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华师一附中2015年高中招生考试数学模拟试题

时间:2015-04-07


华师一附中 2015 年高中自主招生考试 数学模拟试题
考试时间:80 分钟 卷面满分:150 分 一、选这题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 1、已知实数 a、b、c 满足 式 ab+bc 的值为( A、36 B、-36 C、18

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 7、已知 xy ? 3 ,那么

x
8 、 . 已 知 实 数

y x 的值是__________. ?y x y
a,b,c 满 足 a+b+c=10, 且
A I B G

a ? b ? c ? (a 2 ? 2005 )( b ? 6) ? | 10 ? 2b |? 2 , 则代数
) D、-18

a b c 1 1 1 14 ? ? ? ? ? ,则 的值 b?c c?a a?b a ? b b ? c c ? a 17
是 .
E 8

D

J K

F

9、如图,在长和宽分别是 8 和 7 矩形内,放置了如图中 5 个大小 2、如图,菱形纸片 ABCD 中, ?A ? 60 ,将纸片折叠,点 A、D 分别落在 A’、D’处,且 A’D’经过 B, EF 为折痕, 当 D’F ? CD 时,
?

C

A’

相同的正方形,则正方形的边长是

.
O 7 H 图 1

CF 的值为 ( FD


A

D

10、将一正五边形纸片沿其对称轴对折.旋转放置,做成科学
F

3 ?1 A. 2

3 B B. 6

2 3 ?1 C. D. 6

3 ?1 8

方舟模型. 如图所示, 该正五边形的边心距 OB 长为 2,AC 为
C

E

科学方舟船头 A 到船底的距离,则 AC ?

A'

B

D'

1 AB ? 2



3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 如 果 直 线 y = kx 与 函 数 y = 2x+4(x <-3) ? ? ?-2(-3≤x ≤3)的图象恰有 3 个不同的交点,则 k 的取值范围是( ? ?2x-8(x>3) A、



2 2 ? k ? 2 B、k<2 C、 ? ? k ? 2 3 3

D、-2<k<2 11、如图是二次函数 y=ax2+bx 的图象,若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根,则实数 m 的最大值为 .

4、如图,在四边形 ABCD 中,AB=AC,∠ABD=60°,∠ADB=76°, ∠BDC=28°,延长 BD 至点 E,使得 DE=DC,连结 AE,则∠DBC 的 度数为( )

y?
12、已知抛物线 定一点 D,使得

A.18° B.16° C.15° D.14° 5、如图,以△ABC 的每一条边为边作三个正三角形△ABD、△BCE 和△ACF.已知这三个 正三角形构成的图形中,甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和,则∠ FCE=( ) D A.130° B.140° C.150° D.160° F
甲 丙 C 丁 (第 5 题) E 乙 B

1 2 x ? bx 2 经过点 A(4,0)。设点 C(1,-3) ,请在抛物线的对称轴上确
的值最大,则 D 点的坐标为__________.

AD ? CD

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分)

? 1) x 2 ? 3(3m ? 1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根(m 是 2 2 2 2 整数).△ABC 的三边 a、b、c 满足 c ? 2 3 , m ? a m ? 8a ? 0 , m ? b m ? 8b ? 0 .
13、 (13 分)已知关于 x 的方程 (m
2

6、若 0°<α <45°,且 sinα cosα =

3 7 ,则 sinα =( 16

).

A

求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积.

A、

7 8

B、

14 4

C、

7 4

D、

14 8

14、(15 分)如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 为矩形,A(8,0) ,C(0,6) ,点 M 是 OA 的中点,P、Q 两点同时从点 M 出发,点 P 沿 x 轴向右运动;点 Q 沿 x 轴先向左运动 至原点 O 后,再向右运动到点 M 停止,点 P 随之停止运动.P、Q 两点运动的速度均为每 秒 1 个单位. 以 PQ 为一边向上作正方形 PRLQ. 设点 P 的运动时间为 ( t 秒) , 正方形 PRLQ 与矩形 OABC 重叠部分(阴影部分)的面积为 S(平方单位) . (1)用含 t 的代数式表示点 P 的坐标; (2)分别求当 t=1,t=5 时,线段 PQ 的长; (3)求 S 与 t 之间的函数关系式; (4)连接 AC.当正方形 PRLQ 与△ ABC 的重叠部分为三角形时,直 接写出 t 的取值范围.

