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江苏省南菁高级中学2013届高三下学期开学质量检测数学试题


2013 届高三第二学期数学质量检测试卷
一、填空题:(本大题共

14 小题,每小题 5 分,计 70 分,)
x ?1 >0},则 A∩B=▲ x2 ? 4

1. 已知 A ={ x ︱ ( x ? 4) x2 ? 3x ? 4 ? 0 },B={x︱

⒉数据 x1 , x2 ,

/>
, x8 平均数 6,标准差为 2,则数据 2x1 ? 6,2x2 ? 6, ,2 x8 ? 6 方差为▲

2 3 i 2013 = ▲ ⒊若 i 是虚数单位,则 i ? 2i ? 3i ? ? ? ? ? 2013



⒋在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,角 C= ▲
2

⒌设△ABC 中角 A、B、C、所对的边 a、b、c 成等比数列,则

sin A ? cos A tan C 值为▲ sin B ? cos B tan C

⒍.设 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( x ? 2 ) 2 ,对于一切 x,y∈ R ,y≠0, F ? x, y ? 的最小值为▲
2 y

⒎已知函数 f(x)=

sin(?x) ? cos(?x) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为▲ 4 4 x

⒏设函数 f(x)=5 x +bx+c(b,c∈Z),若方程 f(0)=0 在区间(2,3)上有两个不等的 实根 x1 , x2 ,则 f(2)·f(3)为▲ 1

2

⒐设函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c , x ? ? ?1,1? 的最大值为 M ,若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立, 则 k 最大值为▲

⒑已知数列{an}(n∈N*)满足 a1=1 且 an ? an ?1 cos

2 n? ,则其前 2013 项的和为 ▲ . 3

⒒定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图像关于(2,0)成中心对 称,若 s,t 满足不等式 f (s ? 4s) ? ? f (4t ? t ) ,若 ?2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 最大值为▲
2 2

⒓已知圆 M:( x ?1) ? ( y ? 3) ? 4 ,过 x 轴上的点 P (a, 0) 存在一直线与圆 M 相交,交点为
2 2

A、B,且满足 PA=BA,则点 P 的横坐标 a 的取值范围为 ▲ .

2 2 ⒔设椭圆的方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) ,过右焦点且不与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P ,Q

a

b

两点,若在椭圆的右准线上存在点 R ,使 △PQR 为正三角形,则椭圆的离心率的取值范围 是 ▲ .

⒕设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(1)=2013,且对任意 x∈R,满足 f(x+2)-f(x)≤3· 2 , f(x+6)-f(x)≥63· 2 ,则 f(2013)= ▲
x

x

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ⒖(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z, 求 x+y+z 的取值范围. xxk.Com]

⒗(本题满分 14 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知底面 ABC 是边长为 a 的正三角形,侧棱 AA1 ?

6 a ,点 2

D, E , F ,O 分别为边 AB, AC 1 ⊥底面 ABC . 1 , AA 1 , BC 的中点, AO
(Ⅰ)求证:线段 DE∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证:FO⊥平面 BB1C1C .

A1 B1

C1

F

E

A D B O

C

⒘(本题满分 14 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式,并写出定义域; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是 参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明

A x D B y C E

⒙(本题满分 16 分)已知曲线 C: x

2

+

y2 = 1 ,直线 l: kx-y-k=0,O 为坐标原点 a

(1)讨论曲线 C 所表示的轨迹形状 (2)当 a=1,k=2 时,求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 (3)若直线 l 与 x 轴的交点为 P,当 a>0 时,是否存在这样的以 P 为直角顶点 的内接于曲线 C 的等腰直角三角形?若存在,求出共有几个?若不存在请 説明理由。

⒚(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

(1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点 A(1, 0) ,设点 P( x, y) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP | 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

⒛(本小题满分 16 分) 设数列 {an } , 对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2
*

(其中 k 、 ? an ) ,

b 、 p 是常数)。 (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ;

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 , 试问:是否存在这样的“封闭数列” 且

(3) 若数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “封闭数列”.

?an ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn ? 0 ,

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 S1 S2 S3

?

1 11 ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值; Sn 18

若不存在,说明理由.

2013 届高三第二学期数学质量检测试卷
三、填空题:(本大题共

14 小题,每小题 5 分,计 70 分,)
x ?1 >0},则 A∩B=▲[4,+∞)∪{1} x2 ? 4

1.已知 A ={ x ︱ ( x ? 4) x2 ? 3x ? 4 ? 0 },B={x︱

⒉数据 x1 , x2 ,

, x8 平均数 6,标准差为 2,则数据 2x1 ? 6,2x2 ? 6, ,2 x8 ? 6 方差为▲16

2 3 i 2013 = ▲ ⒊若 i 是虚数单位,则 i ? 2i ? 3i ? ? ? ? ? 2013

.1006+1007i

⒋在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,角 C= ▲ C ?
2

?
6

, 或C ?

