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辽宁省协作校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


辽宁省协作校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1,2,5,8} D.? 2. (5 分)已知空间两个点 A,B 的

坐标分别为 A(1,2,2) ,B(2,﹣2,1) ,则|AB|=() A.18 B.12 C. D. 3. (5 分)已知直线 y=(2a﹣1)x+2 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是() A.a< B.a> C.a≤ D.a≥

4. (5 分)一个圆柱的底面直径和高都等于 4,则圆柱的表面积为() A.24π B.16π C.20π
2 2

D.64π

5. (5 分)已知直线 l 过圆 x +(y﹣3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是() A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0 6. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则() A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B. 若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C. 若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 7. (5 分)圆 C1: (x﹣6) +y =1 和圆 C2: (x﹣3) +(y﹣4) =36 的位置关系是() A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 8. (5 分)正三角形 ABC 的边长为 2,△ ABC 直观图(斜二测画法)的面积是() A. B. C. D.2
2 2 2 2

9. (5 分)给出下面 4 个命题 ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②经过球面上不同的两点只能作球的一个大圆; ③两条异面直线的平行投影可平行; ④过平面外的一条直线,只能作一个平面和这个平面平行; 其中正确的个数为() A.1 个 B .2 个 C.3 个

D.4 个

10. (5 分)设 f(x)=ah(x)+bg(x)+4,其中 h(x) ,g(x)都是奇函数,a,b 是不同时 为零的常数,若 f[lg(log310)]=5,则 f[lg(lg3)]等于() A.﹣5 B .7 C.3 D.﹣1

11. (5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的侧棱长为 2 该球的表面积是() A.36π B.32π C.18π
2 2

,底面边长为 4,则 D.16π

12. (5 分)直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且∠AOB=120° (O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点(1,1)之间距离的最大值为() A. B .4 C. D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)=e +x +2x﹣2 的零点个数为. 14. (5 分)如图所示一个几何体的三视图,则该几何体的体积为
﹣x

2

15. (5 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时,f(x)= 数 a 满足 f(2a)>f(a+1) ,则 a 的取值范围是.

,若实

16. (5 分)已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若存在定点 B(b,0) (b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则点 P(b,λ)到直线(m+n)x+ny﹣2n﹣ m=0 距离的最大值为.

2

2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知直线 l:ax+3y+1=0. (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (2)若直线 l 与直线 x+(a﹣2)y+a=0 平行,求 a 的值. 18. (12 分) 在三棱锥 S﹣ABC 中, 平面 SAB⊥平面 SBC, BC⊥SA, AS=AB, 过 A 作 AP⊥SB, 垂足为 F,点 E、G 分别是棱 SA,SC 的中点 求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)AB⊥BC.

19. (12 分)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足 f(x)+f(y)=f(x?y) . (1)求证:f(x)﹣f(y)= ; )≥﹣9.

(2)若 f(2)=﹣3,解不等式 f(1)﹣f(

20. (12 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, AB= E、F 分别为 A1C1、BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求多面体 A1B1C1﹣ABF 的体积.

, BC=1, AA1=AC=2,

21. (12 分)已知点 P(﹣2,3t﹣ ) ,Q(0,2t) , (t∈R,t≠0) (1)当 t=2 时,求圆心在坐标原点且与直线 PQ 相切的圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 x 轴上的定圆 M,对于任意的非零实数 t,直线 PQ 恒与定圆 M 相切, 如果存在,求出圆 M 的标准方程,如果不存在,请说明理由. 22. (12 分)已知函数 f(x)=a , (a>0 且 a≠1) ,若函数 g(x)的图象和函数 f(x)的图象 关于直线 y=x 对称,且 h(x)=g[(a﹣1)x+2]. (1)求 h(x)的定义域; (2)当 x∈[3,4]时,h(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.
X

辽宁省协作校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1,2,5,8} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 解答: 解:∵全集∪={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2}, ∴?UA={0,2,3,6}, 则(?UA)∪B={0,2,3,6}. 故选 A 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知空间两个点 A,B 的坐标分别为 A(1,2,2) ,B(2,﹣2,1) ,则|AB|=() A.18 B.12 C. D. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴|AB|= 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 根据两点间的距离公式进行计算即可. 解:∵点 A,B 的坐标分别为 A(1,2,2) ,B(2,﹣2,1) , =3 .

