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精品教案 2.2.1 对数与对数运算

时间:2017-10-31


2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第 1 课时
本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖. 整体设计 教学内容分析 本节课是新课标高中数学 A 版必修 1 中第二章对数函数内容的第 1 课时,也就是对数 函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型,学习起来比较困难.而对数函 数又是本章的重要内容,在高考中占有一定的分量,它是在指数函数的基础上

,对函数类型 的拓广,同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用.通过本节课的学习, 可以让学生理解对数的概念, 从而进一步深化对对数模型的认识与理解, 为学习对数函数做 好准备.同时,通过对对数概念的学习,对培养学生对立统一、 相互联系、 相互转化的思想, 培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义. 学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差, 主动性不够, 学习有依赖性, 且学习的信心不足, 对数学存在或多或少的恐惧感. 通过对指数与指数幂的运算的学习, 学生已多次体会了对立 统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑思维能力 得到了一定的锻炼.因 此,学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础,故应通过指导,教会学生独立思 考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法. 设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性, 使学生化被动为主动,本节课可利用多媒体辅助教学,引导学生从实例中认识对数模型,体 会引入对数的必要性.在教学重难点上,步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究 活动、学生讨论的方式来加深理解,更好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导 下,充分地动手、动口、动脑,掌握学习的主动权. 教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数 的性质,掌握以上知识并形成技能. 2.通过实例使学生认识对数模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出对 数的概念及对数式与指数式的互化. 3.通过学生分组进行探究活动,掌握对数的重要性质.通过做练习,使学生感受到理 论与实践的统一. 4.培养学生的类比、分析、归纳能力,培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培 养学生的探究意识. 重点难点 重点:(1)对数的概念;(2)对数式与指数式的相互转化. 难点:(1)对数概念的理解;(2)对数性质的理解. 教学过程 教学 教学程序及设计 设计意图 环节 让学生根据题意,设未 引例(3 分钟) 知数,列出方程.这两 1.一尺之锤,日取其半,万世不 个例子都出现指数是未 竭. 创设情 知数 x 的情况,让学生 (1)取 5 次,还有多长? 境,引 (2)取多少次,还有 0.125 尺? 思考如何表示 x, 激发其 入新课 分析: (1)为同学们熟悉的指数函数 对对数的学习兴趣,培 1?5 1 养学生的探究意识.生 模型,易得? ?2? =32, 活及科研中还有很多这
1

1?x 样的例子,因此引入对 (2)可设取 x 次,则有? ?2? =0.125, 数是必要的. 1?x 抽象出:? ?2? =0.125?x=? 2.2002 年我国 GDP 为 a 亿元, 如 果每年平均增长 8%,那么经过多 少年 GDP 是 2002 年的 2 倍? 分析:设经过 x 年,则有(1+8%)x =2,抽象出:(1+8%)x=2?x=? 一、对数的概念(3 分钟) 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm),记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真 数. 注意:(1)底数的限制:a>0 且 a≠1; (2)对数的书写格式. 二、对数式与指数式的互化:(5 分 钟)

正确理解对数定义中底 数的限制,为以后对数 函数定义域的确定做准 备.同时注意对数的书 写格式,避免因书写不 规范而产生的错误.

讲授新 课

幂底数←a→对数底数 指数←b→对数 幂←N→真数 思考: (1)为什么对数的定义中要求底数 a >0 且 a≠1? (2)是否是所有的实数都有对数 呢? 负数和零没有对数 三、两个重要对数(2 分钟) (1)常用对数:以 10 为底的对数 log10N,简记为 lg N; (2)自然对数:以无理数 e=2.718 28?为底的对数 logeN,简记为 lnN.(在科学技术中,常常使用以 e 为底的对数) 注意:两个重要对数的书写 课堂练习(7 分钟) 1.将下列指数式写成对数式: 1 - (1)24=16;(2)3 3= ;(3)5a=20; 27 1?b (4)? ?2? =0.45. 2.将下列对数式写成指数式: (1)log5125=3;(2) log 1 3 =-2;
3

让学生了解对数与指数 的关系,明确对数式与 指数式形式的区别,a, b 和 N 位置的不同, 及它 们的含义.互化体现了 等价转化这个重要的数 学思想.