2? , 3

⒌设△ABC 中角 A、 B、C、 所对的边 a、 b、 c 成等比数列,则

sin A ? cos A tan C 值为▲ ( 5 ? 1 , 5 ? 1) sin B ? cos B tan C 2 2

16 ⒍.设 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( x ? 2 ) 2 ,对于一切 x,y∈ R ,y≠0, F ? x, y ? 的最小值为▲
2 y

5

⒎已知函数 f(x)=

sin(?x) ? cos(?x) ? 2 1 5 4 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为▲ 4 4 5 x

⒏设函数 f(x)=5 x +bx+c(b,c∈Z),若方程 f(0)=0 在区间(2,3)上有两个不等的 实根 x1 , x2 ,则 f(2)·f(3)为▲ 1

2

⒐设函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c , x ? ? ?1,1? 的最大值为 M ,若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立, 则 k 最大值为▲ 1 2

⒑已知数列{an}(n∈N*)满足 a1=1 且 an ? an ?1 cos

2 n? ,则其前 2013 项的和为 ▲ .16 3

⒒定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图像关于(2,0)成中心对 称,若 s,t 满足不等式 f (s ? 4s) ? ? f (4t ? t ) ,若 ?2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 最大值为▲0
2 2

⒓已知圆 M:( x ?1) ? ( y ? 3) ? 4 ,过 x 轴上的点 P (a, 0) 存在一直线与圆 M 相交,交点为
2 2

A、B,且满足 PA=BA,则点 P 的横坐标 a 的取值范围为 ▲ . 1 ? 3 3 ? a ? 1 ? 3 3

2 2 ⒔设椭圆的方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) ,过右焦点且不与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P ,Q

a

b

两点,若在椭圆的右准线上存在点 R ,使 △PQR 为正三角形,则椭圆的离心率的取值范围

3 ,1) 是 ▲ . 3 (

⒕设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(1)=2013,且对任意 x∈R,满足 f(x+2)-f(x)≤3· 2 ,
2013 ? 2011 f(x+6)-f(x)≥63· 2 ,则 f(2013)= ▲ 2

x

x

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ⒖(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z, 求 x+y+z 的取值范围. 解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a (1) ?

? bc cos A ? 9 4 3 4 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , 5 5 3 ?bc sin A ? 12

? sin B b 3 ?bc ? 15 ?b ? 3 ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? sin C c 5 c ? 5 ? ?c 5 ? 12 1 ? (2 x ? y ) (2) 2S △ ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ? 5 5
?3 x ? 4 y ? 12, ? x ? 0, 由线性规划得 0 ? t ? 8 设 t ? 2x ? y , ? ? y ? 0, ?
∴ xxk.Com]

12 ? x? y?z ?4 5

⒗(本题满分 14 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知底面 ABC 是边长为 a 的正三角形,侧棱 AA1 ?

6 a ,点 2

D, E , F ,O 分别为边 AB, AC 1 ⊥底面 ABC . 1 , AA 1 , BC 的中点, AO
(Ⅰ)求证:线段 DE∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证:FO⊥平面 BB1C1C .
A1 B1

C1

F

E

A D B O

C

(Ⅰ)因为平面 ACC1 A1 为平行四边行, E为AC1的中点 , 所以 A, E, C1 共线, ??2 分

D为AB的中点? ???????????????4 分 ? ? DE BC1 , E为AC1的中点? DE BC1 ? ? 又 BC1 ? 平面BCC1 B1 ? ? DE 平面BCC1 B1 . ??????????6 分 DE ? 平面BCC1 B1 ? ?
(Ⅱ)因为 ?ABC 是边长这 a 的正三角形,所以 AO ? 又 AO ? 底面 ABC ,所以 AO ? AO , 1 1 又 AA1 ?

3 a. 2

???????????????8 分

6 3 a ,所以 A1O ? a. 2 2 OF ? AA1 ? 又 F 为 AA1 的中点,所以 ? ? OF ? BB1 . ????????????10 分 BB1 AA1 ?


BC ? AO ? ? ? BC ? 平面 AOA1 ? BC ? OF , BC ? A1O ?

????????????12 分

所以 OF ? 平面 BB1C1C .

