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人教A版数学必修2课件:4.1.1圆的标准方程


一、圆的定义: 平面内到定点距离等于定长的点 的集合叫做圆。定点叫做圆心,

定长叫做半径。

已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。 解: 设M(x , y)为圆上任意点
y

P = { M | |MC| = r }

M(x,y)
O

( x

? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

C

x

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r
2

2

三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

二、圆的标准方程:
圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O C x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

练习1:(口答):求圆的圆心及半径
(1) (x-3)2+(y+2)2 =4 (2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 (3,-2) r=2 (-4,2) r ? (0,-1) r=4 (0,0) r=2

7

(3) x2+(y+1)2 = 16
(4) 2x2+2y2=8

练习2:写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径是3.

x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5

(x-3)2+(y-4)2=5

思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种位置 关系? 思考2:在平面几何中,如何确定点与圆的位 置关系? A
A O OA<r O OA=r A O OA>r

思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0) 和圆C:( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,如何判断 点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆上 点M在圆内 点M在圆外

例1:已知圆心A(2, -3) ,半径等于5的圆
的方程,试判断点M(5, -7)、N(1,0)、

Q(7, 1)是在圆上,在圆内,在圆外?

2 2 (x-2) +(y+3) =25

例2:已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和 B(2,-2 ),圆心C在直线l: x-y+1=0 上,求圆心为C的圆的标准方程.
y

弦AB的垂 A(1,1) 直平分线
O x

D

C

B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

解:A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: k AB ? ? 2 ? 1 ? ?3 2 2 2 ?1

因此线段AB的垂直平分线

l 的方程是

'

1 1 3 y ? ? ( x ? ) 即x ? 3 y ? 3 ? 0 2 3 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ?C (?3,?2) ?? ? ? y ? ?2 ?x ? y ? 1 ? 0
r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5
所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25

例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1),B(7, -3),C(2, -8),求它 的外接圆的方程.
解:设所求圆的方程为: ( x ? a)
2

? ( y ? b) ? r
2

2

因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3 ? r ?5 ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? ?

所求圆的方程为

待定系数 法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

y
A(5,1)

几何方法
O E

x
B(7,-3)

C(2,-8)
圆心:两条弦的中垂线的交点 半径:圆心到圆上一点

练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0),B(0, 3),O(0, 0), 求它的外接圆的方程.

3 2 25 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4
2

【总一总★成竹在胸】
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r

y
2

A

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2.圆心
①两条直线的交点 (弦的垂直平分线) ②直径的中点
O

C

B

x
C

3.半径
圆心到圆上一点

(1)圆的一般方程是什么?

(2)怎样确定圆的一般方程?

(3)圆的一般方程与标准方程如何互化?


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