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(6)二次函数与幂函数

时间:2017-11-02


第六节

二次函数与幂函数

一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减

/>R R 奇 增

R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减 (0,+∞)增

R R 奇 增 (1,1)

二、二次函数 1.二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质 a>0 a<0

图象

图象 特点 定义域 值域 性质 奇偶性

b ①对称轴:x=- ; 2a

2 b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

x∈R y∈? 4ac-b2 ? 4a , +∞ 4ac-b2? y∈?-∞, 4a ? ?

b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数 b b x∈-∞, -2a? 时递减, x ∈- , ? 2a +∞时递增 b? x∈? ?-∞,-2a?时递增,x∈

单调性

?- b ,+∞?时递减 ? 2a ?

1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2
?

)

B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2
?

1 ? ? 2.(教材习题改编)设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的 所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3 )

3. (教材习题改编)已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 则 a 的取值范围是( 1? A.? ?0,20? 1 ? C.? ?20,+∞? 4. (教材习题改编)已知点 M? 1? B.? ?-∞,-20? 1 ? D.? ?-20,0?

3 ? 在幂函数 f(x)的图象上, 则 f(x)的表达式为________. ? 3 ,3?

5.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的 最小值为________. 1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、 三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.与二次函数有关的不等式恒成立问题

? ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? ?a<0, ? (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?

[注意] 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

凡诺学堂专题训练一

幂函数的图象与性质

典题导入 [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)x
-5m-3

在(0,+∞)上是增函数,则 m=________.

由题悟法 1.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过 原点,在第一象限的图象下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行 比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 以题试法 1.(1)如图给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )

1 1 - A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 3 2 1 - B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 2 1 - C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x 1 2 1 1 - D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 3 2 (2)(2013· 淄博模拟)若 a<0,则下列不等式成立的是( 1?a a A.2a>? ?2? >(0.2) 1?a B.(0.2)a>? ?2? >2a )

1?a a C.? ?2? >(0.2) >2a

1?a D.2a>(0.2)a>? ?2? 凡诺学堂专题训练二 求二次函数的解析式

典题导入 [例 2] 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式.

由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法. 合理选择解析式的形式, 并根据已知条件正确地 列出含有待定系数的等式,把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法. 以题试法 2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶 点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.

凡诺学堂专题训练三

二次函数的图象与性质

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.
2

本例条件不变,求当 a=1 时,f(|x|)的单调区间.

由题悟法 解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定 一不定,要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法. 以题试法 3. (2012· 泰安调研)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2, 则 a 的值 为________. 凡诺学堂专题训练四 二次函数的综合问题

典题导入 [例 4] (2012· 衡水月考)已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2, 且|F(x)|在[0,1]上单调递增, 求实数 m 的取值范围.

由题悟法 二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们之间有着密切的联系,而二 次函数又是“三个二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此, 有关“三个二次” 的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.

以题试法 4.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|0<x≤ 2} C.{x|- 2≤x≤ 2} ) B.{x|0≤x≤4} D.{x|-4≤x≤4} ) 1 1 1 2 2 2

2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是(

1 3.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 2 1? ?1? ?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?a?<f?b?B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) 1? ?1? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a?D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) 4.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则( 5? A.f(-3)<c<f? ?2? )

)

5? B.f? ?2?<c<f(-3)

5? C.f? ?2?<f(-3)<c
解析:选 D

5? D.c<f? ?2?<f(-3)

由已知可得二次函数图象关于直线 x=1 对称,则 f(-3)=f(5),c=f(0)=f(2),二次函

5.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取 值范围是( ) B.[2,+∞) D.[0,2] )

A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)

6. 若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1, 一根小于 1, 则 m 的取值范围是( 5? A.? ?-∞,-2? C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 5 ? B.? ?2,+∞? 5 ? D.? ?-2,+∞?

1 7.对于函数 y=x2,y=x 有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象 2 限内都单调递增;③它们的图象关于直线 y=x 对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数 都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图象都是抛物线型.其中正确的有________. 8. (2012· 北京西城二模)已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数, 则实数 b=________, 不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 9.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为________. 1 3 10.如果幂函数 f(x)=x- p2+p+ (p∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.求 p 2 2 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式.

11.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集.

12.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m· x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围.

1? 1.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2,若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值为( )

1 1 A. B. 3 2 3 C. D.1 4 2.(2012· 青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x) -g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“关联函数”, 区间[a, b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的 取值范围为________.


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