k AB ? k ? ?1,
2

?ax

2 1 ?b

? ? ?3ax

2 1 ?b

? ? ?1,……9 分

令 t ? ax1 ? 0 ,即方程 3t 2 ? 4bt ? b 2 ? 1 ? 0 有非负实根,……10 分

? ? ? 0 ? b 2 ? 3 ,又 t1t2 ?

b2 ? 1 4b ?0 , ? ? 0 ? b ? 0 .综上 b ? 3 .……14 分 3 3

【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查推理 论证能力.

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2 1 1 a2 ? ?a1 ? 2? ? ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? ?a2 ? 2? ? 6 .……3 分 3 4 1 n (2)由题意知: an ? ?an?1 ? 2? ? ?an?1 ? 2? ? ?an?1 ? 2? ,……6 分 n ?1 n ?1
解: (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2? ? 即 ?n ? 1?an ? n?an?1 ? 2? ? nan?1 ? 2n , ? bn ? (n ? 1)an ,?bn ? bn ?1 ? 2n, ……7 分

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n? n ? n?n ? 1? ,……9 分
2
6

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .……10 分

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(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 ,……12 分 n ?1 若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,
1 a ? a ? 即 (1 ? a0 ) ? 3 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,……15 分 2 4 3? ? 当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ……16 分
则 a1 ? a3 ? 2a2 ,……14 分

[注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力; 考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有 5 名小朋 友,每个小朋友都分到糖果,求 a0 的最小值. 19. 解: (1) A ? B ? [?1,1] ,因为 C ? A ? B ,二次函数 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? 1 图像开口向上, 且 ? ? m 2 ? 8 ? 0 恒成立,故图像始终与 x 轴有两个交点,由题意,要使这两个交点横坐标 x1 , x2 ? [?1,1] ,当且仅当:

? ? f ( ?1) ? 0 ? …………………………4 分 ? f (1) ? 0 , ? m ?1 ? ? ? 1 ? 4 ? 解得: ? 1 ? m ? 1 …………………………5 分 (2)对任意 x ? R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 f ( x) 图像关于直线 x ? 1 对称, m ? 1 ,得 m ? 4 . 所以 ? …………………………7 分 4 2 2 2 所以 f ( x) ? 2( x ? 1) ? 3 为 [? , ] 上减函数. 2 2 f ( x) min ? ?2 2 ; f ( x) max ? 2 2 .故 x ? B 时, f ( x) 值域为 [?2 2 ,2 2 ] .
…………………………9 分 (3)令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 ? ( x) ? x ? | x ? a | ?1
2
2 2 (i)当 x ? a 时, ? ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

5 , 4

1 ,则函数 ? ( x) 在 ( ??, a ] 上单调递减, 2 2 从而函数 ? ( x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 ? (a) ? a ? 1 . 1 1 5 1 若 a ? ,则函数 ? ( x) 在 ( ??, a ] 上 的最小值为 ? ( ) ? ? ? a ,且 ? ( ) ? ? ( a ) . 2 2 4 2
当a ? …………………………12 分

1 2 5 ) ?a? 2 4 1 1 5 1 若 a ? ? ,则函数 ? ( x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 ? (? ) ? ? ? a ,且 ? ( ? ) ? ? ( a ) 2 2 4 2
2 (ii)当 x ? a 时,函数 ? ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

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1 ,则函数 ? ( x) 在 [a,??) 上单调递增, 2 从而函数 ? ( x) 在 [a,??) 上的最小值为 ? (a) ? a 2 ? 1 .…………………………15 分 1 5 综上,当 a ? ? 时,函数 ? ( x) 的最小值为 ? ? a 2 4 1 1 当 ? ? a ? 时,函数 ? ( x) 的最小值为 a 2 ? 1 2 2 1 5 当 a ? 时,函数 ? ( x) 的最小值为 ? ? a . …………………………16 分 2 4 x 20. 解: (1) f '( x) ? e ? a, f '(1) ? e ? a ,所以在 x ? 1 处的切线为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) 即: y ? (e ? a) x ………………………………2 分
若a ? ?
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与 y 2 ? 4( x ? 1) 联立,消去 y 得 (e ? a)2 x2 ? 4 x ? 4 ? 0 , 由 ? ? 0 知, a ? 1 ? e 或 a ? ?1 ? e . ………………………………4 分 (2) f '( x) ? e ? a
x x ①当 a ? 0 时 , f '( x) ? 0, f ( x) 在 R 上单调递增,且当 x ? ?? 时, e ? 0, ax ? ?? , ? f ( x) ? ?? ,故 f ( x) ? 0 不恒成立,所以 a ? 0 不合题意 ;………………6 分

②当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 0 对 x ? R 恒成立,所以 a ? 0 符合题意; ③当 a ? 0 时令 f '( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln(?a) , 当 x ? (?, ?,ln(?a)) 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? (ln(?a), ??) 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上是单调递减,在 (ln(?a), ??) 上是单调递增, 所以 [ f ( x)]min ? f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ? 0,? a ? ?e, 又 a ? 0 ,? a ? (?e, 0) , 综上: a ? (?e, 0] . ………………………………10 分 (3)当 a ? ?1 时,由(2)知 [ f ( x)]min ? f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ? 1,

1 x 1 ? e ? 1 ? e x (ln x ? ? 1) ? 1 , x x 假设存在实数 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线斜率与 f ( x ) 在 R
/ x x 设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ex ln x ? e x ? x ,则 h ( x) ? e ln x ? e ?

上的最小值相等, x0 即为方程的解,………………………………13 分

1 1 ? 1) ? 0 , 因为 e x ? 0 , 所以 ln x ? ? 1 ? 0 . x x 1 1 1 x ?1 令 ? ( x) ? ln x ? ? 1 ,则 ? '( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x 1 当 0 ? x ? 1 是 ? '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 ? '( x) ? 0 ,所以 ? ( x ) ? ln x ? ? 1 在 (0,1) 上单调递减, x 1 x 在 (1, ??) 上单调递增,?? ( x) ? ? (1) ? 0 ,故方程 e (ln x ? ? 1) ? 0 有唯一解为 1, x 所以存在符合条件的 x0 ,且仅有一个 x0 ? 1 . ………………16 分
令 h '( x) ? 1 得: e (ln x ?
x

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