故选:C. 点评: 本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题,是容易题目. 3. (5 分)已知直线 y=(2a﹣1)x+2 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是() A.a< B.a> C . a≤ D.a≥

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的倾斜角. 直线与圆. 由直线的倾斜角为钝角,可得其斜率小于 0,由此求得 a 的范围. 解:直线 y=(2a﹣1)x+2 斜率为 2a﹣1,

由其倾斜角为钝角,可得 2a﹣1<0,即 a< . 故选:A. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题. 4. (5 分)一个圆柱的底面直径和高都等于 4,则圆柱的表面积为() A.24π B.16π C.20π D.64π 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 求出圆柱的底面半径,结合已知中的高,代入圆柱的表面积公式,可得答案.

解答: 解:∵圆柱的底面直径等于 4, ∴圆柱的底面半径 r=2, 又∵圆柱的高 l=4, ∴圆柱的表面积 S=2πr(r+l)=24π, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是旋转体,圆柱的表面积公式,难度不大,属于基础题. 5. (5 分)已知直线 l 过圆 x +(y﹣3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是() A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得所求直线 l 经过点(0,3) ,斜率为 1,再利用点斜式求直线 l 的方程. 解答: 解:由题意可得所求直线 l 经过点(0,3) ,斜率为 1, 故 l 的方程是 y﹣3=x﹣0,即 x﹣y+3=0, 故选:D. 点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题. 6. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则() A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B. 若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C. 若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论. 解答: 解:A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 A 错误. B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 B 错误. C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α,正确. D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α,故 D 错误. 故选:C 点评: 本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定 理和性质定理. 7. (5 分)圆 C1: (x﹣6) +y =1 和圆 C2: (x﹣3) +(y﹣4) =36 的位置关系是() A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出两个圆的圆心与半径,判断两个圆的圆心距离与半径和与差的关系即可判断两 个圆的位置关系. 2 2 解答: 解:因为圆 C1: (x﹣6) +y =1 的圆心坐标(6,0) ,半径为 1, 2 2 圆 C2: (x﹣3) +(y﹣4) =36 的圆心坐标(3,4) ,半径为 6, 所以圆心距为 =5,
2 2 2 2 2 2

因为 5=6﹣1, 所以两个圆的关系是内切. 故选 C 点评: 本题考查两个圆的位置关系的应用,考查计算能力. 8. (5 分)正三角形 ABC 的边长为 2,△ ABC 直观图(斜二测画法)的面积是() A. B. C. D.2

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知中正△ ABC 的边长为 2,可得正△ ABC 的面积,进而根据△ ABC 的直观图 △ A′B′C′的面积 S′= S,可得答案.

解答: 解:∵正△ ABC 的边长为 2, ∴正△ ABC 的面积 S= =

设△ ABC 的直观图△ A′B′C′的面积为 S′ 则 S′= S= × =

故选 C. 点评: 本题考查的知识点是斜二测法画直观图,其中熟练掌握直观图面积 S′与原图面积 S 之间的关系 S′= S,是解答的关键.