这两个重要对数一定要 掌握,为以后的解题以 及换底公式作准备.

(3)log10a=-1.069. 3.求下列各式的值:
2

本练习让学生独立阅读 课本例 1 和例 2 后思考 完成,从而熟悉对数式 与指数式的相互转化, 加深对对数概念的理 解.并要求学生指出对 数式与指数式互化时应 注意哪些问题,培养学 生严谨的思维品质.

(1)log264;(2)log927. 四、对数的性质(12 分钟) 探究活动 1 求下列各式的值: (1)log31=0;(2)lg 1=0; (3)log0.51=0;(4)ln1=0. 思考:你发现了什么? “1”的对数等于零, 即 loga1=0(a >0 且 a≠1),类比:a0=1(a>0 且 a≠1). 探究活动 2 求下列各式的值: (1)log33=1;(2)lg 10=1; (3)log0.50.5=1;(4)lne=1. 思考:你发现了什么? 底数的对数等于“1”,即 logaa= 1(a>0 且 a≠1), 类比: a1=a(a>0 且 a≠1). 探究活动 3 求下列各式的值: (1) 2
log2 3

=3;(2) 7

log7 0.6

=0.6;

(3) 0.4 =89. 思考:你发现了什么? 对数恒等式: a
log a N

log0.4 89

探究活动由学生独立完 成后,通过思考,然后 分小组进行讨论,最后 得出结论.通过练习与 讨论的方式,让学生自 己得出结论,从而能更 好地理解和掌握对数的 性质.培养学生类比、 分析、归纳的能力.

=N(a>0 且

讲 授 新 课

a≠1). 探究活动 4 求下列各式的值: (1)log334=4;(2)log0.90.95=5; (3)lne8=8. 思考:你发现了什么? 对数恒等式:logaan=n(a>0 且 a≠1). 负数和零没有对数; “1”的对数等于零, 即 loga1 =0; 小 底数的对数等于“1”,即 结 logaa=1; 对数恒等式: a =N; n 对数恒等式: logaa =n.(a>0 且 a≠1) (3 分钟) 1.引入对数的必要性——对数的 概念 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm),记作 x=logaN. 2.指数与对数的关系
3

log a N

将学生归纳的结论进行 小结,从而得到对数的 基本性质.

归纳小 结,强 化思想

总结是一堂课内容的概 括,有利于学生系统地 掌握所学内容.同时, 将本节内容纳入已有的 知识体系中,发挥承上 启下的作用.为下一课

时对数的运算打下扎实 的基础. 3.对数的基本性质 负数和零没有对数; loga1=0; logaa = 1; 对数恒等式: a a =N;logaan = n. 一、课本习题 2.2A 组第 1,2 题. 二、已知 loga2=x,loga3=y,求 + a3x 2y 的值. 三、求下列各式的值:
log N

作业 布置

2

2log2 5

;2

?log2 3



;3 . 2.2.1 对数与对数运算 第 1 课时 三、 对数 引例 1 板书 的基本 引例 2 二、对数式与 设计 性质 一、对 指数式的 四、 小结 数的定 互化练习 五、 作业 义 布置 教学反思 本教学设计先由引例出发,创设情境,激发学生对对数的学习兴趣;在讲授新课部分, 通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动, 加深学生对对数的认识; 最后通过课堂练 习来巩固学生对对数的掌握.

3

2log9 5

1?2log3 4

作业是学生信息的反 馈,教师可以在作业中 发现学生在学习中存在 的问题,弥补教学中的 不足.

