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5函数与方程


函数与方程 基础知识
要点梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D), 把使 f(x)=0成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点 .

自主学习

(3

)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(b)<0 ,那么函数 y=f(x)在区 一条曲线,并且有 f(a)· 间 (a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 , 这个
c 也就是 f(x)=0 的根.

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0)的图象 与 x 轴的交 点 零点个数 3.二分法
(x1,0) ,
(x2,0)

Δ=0

Δ<0

(x1,0)

无交点

两个

一个



对于在区间[a,b]上连续不断且

f(a)· f(b)<0 的函

数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区 间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

基本练习:

1.若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________.

x

2.函数 f(x)=ex+2x-6 (e≈2.718)的零点属于区间(n, n+1) (n∈Z),则 n=________.
3.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x +x 的零点依次为 a,b,c,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b ( )

题型分类
题型一 例1

深度剖析

判断函数在给定区间上零点的存在性
2

判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

(1)f(x)=x -3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 思维启迪

变式训练 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x +1,x∈R; 1 (2)f(x)=x-x,x∈(0,1).
3

题型二 例2

函数零点个数的判断

若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), ( B.4 个 C.3 个 D.2 个
?x2+2x-3,x≤0, ? f(x)=? ?-2+ln x,x>0 ?

且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的 零点个数是 A.多于 4 个 )

练习 1、 (2010· 福建)函数 的零点个数为 A.3 B.2

( C.1
x 2

) D.0

2、2010山东?函数y ? 2 ? x 零点个数是______ ?

题型三

二次函数的零点分布问题

例 3 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根 在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

变式训练 3 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2 +(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有且只有一

个交点.若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由

失误与防范 1.对于函数 y=f(x)(x∈D),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函 数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数, 当函数的自变量取这个实数时, 其函数值等于零; (2)函数的零点也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横 坐标; (3)一般我们只讨论函数的实数零点; (4)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根. 2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分条件,但不必要.


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