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青海省西宁市五中、四中、十四中届高三数学下学期联考试题 文-课件


青海省西宁市五中、四中、十四中 2016 届高三数学下学期联考试题 文
注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时

,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若集合 U ? ?, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? ,则 S ? (CU T ) 等于( A. ?, ?, ?, ??

?

?

?

)

?

B. ??

?

C. ?, ??

?

D. ?, ?, ?, ?, ?? )

?

2、已知 i 为虚数单位,复数 z ? A. ? i

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是( 2?i
C. i

3 5

B. ?

3 5


4 5

D.

4 5

3. 下列判断错误 的是( ..

A. “ am2 ? bm2 ”是“ a < b”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ” C.若 p,q 均为假命题,则 p ? q 为假命题

D.若 a > b,则 4.几何体的三视图如下,则它的体积是( )

A.

3?? 3 a 3

B.

7 3 a? 12

C.

3? ? 16 3 a 12

D.

7 3 a? 3

1

5. 设 a ? log3 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ?3 ,则(
3



A. a ? b ? c C. a ? c ? b 6. 向 量

B.

b?a?c

D. c ? b ? a

a

, 满b



a ?1

,b ?

2 a ?,

则向量 b ( ? a

)a ?

(b

2 与 b 的夹角为( ) , )
C .

A . 45 ? D. 120?

B .

60 ?

90 ?

7. 执行右边的程序框图,则输出的 S 是





A. 5040

B. 4850

C.2450

D.2550

8. 等比数列 {an } 的前 n项和为S n , 且4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 为( )

=1,则

A. 15

B. 8

C. 7

D. 16

9.如图,圆 C 内切于扇形 AOB,∠AOB= 概率为( ).

? ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在圆 C 内的 3

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4
π 个单位长度,所得图象关于 x 2

10. 将函数 f (x)=sin ω x(其中ω >0)的图象向左平移 = π 对称,则ω 的最小值是( 6 )

2

A. 6 11. 双曲线 y 2 ?

B.

3 4

C.

9 4

D.

2 3

x2 2 ? 1 的离心率 e ? 3 ,则以双曲线的两条渐近线与抛物线 y ? mx 的交 m


点为顶点的三角形的面积为(

A. 4 2

B. 12 2

C. 8 2

D. 16 2

12. 已知函数 f ? x ? ? ? 值范围是( A. ? ??, ?1? )

?e x ? a

x?0 (a ? R ) ,若函数 f ? x ? 在 R 上有两个零点,则 a 的取 2 x ? 1 x ? 0 ?

B. ? ??, 0 ?

C. ? ?1, 0 ?

D. ? ?1, 0 ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上.

?x ? 2 y ? 8 ? 13. 若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ?0 ? y ? 3 ?
14.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ???? ? an ? 2n ? 1,则 a12 ? a22 ???? ? an 2 = 15.已知三棱锥 P-ABC,若 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA = 2,PB = PC = 1,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为__________。 16. 直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 相交于 O , A 两点,若 OA =2 3 ,则实数 k 的值 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选 考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2 x, x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c ,若 f ( A) ? 2,C ? , c ?2 ,求 4
?ABC 的面积 S?ABC 的值.

?

3

18. (本小题满分 12 分) 某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽 取了选修课程的 55 名学生,得到数据如下表: 喜欢统计课程 男生 女生 20 10 不喜欢统计课程 5 20

(1)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关? (2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取 6 名学生作进一步调查,将这 6 名学 生作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 个男生和 1 个女生的概率. 临界值参考:

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

( 参 考 公

式 : K ?
2

n(ad ? bc)2 , 其 中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a?b?c?d )

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在所有棱长都为 2 a 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧
4

D 点为棱 AB 的中点. 棱 AA 1 ? 底面ABC ,
(1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (2)求四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1(-3,0) , a 2 b2

F2(3,0) ,直线 y=kx 与椭圆交于 A、B 两点。 (1)若三角形 AF1F2 的周长为 4 3 ? 6 ,求椭圆的标准方程;

(2)若|k|>

2 ,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率 e 的取值范围。 4

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

a ? x ? ln x , a ? R . x

(1)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切 线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求此切线方程; (2)当 a ? 0 时,令函数 g ( x) ? f ( x) ? 的极值点;

1 2 x ? x(b ? R且b ? 0) ,求函数 g ( x) 在定义域内 2b

5

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. ⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 D 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.己知直线

L :ρ = 一

? x ? 3 ? 5cos a 6 ,曲线 C: ? ( a 为参数) . 3cos ? ? 4sin ? ? y ? 5 ? 5sin a

(l)将直线 L 化成直角方程,将曲线 C 化成极坐标方程: (2)若将直线,向上平移 m 个单位后与曲线 C 相切,求 m 的值

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R, f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围.