第 2 课时
整体设计 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简, 并掌握化简求值的技能. (2)运用对数的运算性质解决有关问题. (3)培养学生分析、解决问题的能力. 培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度. 2.过程与方法 (1)让学生经历并推导出对数的运算性质. (2)让学生归纳整理本节所学的知识. 3.情感态度与价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点 重点:对数运算的性质与对数知识的应用. 难点:正确使用对数的运算性质. 教学过程 导入新课 思路 1.上节课我们学习了以下内容: 1.对数的定义. 2.指数式与对数式的互化.
4

ab=N?logaN=b. 3.重要性质: (1)负数与零没有对数;(2)loga1=0,logaa=1;(3)对数恒等式 a a =N. 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题:对数与对数运算(2)〕 . 思路 2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则: a · a =a ;a ÷a =a ;(a ) =a ; a = a .(a>0 且 a≠1) 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算, 而且它们互为逆运算, 对数是否也有和 指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题:对数与对 数运算(2). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的 关系以及指数运算的性质,得出 相应的对数运算的性质吗? + (2)如我们知道 am=M,an=N,am· an=am n,那 m+n 如何表示,能用对数式运算吗? (3)在上述(2)的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗? (4)你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗? (6)上述结论能否推广 呢? (7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢? 讨论结果:(1)通过问题(2)来说明. + + (2)若 am· an=am n,M=am,N=an,于是 MN=am n,由对数的定义得到 M=am?m= + logaM,N=an?n=logaN,MN=am n?m+n=logaMN,logaMN=logaM+logaN. 因此 m+n 可以用对数式表示. M M - (3)令 M=am,N=an,则 =am÷an=am n,所以 m-n=loga . N N 又由 M=am,N=an,所以 m=logaM,n=logaN. M M 所以 logaM-logaN=m-n=loga ,即 loga =logaM-logaN. N N m n m n mn 设 M=a ,则 M =(a ) =a .由对数的定义, 所以 logaM=m,logaMn=mn.所以 logaMn=mn=nlogaM,即 logaMn=nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质: 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则有 loga(MN)=logaM+logaN;① M loga =logaM-logaN;② N logaMn=nlogaM(n∈R).③ (4)以上三个性质可以归纳为: 性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和; 性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 性质③:幂的对数等于幂指数乘以底数的对数. (5)利用对数运算性质进行运算,所以要求 a>0,a≠1,M>0,N>0. (6)性质①可以推广到 n 个数的情形: 即 loga(M1M2M3?Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+?+logaMn(其中 a>0,a≠1,M1, M2,M3,?,Mn 均大于 0). (7)纵观这三个性质我们知道, 性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左 是一个升级运算.
m n m+n m n m-n m n mn n

log N

m

n m

5

性质③从左往右仍然是降级运算. 利用对数的性质①②可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和、 差 运算,方便了对数式的化简和求值. 应用示例 例 1 用 logax,lo gay,logaz 表示下列各式: xy x2 y (1)loga ;(2)loga . z 3 z 活动:学生思考观察,教师巡视,检查学生解题情况,发现问题及时纠正. 利用对数的运算性质,把整体分解成部分. xy 对(1)loga ,可先利用性质②,转化为两数对数的差,再利用性质①,把积的对数转化 z 为两数对数的和. x2 y 对(2)loga ,可先利用性质②,转化为两数对数的差,再利用性质①,把积的对数转 3 z 化为两数对数的和,最后利用性质③,转化为幂指数与底数的对数的积. xy 解:(1)loga =loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz; z (2)loga x2 y 3 =loga(x2 y)-loga z 3 z

1 1 3 =logax2+loga y-loga z=2logax+ logay- logaz. 2 3 点评:对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘 的运算. 变式训练 1.若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子正确的个数为( ①logax· l ogay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y); x ③loga =logax÷logay;④loga(xy)=logax· logay. y A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 2.若 a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,下列式子正确的个数为( 1 ①(logax)n=nlogax ;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga ; x logax x 1 1 n n =loga ;⑤ logax= logax;⑥ logax=loga x; logay y n n x-y x+y ⑦logaxn=nlogax;⑧loga =-loga . x+y x-y A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B ④ 例 2 求值:(1) log
3

)

)

3 3 ;(2)log327.
3

1

解:(1)解法一:设 log 解法二: log

3 3 ? x ,则( 3)x=3 3=( 3)3,所以 x=3.
3

3 3 ? log 3

? 3?

3

? 3.