?????????????????14 分

⒘(本题满分 14 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式,并写出定义域; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是 参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明

A x D B (1)在△ADE 中,y =x +AE -2x·AE·cos60° ? y =x +AE -x·AE,①
2 2 2 2 2 2

E y C

又 S△ADE=

1 3 2 1 S△ABC= a = x·AE·sin60° ? x·AE=2.② 2 2 2
2 2

2 ②代入①得 y =x + ( ) -2(y>0), ∴y= x ?

2 x

2

4 ? 2 (1≤x≤2) x2

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2 . x2 4 2 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x + 2 ,可知 x
当且仅当 x =
2

函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x) max=f(1)=f(2)=5. ∴y max= 5 ? 2 ? 3 . 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.

⒙(本题满分 16 分)已知曲线 C: x

2

+

y2 = 1 ,直线 l: kx-y-k=0,O 为坐标原点 a

(1)讨论曲线 C 所表示的轨迹形状 (2)当 a=1,k=2 时,求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 (3)若直线 l 与 x 轴的交点为 P,当 a>0 时,是否存在这样的以 P 为直角顶点 的内接于曲线 C 的等腰直角三角形?若存在,求出共有几个?若不存在请 説明理由。

y2 解: (1)C: x + = 1 a
2

16 分

⒚(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

(1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点 A(1, 0) ,设点 P( x, y) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP | 的最小值,并求此时点 P 的坐标;

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m | ? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ? a?2 解: (1)由 ? ,得 ? , 解 得: ? . ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2 ? b ?1 2x x 2 2 2 2 2 ) , (2)由(1) f ( x ) ? ,所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( x ?1 x ?1 12 2 4 2 2 2 令 x ? 1 ? t , t ? 0 ,则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ? 2 ? 4(t ? ) ? 8 t t t 2 2 2 2 ? (t ? ) ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 ,因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 ,所以, t t t 2 当 t ? ? ?2 2 , 所 以 | AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 , 即 AP 的 最 小 值 是 2 2 ? 2 , 此 时 t t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1 ,点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) 2x 2m m ? (3)问题即为 对 x ? [1, 2] 恒成立,也就是 x ? 对 x ? [1, 2] 恒 x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | | x?m| 成立, 要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . m 法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x m m 2 即 m ? ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 mx ? m ? x ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成 x x
(3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ? 立,

1 ? m ?1或m ? 2 , 2 x2 x2 ②当 x ? 1 时, m ? 且m? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1 x2 x2 ) max , 对于m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,
①当 x ? 1 时,

x2 (t ? 1)2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t 2 4 x 4 ?( ) max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 3 x ?1 3

x2 x2 )min 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (0,1] ,
对于 m ?

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t 2 x ?( )min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1 综上: 2 ? m ? 4 ?????????????16 分
法二: 故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x ? mx ,
2

4 ,舍去; 3 m 2 m2 ②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ? ) ? , 2 4 m 考虑到 ? 1 ,再分两种情形: 2 m m m2 (ⅰ) 1 ? ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? , 2 2 4 m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 依题意 4 m (ⅱ) ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,[来源:学科网 ZXXK] 2 故 g (2) ? m , ? 2(m ? 2) ? m , ? m ? 4 , 舍 去 。 综 上 可 得 , 2 ? m ? 4 ??????????16 分

g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ?

⒛(本小题满分 16 分) 设数列 {an } , 对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2
*

(其中 k 、 ? an ) ,

b 、 p 是常数)。 (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ;

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 , 试问:是否存在这样的“封闭数列” 且

(3) 若数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “封闭数列”.

?an ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn ? 0 ,

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 S1 S2 S3

?

1 11 ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值; Sn 18

若不存在,说明理由. 解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ②-①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ∴

? an ) ,



? an ? an?1 ) , ② ? 3an , 在①中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0 ,

an ?1 3n ? 1 ? 3 ,∴ {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? an = 2 an (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? an ) , ③ 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? an ? an?1 ) , ④ ④-③得 (n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 , ⑤; 用 n ? 1 去代 n 得,nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ⑥
⑥-⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 。 9?3 (3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。
∴数列 {an } 是等差数列。∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ?
?

又 ?an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, 18 18 1 1 11 ? a1 ? 12 。 一 方 面 , 当 ? a1 ? 12 时 , 又由已知, ,故 ? ? 11 11 1 2 S1 18 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 。 Sn ? n ( n? 1 a ? 1? ) 0 ,对任意 n ? N * ,都有 ? S1 S2 S3 Sn S1 12 1 1 1 另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , , ? ? Sn n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 则 ,取 n ? 2 ,则 ? ? ? ? ? 1? ? ? 1 ? ? ? ,不合题意 S1 S2 S3 Sn n ?1 S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) , ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

11 1 11 1 1 1 1 , ? ? ( ? ? )? Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) , ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 又 11

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?


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