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6.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)--三角变换与解三角形

时间:2012-03-16


Http://www.fhedu.cn 第8讲 三角变换与解三角形

1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、 诱导公式、 差角及倍角公式)及应用; 和、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、 求值和条件等式及恒等式的证明; 掌握正 弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点 及常规使用方法等; 熟悉三角变换常用的方法(化弦法、 降幂法、 角的变换法、 “1”的变换等); 掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系. 3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实 际问题中的应用也是考查重点, 应给予充分的重视. 新教材降低了对三角函数恒等变形的要 求,但对两角和的正切考查一直是重点.

sin2α 1. 若 tanα=3,则 2 的值等于________. cos α π 7π 4 2.已知 cos?α-6?+sinα= 3,则 sin?α+ 6 ?的值是________. ? ? ? ? 5 1 1 3.在△ABC 中,tanA= ,tanC= ,则角 B 的值为________. 3 2 AC 的值等于________. cosA

4.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则

13 π 1 【例 1】 已知 cosα= ,cos(α-β)= 且 0<β<α< . 14 2 7 (1) 求 tan2α 的值; (2) 求 β.

【例 2】 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b.

C 【例 3】 在△ABC 中, A、B、 的对边分别是 a,b,c, 角 C 已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1) 求 sinC 的值;

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Http://www.fhedu.cn (2) 若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值.

【例 4】 已知 sin(2α+β)=3sinβ,设 tanα=x,tanβ=y,记 y=f(x). (1) 求 f(x)的解析式; (2) 若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域.

3π 1. (2011·全国)已知 α∈?π, 2 ?,tanα=2,则 cosα=________. ? ? π tanx 的值为________. 2.(2011·江苏)已知 tan?x+4?=2,则 ? ? tan2x π 1 cos2α 3.(2011·重庆)已知 sinα= +cosα,且 α∈?0,2?,则 的值为________. ? ? 2 π sin?α-4? ? ? 4.(2010·广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b = 3, A+C=2B,则 sinC=________. 1 π 5.(2011·广东)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1) 求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2) 设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5

6.(2011·全国)△ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a、 c; B、 b、 已知 asinA+csinC- 2asinC =bsinB. (1) 求 B; (2) 若 A=75°,b=2,求 a,c.

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Http://www.fhedu.cn x x x (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2cos ? 3cos2-sin2?. ? 2? π π (1) 设 θ∈?-2,2?,且 f(θ)= 3+1,求 θ 的值; ? ? (2) 在△ABC 中,AB=1,f(C)= 3+1,且△ABC 的面积为 3 ,求 sinA+sinB 的值. 2

π x x x 解:(1) f(x)=2 3cos2 -2sin cos = 3(1+cosx)-sinx=2cos?x+6?+ 3.(3 分) ? ? 2 2 2 π π 1 由 2cos?x+6?+ 3= 3+1, 得 cos?x+6?= .(5 分) ? ? ? ? 2 π π π π π π 于是 x+ =2kπ± (k∈Z),因为 x∈?-2,2?,所以 x=- 或 .(7 分) ? ? 6 3 2 6 π (2) 因为 C∈(0,π),由(1)知 C= .(9 分) 6 因为△ABC 的面积为 3 3 1 π ,所以 = absin ,于是 ab=2 3, 2 2 2 6 ①

在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a、b, π 由余弦定理得 1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6,所以 a2+b2=7,② 6

?a=2, ?a= 3, 由①②可得? 或? 于是 a+b=2+ 3. ?b= 3 ?b=2.
sinA sinB sinC 1 由正弦定理得, = = = , b 1 2 a 1 3 所以 sinA+sinB= (a+b)=1+ . (14 分) 2 2

(12 分)

第 8 讲 三角变换与解三角形

1. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为________. a2+c2-b2 π 2π 3 3 【答案】 或 解析:由余弦定理得 =cosB, ∴ tanB·cosB= , sinB= , 3 3 2ac 2 2 π 2π B为 或 . 3 3 a+c b-a 2. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 = , c a+b (1) 求角 B 的大小; (2) 若△ABC 最大边的边长为 7,且 sinC=2sinA,求最小边边长.