1 1 - (2)解法一:令 x=log3 ,则 3x= ,即 3x=3 3,所以 x=-3. 27 27

6

1 - 解法二:log3 =log33 3=-3. 27 例 3 计算: lg 27+lg 8-3lg 10 7 lg 243 (1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;(2) ;(3) . 3 lg 9 lg 1.2 7 解: (1)解法一: lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2 3 +lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 7?2 14×7 7 解法二:lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg 14-lg? + lg 7 - lg 18 = lg =l g 1=0. 3 ? ? 3 ?7?2×18 ?3? lg 243 lg 35 5lg 3 5 (2) = = = . lg 9 lg 32 2lg 3 2 lg 27+lg 8-3lg 10 lg(3 (3) = lg 1.2
1 3 2

) ? lg2 ? 3lg(10) 3? 2 lg 10
2

3

1 2

3 (lg 3+2lg 2-1) 2 3 = = . 2 lg 3+2lg 2-1

点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如 (3)题各部分变 形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;(2)题要避免错用对数的运算性质.对数 运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视. - 23x-2 3x 例 4 设 x=log23,求 x - 的值. 2 -2 x 活动:学生思考观察,教师引导,学生有困难及时提示并评价学生的思考过程.本题主 要考查对数的定义及其运算性质.先利用对数的定义求 2x,再求 23x,从而可求,或先化简 再代入求值. 1?3 -3x 33-? 3x 3? ? 2 - 2 1 1 1?2 91 - 解法一:由 x=log23,得 2x=3,2 x= ,所以 x =32+3× +? = . -x = 3 1 3 ?3? 9 2 -2 3- 3 - - - 23x-2 3x (2x-2 x)(22x+1+2 2x) 2x 1 - 解法二:由 x=log23,得 2x=3,2 x= ,所以 x = =2 +1 - - 3 2 -2 x 2x-2 x 1?2 91 - +2 2x=32+1+? ?3? = 9 . 知能训练 课本本节练习第 1,2,3 题. 【补充练习】 1.用 logax,logay,logaz,loga(x+y),loga(x-y)表示下列各式:

? 4 3? x xy 2 3 (1)loga 2 ;(2)loga?x· z 2?;(3) log a (xy z ) ;(4)loga 2 2; yz x -y y? ? y ?3 ?x+y· y? (5)loga? ?;(6)loga? x ( x - y)? . x - y ? ? ?
解:(1)loga x 1 1 3 =loga x-logay2z= logax-(2logay+logaz)= logax-2logay-logaz; yz 3 3
2

3

1

?

2

3

4 z3 ? 4 3? 1 3 2 (2)loga?x· z 2?=logax+loga 2=logax+ (logaz -logay ) y 4 y? ? 2 3 1 3 =lo gax- logay+ logaz=logax- logay+ logaz; 4 4 2 4

7

(3) log a (xy (4)loga

1 2 ? 2 3

z

) =logax+ log a y + log a z

1 2

?

2 3

1 2 =logax+ logay- logaz; 2 3

xy =logaxy-loga(x2-y2)=logax+logay-loga(x+y)(x-y) x2-y2 =logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y); x+y ?x+y· y? (5)loga? =loga +logay=loga(x+y)-loga(x-y)+logay; ? x-y ?x-y ? y (6)loga?x(x-y)?3=3[logay-logax-loga(x-y)]=3logay-3logax-3loga(x-y). ? ? 2.已知 f(x6)=log2x,则 f(8)等于( ) 4 1 A. B.8 C.18 D. 3 2 解析:因为 f(x )=log2x,x>0,令 x =8,得 x
6 6

? 2 ? 2 ,所以 f(8)= log 2 2 =2.