9. (5 分)给出下面 4 个命题 ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②经过球面上不同的两点只能作球的一个大圆; ③两条异面直线的平行投影可平行; ④过平面外的一条直线,只能作一个平面和这个平面平行; 其中正确的个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①结合正棱柱的性质解答; ②考虑两点的特殊位置. ③只要两条异面直线的投影有 平行的情况即可;④注意过平面外的一条直线,此直线与平面的关系. 解答: 解:对于①,各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱,因为各相邻侧面并不一定 互相垂直.这样的四棱柱就不是正四棱柱,故①错误; 对于②,如果这两点是直径的两个端点,则能做无数个球大圆;故②错误; 对于③,两条异面直线的平行投影可平行;当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平 面都与已知平面垂直时,两直线的投影是两条平行线; 对于④,过平面外的一条直线,如果此直线与平面相交时,不可能过此直线作出与已知平面 平行的平面,故④错误.

故选 A. 点评: 本题考查了正棱柱、球与圆以及空间线面关系;知识较综合,属于中档题. 10. (5 分)设 f(x)=ah(x)+bg(x)+4,其中 h(x) ,g(x)都是奇函数,a,b 是不同时 为零的常数,若 f[lg(log310)]=5,则 f[lg(lg3)]等于() A.﹣5 B. 7 C. 3 D.﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知条件容易判断 f(x)﹣4 是奇函数,而 lg[(log310)]=﹣lg(lg3) ,所以 f[﹣ lg(lg3)]﹣4=﹣{f[lg(lg3)]﹣4}=1,从而得出 f[lg(lg3)]=3. 解答: 解:f(x)﹣4=ah(x)+bg(x) ; ∵h(x) ,g(x)都是奇函数,a,b 不同时为 0; ∴函数 f(x)﹣4 是奇函数; 而 f[lg(log310)]=f[﹣lg(lg3)]=5; ∴f[lg(lg3)]﹣4=﹣{f[﹣lg(lg3)]﹣4}=﹣1; ∴f[lg(lg3)]=3. 故选 C. 点评: 考查奇函数的定义,对数的运算,以及换底公式. 11. (5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的侧棱长为 2 ,底面边长为 4,则 该球的表面积是() A.36π B.32π C.18π D.16π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设球半径为 R,底面中心为 O′且球心为 O.正四棱锥 P﹣ABCD 中根据 AB=4, PA=2 ,算出 AO′=2 ,可得 PO′=2,OO′=PO′﹣PO=2﹣R,在 Rt△ AOO′中利用勾股定理 建立关于 R 的等式,解出 R=3,再利用球的表面积公式即可得到外接球的表面积. 解答: 解:如图所示,设球半径为 R,底面中心为 O′且球心为 O, ∵正四棱锥 P﹣ABCD 中 AB=4,PA=2 , ∴AO′=2 ,可得 PO′=2,OO′=PO′﹣PO=2﹣R 2 2 2 ∵在 Rt△ AOO′中,AO =AO′ +OO′ , 2 2 2 ∴R =(2 ) +(2﹣R) ,解之得 R=3, 2 因此可得外接球的表面积为:4πR =36π. 故选:A.

点评: 本题给出正四棱锥的形状,求它的外接球的表面积,着重考查了正棱锥的性质、多 面体的外接球、勾股定理与球的表面积公式等知识,属于中档题. 12. (5 分)直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且∠AOB=120° (O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点(1,1)之间距离的最大值为() A. B. 4 C. D. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据∠AOB=120°,得到圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= ,建立关于 a,b 的方程, 利用数形结合即可得到结论. 解答: 解: ∵直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A, B 两点 (其中 a, b 是实数) , 且∠AOB=120° (O 是坐标原点) , ∴圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= 即 a +b =4, 则点 P(a,b)与点 C(1,1)之间距离|PC|= 则由图象可知点 P(a,b)与点(1,1)之间距离的最大值为|OP|+2= 故选:A. , ,
2 2 2 2 2 2



点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及两点间距离的求解,利用数形结合是 解决本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)=e +x +2x﹣2 的零点个数为 2. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=e +x +2x﹣2 的零点个数即 y=e 图求解.
﹣x ﹣x ﹣x

2

2

﹣x

与 y=﹣x ﹣2x+2 的交点的个数,作
﹣x

2

解答: 解:函数 f(x)=e +x +2x﹣2 的零点个数即 y=e

2

与 y=﹣x ﹣2x+2 的交点的个数,

2

作 y=e

﹣x

与 y=﹣x ﹣2x+2 的图象如下,

2

共有 2 个交点, 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数的图象与函数的零点的关系应用,属于基础题.