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Http://www.fhedu.cn a+c b-a 解: (1)由 = 整理得(a+c)c=(b-a)(a+b),即 ac+c2=b2-a2, c a+b a2+c2-b2 ac 1 2π ∴ cosB= =- =- ,∵ 0<B<π,∴ B= . 2ac 2ac 2 3 2π (2) ∵ B= , ∴ 最长边为 b,∵ sinC=2sinA,∴ c=2a,∴ a 为最小边,由余弦定 3 1 理得( 7)2=a2+4a2-2a·2a·?-2?,解得 a2=1,∴ a=1,即最小边边长为 1. ? ? 基础训练 sin2α 1. 6 解析: 2 =2tanα. cos α 2. - 4 5 π π 4 3 1 4 3 解析:cos?α-6?+sinα= 3化为 cosα+ sinα+sinα= , 3sin?α+6?= ? ? ? ? 5 2 2 5

π 4 4 3 ,sin?α+6?= . ? ? 5 5 3. tanA+tanC 3π 解析:tanB=tan(π-A-C)=-tan(A+C)=- =-1. 4 1-tanAtanC

BC AC 1 AC 1 AC AC 4. 2 解析:由正弦定理得 = , = , = , =2. sinA sinB sinA sin2A sinA 2sinAcosA cosA 例题选讲 π 1 4 3 8 3 例 1 解:(1)cosα= ,α∈?0,2?,∴ sinα= ,tanα=4 3,tan2α=- . ? ? 7 7 47 π 1 π (2) cosβ=cos(α-(α-β))=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= ,β∈?0,2?,∴ β= . ? ? 3 2 例 2 解:(解法 1)在△ABC 中,∵ sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有 a· b2+c2-a2 a +b2-c2 =3× ·c,化简并整理得:2(a2-c2)=b2,又由已知 a2-c2=2b,∴ 4b 2ab 2bc
2

=b2,解得 b=4 或 0(舍). (解法 2)由余弦定理得: a2-c2=b2-2bccosA.又 a2-c2=2b,b≠0. 所以 b=2ccosA+2, ① 又 sinAcosC=3cosAsinC,∴ sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, sin(A+C)=4cosAsinC,即 sinB=4cosAsinC, b 由正弦定理得 sinB= sinC,故 b=4ccosA, ② c 由①②,解得 b=4. 变式训练 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. π (1) 若 c=2,C= ,且△ABC 的面积 S= 3,求 a,b 的值; 3 (2) 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状. 解: (1) 由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4, 1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,得 ab=4. 2

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2 ? 2 ?a +b -ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ?ab=4, ?

(2) 由题意得 sinBcosA=sinAcosA, π 当 cosA=0 时,A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 cosA≠0 时,得 sinB=sinA,由正弦定理得 a=b, △ABC 为等腰三角形. 所以,△ABC 为直角三角形或等腰三角形. C C C C 例 3 解:(1) 由已知得 2sin cos +1-2sin2 =1-sin , 2 2 2 2 C C C 即 sin ?2cos 2 -2sin 2 +1?=0, ? 2? C C C 由 sin ≠0 得 2cos -2sin +1=0, 2 2 2 C 1 3 C 即 sin -cos = ,两边平方得:sinC= . 2 2 4 2 C C 1 C C π C π π 3 (2) 由 sin -cos = >0 知 sin >cos , < < , <C<π, 则 即 则由 sinC= 得 cosC 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 =- 7 ,又 a2+b2=4(a+b)-8,即(a-2)2+(b-2)2=0,故 a=b=2,所以由余弦定理得 c2 4

=a2+b2-2abcosC=8+2 7,c= 7+1. 变式训练 已知△ABC 中, b、 是三个内角 A、 C 的对边, a、 c B、 关于 x 的不等式 x2cosC +4xsinC+6<0 的解集是空集. (1) 求角 C 的最大值; 7 3 (2) 若 c= ,△ABC 的面积 S= 3,求当角 C 取最大值时 a+b 的值. 2 2 解: (1) ∵ 不等式 x2cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集.

? ?cosC>0, ?cosC>0, ? ? ? ? ? ∴ 即 得? 1 2 ? ? ??≤0, ?16sin C-24cosC≤0, ?cosC≤-2或cosC≥ ,
cosC>0,

?