3 6

1 2

1 2

1

1 1 另解:因为 f(x6)=log2x= log2x6,所以 f(x)= log2x. 6 6 1 1 1 3 所以 f(8)= log28= log22 = . 6 6 2 答案:D 拓展提升 已知 x,y,z>0,且 lg x+lg y+lg z=0,求 x 的值. ?y ?z 活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由于 所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性 质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为 t. 解:令 x
1 1 ? lgy lgz
1 1 ? lgy lgz 1 1 ? lgz lg x 1 1 ? lg x lg y

?y

1 1 ? lgz lgx

?z

1 1 ? lgx lgy

? ? ? ? t ,则 lg t=? ?lg y+lg z?lg x+?lg z+lg x?lg y+

1

1

1

1

? 1 + 1 ?lg z=lg x+lg x+lg y+lg y+lg z+lg z=lg x+lg z+lg x+lg y+lg y+lg z=-lg y ?lg x lg y? lg y lg z lg z lg x lg x lg y lg y lg z lg x lg y
-lg z -lg x 1 - + + =-3,所以 t=10 3= 即为所求. lg z lg x 1 000 课堂小结 1.对数的运算性质. 2.对数的运算性质的综合应用,特别是性质的逆向使用. 3.对数与指数形式比较: 式子 ab=N logaN=b a——幂的底数 a——对数的底数 名称 b——幂的指数 b——以 a 为底的 N 的对数 N——幂值 N——真数 log ( MN )=logaM+logaN; + a am· an=am n; M - 运算 am÷an=am n; loga =logaM-logaN; N m n mn 性质 (a ) =a ; logaMn=nlogaM(n∈R); (a>0,a≠1,m,n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 作业 课本习题 2 .2A 组 3,4,5. 设计感想 在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算性质,
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推出了对数的运算性质,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性 质的认识类比指数的运算性质来理解记忆, 强化性质的使用条件, 注意对数式中每一个字母 的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练习 的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.

第 3 课时
整体设计 教学目标 1.知识与技能 推导对数的换底公式,培养学生分析、解决问题的能力,培养学生的数学应用意识和科 学分析问题的精神和态度. 2.过程与方法 让学生经历推导对数的换底公式的过程,归纳整理本节所学知识. 3.情感态度与价值观 通过对数的运算性质、对数换底公式的学习,培养学生的探究意识,培养学生的严谨的 思维品质;感受对数的广泛应用. 重点难点 重点:对数的运算性质、换底公式及其应用. 难点:正确使用对数的运算性质和换底公式. 教学过程 导入新课 思路 1.问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a>0,且 a≠1,c>0, logcb 且 c≠1,b>0,logab= .教师直接点出课题:对数与对数运算(3)——对数的换底公式及 logca 其应用. 思路 2.前两节课我们学习了以下内容:1.对数的定义及性质;2.对数恒等式;3.对 数的运算性质, 用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算, 那么不同底数的对数集 中在一起, 如何解决呢?这就是本堂课的主要内容. 教师板书课题: 对数与对数运算(3)—— 对数的换底公式及其应用. 思路 3.从对数的定义可以知道,任意不等于 1 的正数都可作为对数的底,数学史上, 人们经过大量的努力, 制作了常用对数表和自然对数表, 只要通过查表就能求出任意正数的 常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以 10 为底或以 e 为底的对数就 能方便地求出任意不等于 1 的正数为底的对数,那么,怎么转化呢?这就需要一个公式,即 对数的换底公式,从而引出课题:对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 log23 的值; (2)根据(1),如 a> 0,a≠1,你能用含 a 的对数式来表示 log23 吗? logcb (3)更一般地,我们有 logab= ,如何证明? logca logcb (4)证明 logab= 的依据是什么? logca (5)你能用自己的话概括出换底公式吗? (6)换底公式的意义是什么?有什么作用? 活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时 提示学生解题的思路, 给学生创造一个互动的学习环境, 培养学生的创造性思维能力. 对(1) 目前还没有学习对数的换底公式,它们又不是同底,因此可考虑对数的定义,转化成方程来 解;对(2)参考(1)的思路和结果的形式,借助对数的定义可以表示;对(3)借助(1)(2)的思路, 利用对数的定义来证明;对(4)根据证明的过程来说明;对(5)抓住问题的实质,用准确的语 言描述出来,一般是按照从左到右的形式;对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了,
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与我们的要求接近了. 讨论结果: (1)因为 lg 2=0.301 0, lg 3=0.477 1, 根据对数的定义, 所以 100.301 0=2,100.477 1 =3. × 不妨设 log23=x,则 2x=3,所以(100.301 0)x=100.477 1,100.301 0 x=100.477 1, 0.477 1 lg 3 lg 3 0.477 1 即 0.301 0x=0.477 1,x= = .因此 log23= = ≈1.585 0. 0.301 0 lg 2 lg 2 0.301 0 (2)根据(1)我们看到, 最后的结果是 log23 用 lg 2 与 lg 3 表示, 是通过对数的定义转化的, 这就给我们以启发,本来是以 2 为底的对数转换成了以 10 为底的对数, 不妨设 log23=x,由对数定义知道,2x=3, loga3 两边都取以 a 为底的对数,得 loga2x=loga3,xloga2=loga3,x= , loga2 loga3 也就是 log23= . loga2 这样 log23 就表示成了以 a 为底的 3 的对数与以 a 为底的 2 的对数的商. logcb (3)证明 logab= . logca 证明:设 logab=x,由对数定义知道,ax=b; 两边取以 c 为底的对数,得 logcax=logcb?xlogca=log cb; logcb logcb 所以 x= ,即 logab= . logca logca logcb 一般地,logab= (a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)称为对数的换底公式. logca (4)由(3)的证明过程来看, 换底公式的证明要紧扣对数的定义, 证明的依据是: 若 M>0, N>0,M=N,则 logaM=logaN. (5)一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商,这样就把一个对数 变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商. (6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题,为使 用运算性质创造条件,更方便化简求值. 说明:我们使用的计算器中,“log”通常是常用对数,因此要使用计算器计算对数, lg 3 一定要先用换底公式转化为常用对数.如 log23= , lg 2 即计算 log23 的值的按键顺序为:“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“=”. 18 再如:在前面要求我国人口达到 18 亿的年份,就是要计算 x=log1.01 , 13 18 lg 13 lg 18-lg 13 1.255 3-1.039 18 所以 x=log1.01 = = ≈ =32.883 7≈33(年). 13 lg 1.01 lg1.01 0.004 3 可以看到运用对数换底公式,有时要方便得多. 应用示例 例 1 求 log89· log2732 的值. 活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,学生板演,利用换底公式 统一底数;根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或以 2 为底的对数,以 3 为底的对数也可. lg 9 lg 32 2lg 3 5lg 2 10 解法一:log89· log2732= · = · = . lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 9 log29 log232 2log23 5 10 解法二:log89· log2732= · = · = . log28 log227 3 3log23 9 log39 log332 2 5log32 10 解法三:log89· log2732= · = · = . log38 log327 3log32 3 9 点评:灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键.