6

2016 年三校联考数学试题答案(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 D 8 A 9 C 10 B 11 C 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 13. 【答案】10 14. 【答案】

4n ? 1 3

15. 【答案】

16. 【答案】 ?

3 3

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选 考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 【答案】(1) [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z ;(2) 6 3

?

3? 3 . 2

【解析】(1)∵ f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2x,x ? R , ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

).

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ? (2)∵在 ?ABC 中, f ( A) ? 2, C ? ∴ 2sin(2 A ?

?

?
4

, k? ? ], k ? Z . ???????6 分 6 3

?

,c ? 2 ,

?
6

) ? 2, 解得 A ? k? ?

?
3

,k ?Z .

又0 ? A ?? , ∴A?

?
3

.

依据正弦定理,有

a sin

?
3

?

c sin

?
4

, 解得a ? 6 .

∴ B ?? ? A?C ?

5 ?. 12

7

∴ S?ABC ?

1 1 6 ? 2 3? 3 . ????????????12 分 ac sin B ? ? 2 ? 6 ? ? 2 2 4 2
8 . 15

18. (本小题满分 12 分) 【答案】(1) 有 99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关;(2) P ?
2

n(ad ? bc)2 2 【解析】试题分析:(1)利用公式 K ? 求出 K 的观测值,结 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
合临界值表得出结论. (2)首先利用分层抽样的原理确定样本中男生、女生的人数,然后利用古典概型的概率计算 公式求解. 试题解析:解: (Ⅰ)由公式 K 2 ?
55 ? (20 ? 20 ? 10 ? 5) 2 ? 11.978 ? 7.879 , 30 ? 25 ? 25 ? 30

所以有 99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关. (Ⅱ)设所抽样本中有 m 个男生,则

???????6 分

6 m ? ,得m ? 4 人,所以样本中有 4 个男生,2 30 20

个女生, 分别记作 B1 , B2 , B3 , B4 , G1 , G2 . 从中任选 2 人的基本事件有 ( B1 , B2 )、( B1 , B3 )、
( B1 , B4 )、( B1 , G1 )、 ( B1 , G2 )、( B2 , B3 )、 ( B2 , B4 )、( B2 , G1 )、( B2 , G2 )、( B3 , B4 )、 ( B3 , G1 )、( B3 , G2 )、( B4 , G1 )、( B4 , G2 )、(G1 , G2 ) ,共 15 个,其中恰有 1 名男生和 1 名

女生的事件有 共 ( B1, G1) 、 ( B1, G2) 、 ( B2, G1) 、 ( B2 , G2 ) 、 ( B3, G1) 、 ( B3, G2) 、 ( B4 , G1 )、 ( B4 , G2 ) , 8 个,所以恰有 1 名男生和 1 名女生的概率为 P ? 19. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1)证明详见解析; (2) V ? 3a .
3

8 . ?? ???12 分 15

【解析】试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、四棱锥的体 积等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算 能力.第一问,作出辅助线 BC1 ,根据 DE 是 ?ABC1 的中位线,得 AC1 ∥ DE ,再根据线面 平行的判定,得 AC1 ∥平面 CDB1 ;由 ?A 1B 1C1 为正三角形,得 C1M ? A 1A ? 平 1B 1 ,而 A 面 ABC ,可转化为 A1 A ? 平面 C1 A1B1 ,则利用线面垂直的性质,得 A1 A ? C1M ,利用线 面垂直的判定得 C1M ? 平面 ADB1 A1 ,则可以判断 C1M 是四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的高,最后
8

利用四棱锥的体积公式计算即可. 试题解析:(1)连结 BC1 ,设 BC1 与 B1C 交于点 E , 则点 E 是 BC1 的中点,连结 DE , 因为 D 点为 AB 的中点, 所以 DE 是 ?ABC1 的中位线, 所以 AC1 ∥ DE , 因为 DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 . (2)取线段 A1B1 中点 M ,连结 C1M , ?????4 分

M 为线段 A1B1 中点, ∵ C1 A 1 ? C1B 1 ,点
∴ C1M ? A1B1 . 又 A1 A ? 平面 ABC 即 A1 A ? 平面 C1 A1B1 , C1M ? 平面 C1 A1B1 ∴ A1 A ? C1M , ∵ A 1B 1 ? A 1A ? A 1, ∴ C1M ? 平面 ADB1 A1 ,则 C1M 是四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的高

1 (2a + a) ? 2a VC1 -ADB1A1 = ? ? 3a = 3a 3 . 3 2
20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 ?