14. (5 分)如图所示一个几何体的三视图,则该几何体的体积为

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,计算出底面面积 和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 棱锥的底面面积 S= ×2×2=2, 棱锥的高 h=2, 故棱锥的体积 V= 故答案为: . = ,

点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状.

15. (5 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时,f(x)=

,若实

数 a 满足 f(2a)>f(a+1) ,则 a 的取值范围是



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据 y=f(x+1)是偶函数判断出函数 f(x)关于直线 x=1 对称,然后再判断函数 f(x)在[1,+∞)上的单调性,再结合对称性即可得到关于 a 的不等式,解之即可. 解答: 解:因为 y=f(x+1)是偶函数,所以函数 f(x)关于直线 x=1 对称, 2 当 1≤x≤2 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,在[1,2]上是减函数,且 f(2)=0; 当 x>2 时,f(x)=﹣ln(x﹣1)也是减函数,且当 x→2 时,f(x)→0, 故函数在[1,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可知,f(x)在(﹣∞,1]上增函数,且关 于 x=1 对称, 所以由 f(2a)>f(a+1)可得,|2a﹣1|<|a+1﹣1|,即|2a﹣1|<|a|, 即 3a ﹣4a+1<0,解得( 故答案为: .
2

) .

点评: 本题考查了分段函数条件下的不等式问题,因为涉及到函数的奇偶性,因此应研究 函数的单调性构造关于 a 的不等式. 16. (5 分)已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若存在定点 B(b,0) (b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则点 P(b,λ)到直线(m+n)x+ny﹣2n﹣ m=0 距离的最大值为 .
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 2 2 2 2 分析: 利用|MB|=λ|MA|,可得(x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y ,由题意,取(1,0) 、 (﹣1, 0)分别代入,即可求得 b、λ,直线(m+n)x+ny﹣2n﹣m=0,即 m(x﹣1)+n(x+y﹣2)=0 过点(1,1) ,利用两点间的距离公式,即可得出结论. 解答: 解:设 M(x,y) ,则 ∵|MB|=λ|MA|, 2 2 2 2 2 2 ∴(x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y , 2 2 2 2 2 由题意,取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入可得(1﹣b) =λ (1+2) , (﹣1﹣b) =λ (﹣1+2) 2 , ∴b=﹣ ,λ= . 直线(m+n)x+ny﹣2n﹣m=0,即 m(x﹣1)+n(x+y﹣2)=0 过点(1,1) ,

∴点 P(b,λ)到直线(m+n)x+ny﹣2n﹣m=0 距离的最大值为 = 故答案为: . .

点评: 本题考查圆的方程,考查赋值法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知直线 l:ax+3y+1=0. (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (2)若直线 l 与直线 x+(a﹣2)y+a=0 平行,求 a 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)直接把直线方程化为截距式,由截距相等求得 a 的值; (2)由两直线平行结合系数间的关系列式求得 a 的值. 解答: 解: (1)若 a=0,直线为:y=﹣ ,直线在两坐标轴上的截距不等; 当 a≠0 时,由 l:ax+3y+1=0,得 ,则 a=3;

(2)由直线 l:ax+3y+1=0 与直线 x+(a﹣2)y+a=0 平行,得 ,解得:a=3. 点评: 本题考查了直线方程的截距式,考查了直线方程的一般式与直线平行的关系,是基 础题. 18. (12 分) 在三棱锥 S﹣ABC 中, 平面 SAB⊥平面 SBC, BC⊥SA, AS=AB, 过 A 作 AP⊥SB, 垂足为 F,点 E、G 分别是棱 SA,SC 的中点 求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)AB⊥BC.