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log5 2· log4981 例 2 计算:(1) ;(2)log43· log92- log 1 4 32 . 1 3 2 log25 · log7 4 3 活动:学生积极交流,教师引导,学生展示自己的思维过程,教师对学生的表现及时评 价.先利用对数运算性质和换底公式进行化简,然后再求值;对(1)根据题目的特点,底数 不同,所以考虑把底数统一起来,再利用对数的运算性质化简.对 (2)利用换底公式把底数 统一起来,再化简求值. lg 2 lg 34 1 lg 2 4lg 3 · · · lg 5 lg 72 2 lg 5 2lg 7 解:(1)原式= =-3. -1 2= lg 3 lg 2 -lg 3 2lg 2 · · lg 52 lg 73 2lg 5 3lg 7 (2)log43· log92- log 1 4 32 =
2

log23 log22 log 2 (32) · - log24 log29 1

1 4

log 2

1 1 5 = log23· log32+ log22 2 2 4

2

1 5 3 = + = . 4 4 2 点评: 在利用对数的换底公式进行化简求值时, 一般情况是根据题中所给的对数式的具 体特点选择恰当的底数进行换底,如果题目中所给的真数和底数互不相同,我们常选择以 10 为底的对数进行换底. logax 例 3 (1)证明 =1+logab; logabx (2)已知 loga b1 = log a b2 =?= log a bn =λ,求证: log a a ?a (b1b2 ?bn ) ? ? .
1 2 n 12 n