16、 (13 分)已知点 P 是抛物线 y ? x2 上一点,过点 M(0,2)作半径为 2 的⊙M, (1) 过点 P 作⊙M 的两条切线 l1 、 l2 ,若 l1 ⊥ l2 ,求点 P 的坐标; (2)若过点 Q(2,4)的直线 l 与 抛物线 y ? x2 只有一个公共点时,求出点 M 与直线的距离.

17、 (18 分)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC y 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上, OA=2,OC=3。过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 A D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E。 E (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y O 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于点 G。 如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的 15、 (13 分)已知:在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点 E、F 分别在 BC、 CD 上,且∠AEF=∠ACD,试探究 AE 与 EF 之间的数量关系. (1)如图①,若 AB=BC=AC,则 AE 与 EF 之间的数量关系为________. (2)如图②,若 AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证 明. (3)如图③,若 AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证 明. 横坐标为

D

B x C

6 ,那么 EF=2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理 5

由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐 标;若不存在,请说明理由.

华师一附中 2015 年高中自主招生考试 参考答案
1、A 2、A 3、A 4、B 5、C 6、C 10、5 11、3 12、 (2,-6) 7、 2 3或 - 2 3

8、89/17

9、 5

∵∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,∴∠GAE=∠CEF. ∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA. ∵GE<AC,∴四边形 AGEC 是等腰梯形. ∴AG=CE.∴△AEG≌△EFC. ∴AE=EF. (3)猜想:AE=kEF. 证法一:如图③,过点 E 作 EH∥AB,交 AC 于点 H,则△HEC∽△ABC.

13、 (1)m=2,(2)s=1 或 9 ? 12 2 14、 (1) P (t+4,0) (0 ? t ? 8);(2)当 t=1 时, PQ=2;当 t=5 时, PQ=8; (3) 当 0 ? t ? 3 时, s=4t ;
2

?

HE EC HE AB ? ? ?k .? AB BC EC BC AE EH ? ?k. FE EC

同(2)可证 ∠AHE=∠FCE,∠EAH=∠CFE. ∴△AEH∽△FEC.?

当 3 ? t ? 4 时,s=12t; 当 4 ? t ? 8 时,s=-6t+72;(4)

12 12 ? t ? 或 t=4 时,s=12。 11 5

15、(1)如图①,若 AB=BC=AC,则 AE 与 EF 之间的数量关系为_AE=EF_______. (2)猜想:(1)中得到的结论没有发生变化. 证法一:如图①,过点 E 作 EH∥AB 交 AC 于点 H,则 ∠BAC+∠1=180°,∠BAC=∠2. ∵AB=BC,∴∠BAC=∠3.∴∠2=∠3.∴EH=EC. ∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°. ∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF. ∵∠4=∠5,∠AEF=∠ACF,∴∠6=∠7.∴△AEH≌△FEC. ∴AE=EF.

即 AE=kEF. 证法二:如图④,过点 E 作 EG∥AC,交 AB 于点 G,则△GBE∽△ABC.

GB BE ? . AB BC GB AB ? ? ? k .∴GB=kBE,AB=kBC. BE BC AG AB ? GB kBC ? kBE ? ? ? ?k EC BC ? BE BC ? BE ?
同(2)可证 ∠GAE=∠CEF,∠AGE=∠ECF.