考点: 平面与平面平行的判定;棱锥的结构特征. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由三角形中位线性质得 EF∥AB,从而 EF∥平面 ABC,同理:FG∥平面 ABC, 由此能证明平面 EFG∥平面 ABC. (2) 由已知条件推导出 AF⊥BC, 利用 BC⊥SA, 由此能证明 BC⊥面 SAB, 即可证明 AB⊥BC.

解答: 证明: (1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F 是 SB 的中点, ∵E、F 分别是 SA、SB 的中点, ∴EF∥AB, 又∵EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC, 同理:FG∥平面 ABC, 又∵EF∩FG=F,EF、FG?平面 ABC, ∴平面 EFG∥平面 ABC. (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB,AF?平面 SAB, ∴AF⊥SB, ∴AF⊥平面 SBC, 又∵BC?平面 SBC,∴AF⊥BC, ∵BC⊥SA,SA∩AF=A,SA、AF?平面 SAB, ∴BC⊥面 SAB, ∵AB?面 SAB, ∴BC⊥AB. 点评: 本题考查平面与平面平行的证明,考查线面平行的证明,考查线面垂直的判定与性 质,注意空间思维能力的培养. 19. (12 分)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足 f(x)+f(y)=f(x?y) . (1)求证:f(x)﹣f(y)= ; )≥﹣9.

(2)若 f(2)=﹣3,解不等式 f(1)﹣f(

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)+f(y)=f(xy) ,将 x 代换为 ,代入恒等式中,即可证明; (2)再利用 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,即可列出关于 x 的不等式,求解不等式, 即可得到不等式的解集. 解答: 解: (1)证明:∵f(x)+f(y)=f(xy) , 将 x 代换为为 ,则有 f( )+f(y)=f( ?y)=f(x) ∴f(x)﹣f(y)=f( ) ; (2)∵f(2)=﹣3, ∴f(2)+f(2)=f(4)=﹣6,f(2)+f(4)=f(8)=﹣9 而由第(1)问知 ∴不等式 f(1)﹣f( )=f(x﹣8)

可化为 f(x﹣8)≥f(8) . ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数, ∴x﹣8≤8 且 x﹣8>0,

∴8<x≤16 故不等式的解集是{x|8<x≤16}. 点评: 本题考查了抽象函数及其应用,考查了利用赋值法求解抽象函数问题,解决本题的 关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式, 也就是将不等式进行合理的转化, 利 用单调性去掉“f”.属于中档题. 20. (12 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, AB= E、F 分别为 A1C1、BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求多面体 A1B1C1﹣ABF 的体积. , BC=1, AA1=AC=2,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,可得 BB1⊥AB,由于 AB= , BC=1,AC=2,可得 AB⊥BC,利用线面垂直的判定定理可得:AB⊥平面 B1BCC1,即可证明 平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)取 AB 的中点 G,连接 EG,FG,利用三角形中位线定理可得:FG∥AC, 是 ,可得 FGEC1 为平行四边形,得到 C1F∥EG,即可证明 C1F∥平面 ABE; ﹣ 即可得出. ,于

(3)利用多面体 A1B1C1﹣ABF 的体积 V=

解答: (1)证明:在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, ∴BB1⊥AB, ∵AB= ,BC=1,AC=2, ∴AB⊥BC, ∵BC∩BB1=B,∴AB⊥平面 B1BCC1, 又 AB?平面 ABE, ∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG, ∵E,F 分别是 A1C1,BC 的中档, ∴FG∥AC, ∵ ,∴ , ,

∴FGEC1 为平行四边形,

∴C1F∥EG, 又 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, ∴C1F∥平面 ABE; (3)解:多面体 A1B1C1﹣ABF 的体积 V= ﹣ = .

