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同角三角函数的基本关系导学案

时间:2016-04-19


第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.掌握同角的三种三角函数式之间的联系; 2. 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的 方法; 3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提 高分析、解决三角函数的思维能力; 4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形 ,提高三角恒等 变形的能力.

学习过程
一、复习导入 1. 如图, 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于 P(x,y),

那么由三角函数的定义可知:

sin ? ?

cos? ? ;
正弦线

tan? ?
正弦线

y
( 1 A(1,0) x ? O M, y ) T
P

2. 图中的三角函数线是: 正弦线

x

二、提出问题,自主学习 1.sinα,cosα,tanα 之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?

2.设 P(x,y)是角 α 的终边与单位圆的交点,x 和 y 之间有什么 关系?sinα 和 cosα 之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立 吗?

三、自主探究 同角三角函数的基本关系式: 1.平方关系: 2.商的关系: 同角三角函数的基本关系式的变形:

四、小组合作,探究学习

例 4、求证:

cos ? 1 ? sin ? ? . 1 ? sin ? cos ?

五、课堂小结

六、达标检测 1、sin22014+cos22014 等于( A、1 B、2 ) D、不能确定

C、2014

3 2、已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,则 tan ?的值为 ? 4 3 7 7 3 7 7 A、 D、 C、 ? B、 7 4 7 4

?

3、已知tan? ? 4, sin ? ? 2 cos? 求(1) 2 sin ? ? 5 cos? 1 (2) 2 sin ? ? 2 sin ? cos?
4、已知 t a n ? ? 3, ? ? ? ? 3 ? ,求c o s ? ?s i n ?的值. 2

3 5、已知 t a n ? ? ? ,求s i ? n ,c o ? s 的值. 4


一、复习导入 1.y ; x ;







y ( x ? 0) x

2. MP ; OM ; AT

二、提出问题,自主学习 1. tan ? ? sin ? ,对 α≠π/2+kπ,k∈Z 都成立. 2.x +y =1;sin2α+cos2α=1,对于任意角都成立. 三、自主探究 同角三角函数的基本关系式: 1.平方关系:sin2α+cos2α=1; 2.商的关系: tan ? ?
sin ? cos ?
2 2

cos ?

3.变形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α 等. 四、小组合作,探究学习 【例 1】

【例 2】 解 : 因为 sinα<0,sinα≠-1, 所以 α 为第三或第四象限的角 , 由 sin2α+cos2α=1,得:

? 3 ? 16 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? 5 ? 25
2 2

2


cos? ? ?



α













,



sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 16 4 tan? ? ? ?? ???? ? ? ?? cos? ? 5 ? ? 4 ? 4 ; 25 5 ,

如果 α 是第四象限角,则 , 【例 3】
tan? ? sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 ? ?? ??? ? ? ? cos? ? 5 ? ? 4 ? 4.

解:(1)方法1? tan ? ?

sin ? ? 2 ? sin ? ? 2 cos ? cos ? 2 cos ? ? cos ? 3 cos ? ? 原式 ? ? ?3 2 cos ? ? cos ? cos ? 方法2 ? cos? ? 0 ? 原式分子分母同除以 cos? sin ? cos? ? cos ? cos? ? tan? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 原式 ? sin ? cos? tan? ? 1 2 ? 1 ? cos? cos?
2 cos ? cos ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?

(2)方法1 : 将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ?

sin ? cos? cos2 ? 方法2 : 分子分母同除以 cos2 ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
? tan ? 2 2 ? ? tan 2 ? ? 1 2 2 - 1 3

2 2 cos2 ? ? ? 3 3 cos2 ?

(3)方法1:将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ?

2 cos ? cos ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?

sin ? cos? 2 ; 2 cos ? 方法2:分子分母同除以 cos ?原式 ? 2 sin ? cos2 ? ? cos2 ? cos2 ?
? tan ? 2 2 ? ? tan 2 ? ? 1 2 2 ? 1 5

2 2 cos2 ? ? ? 5 5 cos2 ?

【例 4】(略) 五、课堂小结 1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系. 2.同角三角函数关系的基本关系的应用. 3. 应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决 计算和证明问题. 六、达标检测 1.A 2.C 3.(1)
2 13

(2)

17 24

4.

3 -1 2

5. 当?为第二象限角时,sin ? ? 3 , cos ? ? ? 4 5 5 3 4 当?为第四象限角时,sin ? ? ? , cos ? ? 5 5


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