活动:学生思考、讨论,教师适当提示:(1)运用对数换底公式,统一成以 a 为底的对 数可直接得解,或利用对数的定义,分别把三个式子设出,再由定义转化成指数形式,利用 指数幂的性质得解;(2)这是条件证明问题,应在现有条件下利用换底公式,转化成积的形 式,从题目的结论来看,真数是积的形式,因此要创造对数的和的形式,这就想到先换底, 再利用等比性质来解. (1)证法一:设 logax=p,logabx=q,logab=r,则 x=ap,x=(ab)q=aqbq,b=ar. + 所以 ap=(ab)q=aq(1 r),从而 p=q(1+r). p logax 因为 q≠0,所以 =1+r,即 =1+logab. q logabx logax logxab 证法二:显然 x>0 且 x≠1,x 可作为底数,左边= = =logaab=1+logab= logabx logxa 右边. lg b1 lg b2 (2)证明:因为 loga1b1=loga2b2=?=loganbn=λ,所以由换底公式得 = =?= lg a1 lg a2 lg b1+lg b2+?+lg bn lg(b1b2?bn) lg bn =λ.由等比定理,所以 =λ.所以 =λ. lg an lg a1+lg a2+?+lg an lg(a1a2?an) lg(b1b2?bn) 所以 log a a ?a (b1b2 ?bn ) = =λ. lg(a1a2?an) 1 2 n 点评:在解题过程中,根据题目的需要,把底数转化,换底公式可完成不同底数的对数 式之间的转化,该公式既可正用,又可逆用,使用时的关键是选择底数,换底的目的是实现 对数式的化简. 例 4 20 世纪 30 年代, 里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度, 就是使 用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就 是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为 M=lg A-lg A0,其中,A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏 差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此
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时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1); (2)5 级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅 的多少倍(精确到 1)? 活动:学生审题,教师引导,学生交流,展示自己的思维过程,教师强调实际问题的注 意事项.根据题目给出的数学模型及其含义来解决.这是实际问题,但题目给出了数学模型 即关系式,关系式是以常用对数的形式给出,因此要利用对数的定义和运算性质,同时注意 要使实际问题有意义. 20 解:(1)M=lg 20-lg 0.001=lg =lg 20 000=lg 2+lg 104≈4.3. 0.001 因此,这是一次约为里氏 4.3 级的地震. A A (2)由 M=lg A-lg A0 可得 M=lg ,即 =10M,所以 A=A0· 10M. A0 A0 当 M=7.6 时,地震的最大振幅为 A1=A0· 107.6; 当 M=5 时,地震的最大振幅为 A2=A0· 105. 7.6 A1 A0×10 - 所以,两次地震的最大振幅之比是 = =107.6 5=102.6≈398. A2 A0×105 答:7.6 级地震的最大振幅大约是 5 级地震的最大振幅的 398 倍. 点评:利用所学知识解决实际问题,是教学的一个难点. 知能训练 课本本节练习 4. 【补充练习】 lg 12 (1)已知 lg 2=a,lg 3=b,则 等于( ) lg 15 2a+b a+2b 2a+b a+2b A. B. C. D. 1+a+b 1+a+b 1-a+b 1-a+b x (2)已知 2lg(x-2y)=lg x+lg y,则 的值为( ) y A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或-1 (3)若 3a=2,则 log38-2log36=__________. 5 (4)lg 12.5-lg +lg 0.5=__________. 8 答案:(1)C (2)B (3)a-2 (4)1 拓展提升 探究换底公式的其他证明方法: 活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导,大胆设想,运用对数的定义及运算性质 和指数幂的运算性质. 证法一: 设 logaN=x, 则 ax=N, 两边取以 c(c>0 且 c≠1)为底的对数, 得 logcax=logcN, logcN logcN 所以 xlogca=logcN,即 x= .故 logaN= . logca logca 证法二: 由对数恒等式, 得N ?a , 两边取以 c(c>0 且 c≠1)为底的对数, 得 logcN logcN =logaN· logca,所以 logaN= . logca 证法三:令 logca=m,logaN=n,则 a=cm,N=an,所以 N=(cm)n=cmn. logcN logcN 两边取以 c(c>0 且 c≠1)为底的对数,得 mn=logcN,所以 n= ,即 logaN= . m logca logcN 对数换底公式的应用:换底公式 logaN= (c>0 且 c≠1,a>0 且 a≠1,N>0)的应 logca 用包括两个方面,即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用,前者较为容易,而后者则 易被学生忽视,因此,教学时应重视后者的用法,下面仅就后者举例说明: logaM logbM logcM logdM 例:化简: + + + . logaN logbN logcN logdN
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loga N