点评: 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、平行四边形的性质、体积等基 础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力,属于中档题. 21. (12 分)已知点 P(﹣2,3t﹣ ) ,Q(0,2t) , (t∈R,t≠0) (1)当 t=2 时,求圆心在坐标原点且与直线 PQ 相切的圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 x 轴上的定圆 M,对于任意的非零实数 t,直线 PQ 恒与定圆 M 相切, 如果存在,求出圆 M 的标准方程,如果不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据 t=2 可以求得点 P、Q 的坐标,则易求直线 PQ 的方程,然后根据点到直线 的距离和直线与圆的位置关系求得该圆的半径,据此来写圆的标准方程; (2)利用反证法进行证明.设圆 M 的方程为(x﹣x0) +y =r (r>0) ,直线 PQ 方程为: (t 2 ﹣1)x+2ty﹣4t =0.由直线与圆的位置关系、点到直线的距离可以求得圆 M 的圆心和半径, 所以易求得该圆的标准方程. 解答: 解: (1)当 t=2 时,直线 PQ 的方程为 3x+4y﹣16=0,圆心(0,0)到直线的距离为 ,即 r= .
2 2 2 2 2 2

所以,圆的标准方程为:x +y =



(2)假设存在圆心在 x 轴上的定圆 M 与直线 PQ 相切. 2 2 2 设圆 M 的方程为(x﹣x0) +y =r (r>0) , 2 2 直线 PQ 方程为: (t ﹣1)x+2ty﹣4t =0. 因为直线 PQ 和圆相切,则
2 2 2 2 2

=r,
2

整理得: (t ﹣1)x0﹣4t =r+rt ①或(t ﹣1)x0﹣4t =﹣r﹣rt ②. 2 由①可得(x0﹣r﹣4)t ﹣x0﹣r=0 对任意 t∈R,t≠0 恒成立,则有 ,可解得 .

所以存在与直线 PQ 相切的定圆 M,方程为: (x﹣2) +y =4. 点评: 本题考查了圆的标准方程,直线和圆的方程的应用.解题时需要掌握点到直线的距 离公式、圆的标准方程以及直线方程的求法. 22. (12 分)已知函数 f(x)=a , (a>0 且 a≠1) ,若函数 g(x)的图象和函数 f(x)的图象 关于直线 y=x 对称,且 h(x)=g[(a﹣1)x+2]. (1)求 h(x)的定义域; (2)当 x∈[3,4]时,h(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据对数的意义得出(a﹣1)x>﹣2,且 a≠1,分类讨论求解不等式即可.
X

2

2

(2) ( f x) 有意义得:

, 解得: a

, 根据函数的单调性分类讨论当

时,②当 a>1 时,求解即可. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=a , (a>0 且 a≠1) ,若函数 g(x)的图象和函数 f(x)的图 象关于直线 y=x 对称 ∴g(x)=logax, ∵h(x)=g[(a﹣1)x+2]. ∴h(x)=loga( (a﹣1)x+2) , ∵(a﹣1)x+2>0, ∴(a﹣1)x>﹣2,且 a≠1, ①当 a﹣1>0,即 a>1 时,x 定义域为( ,+∞) , ,
X

②当

,即 0<a<1 时,x



综上;当 a>1 时,定义域为( 0<a<1 时,定义域为(﹣∞,

,+∞) , )

(2)当 x∈[3,4]时,f(x)有意义得:



解得:a ①当

, 时,

由 h(x)>0 恒成立得: (a﹣1)x+2<1,在 x∈[3,4]上恒成立,

∴a ∴

恒成立,∴a ,

②当 a>1 时, 由 h(x)>0 恒成立得: : (a﹣1)x+2>1,在 x∈[3,4]上恒成立, ∴a ∴a>1, 综上:a∈( )∪(1,+∞) . ,

点评: 本题综合考查了函数的性质,运用最值,单调性求解不等式的恒成立问,属于中档 题,难度不大.


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