??????12 分

? ?c ? 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 a ? 2c ? 6 ? 4 3

a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a 2 ? 12 , b2 ? 3 .
x2 y2 ? ? 1. 所以,椭圆的方程为 12 3
??4 分

9

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? a 2 b 2 得 (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 易知, AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 . 即

? a 2b 2 , b2 ? a 2 k 2

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
2

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 ? ?1 ? 4 将其整理为 k ? . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2
因为 k ?

2 2 ,所以 12 ? a ? 18 ,即 2 3 ? a ? 3 2 4 2 3 ?e? 2 2 .
??????12 分

所以离心率

21.(本小题满分 12 分) 【答案】(1) x ? 2 y ? 8 ? 0 ;(2)当 b ? 0 时, g ( x) 在定义域内 无极值;当 b ? 0 时, g ( x) 的极大值点为 b ,无极小值点;(3) a ? 2 .

a 1 ?1? , 2 x x 7 1 5 ? k ? f ' (1) ? ?a ? 2 ? ? ,? a ? ,切点为 (1, ) 2 2 2 7 1 ???? ??4 分 ? 此切线方程为 y ? ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 2 2 1 2 1 2 x ? x ? ln x ? x ,定义域为 x ? (0,??) , (2)当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? ln x ? 2b 2b
' 【解析】(1)由题意知: f ( x) ? ?

? g ' ( x) ?

1 x b ? x2 ? ? x b bx

' 当 b ? 0 时,? g ( x) ? 0 恒成立,? g ( x) 在 x ? (0,??) 上为增函数,

10

? g ( x) 在定义域内无 极值;
当 b ? 0 时,令 g ' ( x) ? 0 ,? x ? b 或 x ? - b (舍去),

x
g ' ( x)
g ( x)

(0, b )
+ ↗

b
0
极大值

( b ,??)
- ↘

? g ( x) 的极大值点为 b ,无极小值点;
综上:当 b ? 0 时, g ( x) 在定义域内无极值; 当 b ? 0 时, g ( x) 的极大值点为 b ,无 极小值点. ??????????12 分

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,三角形相 似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

? BD ? OC , 又 【试题解析】 解 : (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,
AB 为直径,? AD ? DB , AD // OC .
????????5 分

(2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? OB OC , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 .

??????10 分

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
2 【答案】 (1) ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 ; (2) 2 或 15.

5

【解析】 (1)直线 l 的参数方程化为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 6=0 ,则

11

由 ? cos ? ? x , ? sin ? ? y ,得直线的直角坐标方程为 3x ? 4 y ? 6=0 .

? x ? 3 ? 5cos ? , ? 2 2 2 2 y ? 5 ? 5sin ? . , 由? 消去参数 ? , 得 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 25 , 即 x ? y ? 6 x ? 10 y ? 9 ? 0
(*) , 由 ? ? x ? y , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y ,
2 2 2

代入(*)可得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 .?????5 分
2

(2)设直线 l ? : 3x ? 4 y ? t =0 与曲线 C 相切.

| 3? 3 ? 4 ? 5 ? t |
由(1)知曲线 C 的圆心为 (3,5) ,半径为 5,则 解得 t = ? 4 或 t = ? 54 ,

32 ? 42

=5


3 3 27 y ? ? x ?1 y ? ? x ? 4 4 2 . 所以 l ? 的方程为 3x ? 4 y ? 4=0 或 3x ? 4 y ? 54=0 ,即 或 3 3 y ?? x? 4 2, 又将直线 l 的方程化为 3 5 27 3 m =1 ? ( ? ) ? m= ? (? ) ? 15 2 2或 2 2 所以 .??????????10 分

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 . 由 f ( x) ? 3 得 x ? 1 ? x ? 1 ? 3. 当 x ? ?1 时,不等式可化为 1 ? x ? x ? 1 ? 3 即 ?2 x ? 3 ,其解集为 (??, ? ]. 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1 ? 3 ,不可能成立,其解集为 ? ; 当 x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, 即2 x ? 3 ,其解集为 [ , ??). 综上所述, f ( x) ? 3 的解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??). ?????5 分 (Ⅱ)? f ( x) ? x ? 1 ? x ? a ? a ? 1 ,∴要 ?x ? R, f ( x) ? 2 成立, 则 a ? 1 ? 2 ,? a ? ?1或a ? 3 , 即 a 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) 。????????10 分
12

3 2

3 2

3 2

3 2


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