解:原式=logNM+logNM+logNM+logNM=4logNM. 课堂小结 1.对数换底公式; 2.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底 数的幂的形式,则该幂底数可被选作换底公式的底数,也可把对数式转化成以 10 为底的常 用对数或以任意数 a(a>0 且 a≠1)为底的对数式的形式. 作业 课本习题 2.2A 组 6,11,12. 【补充作业】 1.已知 log 1
27

1 1 ? a , log 1 ? b ,求 log81175 的值. 7 5 3 1 1 =log277= log37=a,所以 log37=3a. 3 7

解:因为 log 1
27

又因为 log 1
3

1 =log35=b, 5

3a+2b 1 1 1 所以 log81175= log3(25×7)= (log325+log37)= (2log35+log37)= . 4 4 4 4
n 5 n 2.求证:(log23+log49+log827+?+ log n 3 )log9 32= . 2 2

n 证明:左边=(log23+log49+log827+?+log2n3n)log9 32 1 =( log 2 3+log 2 3+log 2 3+? +log 2 3 )· log932 ?????? ?????? ? n
n

1 5 5 =nlog23· log3 32=log23· log32= =右边. n 2 2 设计感想 本堂课主要是学习对数的换底公式, 它在以后的学习中有着非常重要的应用, 由于对数 的运算性质是在同底的基础上, 因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非 常重要, 有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的, 特别是实际问题的应用十分广泛, 因此要反复训练,强化记忆,所以设计了大量的例题与练习,授课时要加快速度,激发学生 学习的兴趣,多运用多媒体的教学手段. 备课资料 【备选例题】 logaM logbM logcM logdM 【例 1】化简: · · · . logbN logcN logdN logaN logaM logbM logcM logdM 解:原式= · · · =logNM· logNM· logNM· logNM=(logNM)4. logaN logbN logcN logdN 1 【例 2】求证:logab= (a>0,b>0 且 a≠1,b≠1). logba logbb 1 证法一:logab= = . logba logba 1 logbb 证法二: = =logab. logba logba 1 1 1 1 1 【例 3】试证: + + +?+ = . log2x log3x log4x lognx logn!x 1 1 1 1 证明: + + +?+ =logx(2×3×4×?×n) log2x log3x log4x lognx

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1 =logx(1×2×3×4×?×n)=logxn!= . logn!x 【知识拓展】 对数的创立 对数是中学初等数学中的重要内容, 那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在 数学史上,一般认为对数的发明者是 16 世纪末到 17 世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J.Napier, 1550—1617)男爵. 在纳皮尔所处的年代, 哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行, 这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性, 天文学家们不得不花 费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”, 因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳 皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于 独立发明了对数. 当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮 尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通 过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么,当时纳皮尔所发明的对 数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因 此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子: 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、? 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、? 这两行数字之 间的关系是极为明确的: 第一行表示 2 的指数, 第二行表示 2 的对应幂. 如 果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的和来实现. 比如,计算 64×256 的值,就可以先查询第一行的对应数字:64 对应 6,256 对应 8;然 后再把第一行中的对应数字加起来:6+8=14;第一行中的 14,对应第二行中的 16 384, 所以有 64×256=16 384.纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运 算”的思想了.回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这 种思路吗?计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》 ,找到这两个复杂数的常用对数, 再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值,就是原先 那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路, 不正是对数 运算的明显特征吗? 经过多年的探索,纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》 ,向 世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点.所以,纳皮尔是当之无愧的“对数 缔造者”, 理应在数学史上享有这份殊荣. 伟大的导师恩格斯在他的著作 《自然辩证法》 中, 曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为 17 世纪的三大数 学发明. 法国著名的数学家、 天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说: “对 数,可以缩短计算时间,在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.

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