2

1 故 cosC≥ ,而 cosC=0 时解集不是空集.∴ 角 C 的最大值为 60°. 2 1 3 3 (2) 当 C=60°时,S△ABC= absinC= ab= 3, ∴ ab=6,由余弦定理得 c2=a2+b2 2 4 2 -2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC, 121 11 ∴ (a+b)2=c2+3ab= , ∴ a+b= . 4 2 例 4 解:(1)(解法 1)注意角的变换 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α. (1) 由 sin(2α+β)=3sinβ 得,sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 则 sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,

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Http://www.fhedu.cn ∴ sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴ tan(α+β)=2tanα, tanα+tanβ x+y 于是 =2tanα,即 =2x, 1-tanαtanβ 1-xy ∴ y= x x . 2,即 f(x)= 1+2x 1+2x2

(解法 2) 直接展开,利用“1”的变换. sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ, 2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβ=3sinβ, cos2α-sin2α 1-tan2α 2sinαcosα 2tanα + tanβ=3tanβ, + tanβ=3tanβ, sin2α+cos2α sin2α+cos2α 1+tan2α 1+tan2α ∴ y= x x . 2,即 f(x)= 1+2x 1+2x2

π (2) ∵ α 角是一个三角形的最小内角,∴ 0<α≤ ,0<x≤ 3, 3 f(x)= 1 1 2 ,设 g(x)=2x+ ,则 g(x)=2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时取等号),故函 1 x x 2 2x+ x 1

数 f(x)的值域为?0,

?

2? . 4?

高考回顾 5 1. - 5 cosα=- 2. 4 9 5 . 5 π 1+tanx (1-tan2x) 1 tanx tanx 解析:∵ tan?x+4?= =2, ∴ tanx= , ∴ = = = ? ? 1-tanx 3 tan2x 2tanx 2 1-tan2x 3π cos2α 1 1 解析:由 cos α= 2 = = ,又 α∈?π, 2 ?,cosα<0,所以 ? ? sin α+cos2α tan2α+1 5
2

4 . 9 3. - 14 2 π 2 1 1 cos2α 解析:sinα= +cosα 得 sinα-cosα= ,sin ?α-4? = , = ? ? 4 2 2 π sin?α-4? ? ?

π sin?2-2α? ? ?

π π 2sin?α-4?cos?α-4? ? ? ? ? π 1 π π ? π? =- =-2cos?α-4?, ? ? sinα-cosα=2, <α<2, ∴ cos?α-4? π? π? 4 sin?α-4? sin?α-4? ? ? 14 cos2α 14 14 , =-2× =- . 4 π? 4 2 ?α- sin? 4? π 1 3 1 4. 1 解析:由三角形内角和定理得 B= ,根据正弦定理得 = ,即 sinA= ,1 3 sinA π 2 sin 3



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Http://www.fhedu.cn π π < 3,∴ A<B,∴ A= ,C= ,sinC=1. 6 2 5π 5π π π 5. 解:(1) f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. ? ? ? ? 4 π π 10 5 12 (2) f?3α+2?=2sinα= , ∴ sinα= , ∵ α∈?0,2?, ∴ cosα= . ? ? ? ? 13 13 13 π π 6 3 f(3β+2π)=2sin?β+2?=2cosβ= , ∴ cosβ= , ∵ β∈?0,2?, ? ? ? ? 5 5 4 12 3 5 4 16 ∴ sinβ= .∴ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= · - · = . 5 13 5 13 5 65 6. 解:(1) 由正弦定理 asinA+csinC- 2asinC=bsinB,可变形为 a2+c2-b2 2ac 2 a +c - 2ac=b ,即 a +c -b = 2ac,由余弦定理 cosB= = = , 2ac 2ac 2
2 2 2 2 2 2

π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 (2) 由 sinA=sin(45°+30°)= 2+ 6 3 ·sinC=sin60°= . 4 2 2+ 6 4 2 2 2× bsinC = 3+1,同理 c= = sinB 3 2 = 6. 2 2

2× bsinA 由正弦定理 a= = sinB

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