16、 (1)易证点 P、M 和两个切点组成的四边形是正方形,从而 PM=2,设 P 坐标为( t , t ) , 则 t 2 ? (t 2 ? 2)4 ? 22 , t ? 0, 3, ? 3 ,所以点 P 的坐标为(0,0) 、 ( 3,3 ) 、 ( ? 3,3 ) ; (2)若直线 l 平行与 y 轴,直线 l 即 x=2,此时点 M 与直线 l 的距离为 2;若直线 l 不平行与 y 轴,可求得直线 l 为 y ? 4 x ? 4 ,易求得点 M 与直线 l 的距离为

2

6 17 . 17

0) , D(2, 2) , 17、 (1)由已知,得 C (3,
?ADE ? 90° ? ?CDB ? ?BCD ,
第 25 题答图 证法二:如图②,过点 E 作 EG∥AC 交 AB 于点 G,则∠BAC+∠1=180°. ∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°,∠2=∠3. ∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF,∠B=∠4. ∵∠AEF=∠4,∴ ∠B=∠AEF.

? AE ? AD tan ?ADE ? 2 ? tan ?BCD ? 2 ?

1 ? 1. 2

1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? E (0,
设过点 E、D、C 的抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

将点 E 的坐标代入,得 c ? 1 . 将 c ? 1 和点 D、C 的坐标分别代入,得

①若 PG ? PC ,则 (t ? 1)2 ? 22 ? (3 ? t )2 ? 22 , 解得 t ? 2 .? P(2, 2) ,此时点 Q 与点 P 重合. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (9 分) 2) . · ? Q(2, ②若 PG ? GC ,则 (t ? 1)2 ? 2? ? 22 , 解得 t ? 1 ,? P(1 , 2) ,此时 GP ⊥ x 轴.

?4a ? 2b ? 1 ? 2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ? ?9a ? 3b ? 1 ? 0.
5 ? a?? ? ? 6 解这个方程组,得 ? ?b ? 13 ? 6 ?
故抛物线的解析式为 y ? ?

5 2 13 x ? x ? 1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) 6 6 6 , 5
y

GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1,

(2) EF ? 2GO 成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4 分) 点 M 在该抛物线上,且它的横坐标为

7 ? 点 Q 的纵坐标为 . 3

12 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (5 分) ? 点 M 的纵坐标为 . · 5
设 DM 的解析式为 y ? kx ? b1 (k ? 0) , 将点 D、M 的坐标分别代入,得 F A E x

? 7? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10 分) ? Q ?1, ? . · ? 3?
③若 PC ? GC ,则 (3 ? t )2 ? 22 ? 22 ,


D B

2) ,此时 PC ? GC ? 2 , △PCG 是等腰直角三角形. 解得 t ? 3 ,? P(3,
过点 Q 作 QH ⊥ x 轴于点 H ,

?2k ? b1 ? 2, ? ?6 12 k ? b1 ? . ? 5 ?5

1 ? ?k ? ? , 解得 ? 2 ? b ? 3 . ?1

O

G

K

C

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分) ? DM 的解析式为 y ? ? x ? 3 . · 2

则 QH ? GH ,设 QH ? h ,

y Q A E P (Q) D(P) Q B (P)

?Q(h ? 1,h) .
5 13 ?? (h ? 1) 2 ? (h ? 1) ? 1 ? h . 6 6 7 解得 h1 ? ,h2 ? ?2 (舍去) . 5

3) , EF ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (7 分) ? F (0,
过点 D 作 DK ⊥ OC 于点 K , 则 DA ? DK . ?ADK ? ?FDG ? 90°, ??FDA ? ?GDK . 又 ?FAD ? ?GKD ? 90°, ?△DAF ≌△DKG . ? KG ? AF ? 1 . ? GO ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8 分) ? EF ? 2GO . (3)

O

G

H C

x

? 12 7 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (12 分) ?Q ? , ? . · ? 5 5?
综上所述,存在三个满足条件的点 Q ,

, 0) , C (3, 0) ,则设 P(1, 2) . 点 P 在 AB 上, G (1

2) 或 Q ?1, ? 或 Q ? 即 Q(2,

? 7? ? 3?

? 12 7 ? ,?. ? 5 5?

? PG2 ? (t ?1)2 ? 22 , PC 2 ? (3 ? t )2 ? 22 , GC ? 2 .


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