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备战2013高考真题测试:平面向量文科教师版


平面向量强化测试
(时间 45 分钟,总分 100 分)
一、选择题(每题 6 分,共 9 题,52 分,第 5,7 题 5 分, ) ? ? ? ? ? ? 1 .设 x ? R ,向量 a ? ? x,1? , b ? ?1, ?2? ,且 a ? b ,则 a ? b ? ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10 )

【答案

】B ? ? ? ? 【解析】 a ? b ? a ? b ? 0 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2 ,
? ? | a ? b |?| (2,1) ? (1, ?2) |? 32 ? (?1) 2 ? 10

【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算 及向量垂直的充要条件,本题 属于基础题,只要计算正确即可得到全分. ? ? 2 .设 a, b 是两个非零向量. ( )

? ? ? ? ? ? A.若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b ? ? ? ? ? ? B.若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b ? ? ? ? ? ? C.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 a ? ? b ? ? ? ? ? ? D.若存在实数 ? ,使得 a ? ? b ,则 a ? b ? a ? b
【答案】C 【命题意 图】 本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含 义,向量的垂直关系. ? ? ? ? ? ? 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,? a ? b ? a ? b , a, b 共线,即存在 实

? ? ? ? ? ? ? ? 数 ? ,使得 a ? ? b .如选项 A : a ? b ? a ? b 时, a, b 可为异向的共线向量;选 ? ? ? ? ? ? 项 B:若 a ? b , 由正方形得 a ? b ? a ? b 不成立;选项 D:若存在实数 ? ,使得 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b , a, b 可为同向的共线向量,此时显然 a ? b ? a ? b 不成立.
3 .在 ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 1 ,设点 P, Q 满足
??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AP ? ? AB, AQ ? (1? ?) AC, ? ? R .若 BQ ? CP ? ?2 ,则 ? ?





4 D. 2 3 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? c 【解析】如图,设 AB ? b, AC ? c ,则 b ? 1, c ? 2, b? ? 0 ,又

A.

1 3

B.

2 3

C.

??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? ? ? ??? ??? ??? CP BQ ? BA ? AQ ? ?b ? ?1 ? ? ? c , CP ? CA ? AP ? ?c ? ?b ,由 BQ? ? ?2 得
? ? ? ? ?2 ?2 2 ??b ? ?1 ? ? ? c ?? ?c ? ?b ? ? ? ? 1? c ? ? b ? 4 ? ? ? 1? ? ? ? ?2 ,即 3? ? 2, ? ? ,选 B. ? ? 3

?

?

? ? ? ? a b 4 .设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中, 使 ? ? ? 成立的充分条件是 |a| |b|
( )

? ? ? ? A. | a |?| b | 且 a // b
【答案】D

? ? B. a ? ?b

? ? C. a // b

? ? D. a ? 2b

? ? ? ? a b 【解析】若使 ? ? ? 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 D. a b

【点评】本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时 需注意易考易错零向量,其模为 0 且方向任意. ? ? ? ? 5 .已知向量 a ? ?1, ?1? , b ? ? 2, x ? .若 a ? b ? 1,则 x ? ( ) A. ?1 B. ?
1 2

C.

1 2

D. 1

【答案】D ?? 【解析】 a? ? 2 ? x ? 1,? x ? 1 ,故选 D b 【点评】本题主 要考查向量的数量积,属于容易题. ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6 .对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? ?? ?? ,若平面向量 a, b 满足 ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? ? ?? a ? b ? 0, a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? n ? Z ? 中,则
? 4?
?2 ?

? ? a ?b ?(
A.
1 2

) B.1 C.
3 2

D.

5 2

【答案】C 【解析】 a ? b ? :
b a ?b a k k kk ? cos? ? 1 , b ? a ? cos? ? 2 ,两式相乘,可得 cos2 ? ? 1 2 . b?b b a 2 2 4

kk 1 ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,所以 k1 、 k 2 都是正整数,于是 ? cos2 ? ? 1 2 ? 1 ,即 2 ? k1k2 ? 4 , 4
? ?

2

4

所以 k1k2 ? 3 .而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3 , k2 ? 1 ,于是 a ? b ? . 7 .若向量 AB ? ?1,2? , BC ? ? 3,4? ,则 AC ? A. ? 4,6 ? 【答案】A 【解析】: AC ? AB ? BC ? ? 4,6? .
??? ? ??? ??? ? ?
??? ? ??? ?
????

3 2

( D. ? 2, 2 ?



B. ? ?4, ?6?

C. ? ?2, ?2?

? ? ? ? 8 .已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是
A. x ? ?
1 2

( D. x ? 0



B. x ? ?1

C. x ? 5

【解析】有向 量垂直的充要条件得 2 ? x ?1? ? 2 ? 0 所以 x ? 0 .D 正确 【答案】D 【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质. ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 9 . ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则
???? AD ?





1? 1? 2? 2? 3? 3? 4? 4? A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 3 3 3 3 5 5 5 5 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运 用,结合运用特 殊直角三 角形求解点 D 的位置的运用.

? ? 2 5 【解析】由 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得 CD ? , 5
所以 AD ?
???? 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ? 4? 4? 4 5 ,故 AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5 5

二、填空题(每题 6 分,共 8 题,48 分)

??? ??? ? ? 10.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3, BC ? 10 ,则 AB ? AC ? _____
【答 案】-16 【命题意图】本题主要考查了平面向量在三 角形中的综合应用. 【解析】由余弦定理

AB2 ? AM 2 ? BM 2 ? 2 AM ? BM cos ?AMB ? 52 ? 32 ? 2 ? 5 ? 3cos ?AMB , AC 2 ? AM 2 ? CM 2 ? 2 AM ? CM cos ?AMC ? 32 ? 52 ? 2 ? 5 ? 3cos ?AMC ,

?AMB ? ?AMC ? 1800 ,两式子相加为

AC 2 ? AB2 ? 2 AM 2 ? 2CM 2 ? 2 ? (32 ? 52 ) ? 68 ,
cos ?BAC ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AC 2 ? 102 68 ? 100 ? ? , 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? AC
68 ? 100 ? ?16 . 2 ? AB ? AC

??? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? AB ? AC ? AB AC cos ?BAC ? AB AC ?

11. 在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

, 边 AB, AD 的长分别为 2、1. 若 M , N 分别 ? ? ? ?? ? ? ?? ???? ???? ? BM CN 是 边 B C, C D 的 点 , 且 满 足 ? ? ??? ? ? ??则 AM ? AN 的 取 值 范 围 是 上 , BC CD 2

?

_________ . 【解析】 如图建系,则 A? 0,0? , B ? 2,0? , C ? 2,1? , D ? 0,1? ,
???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | CN | 设 ??? ? ??? ? t ? ?0,1? ,则 | BM |? t , | CN |? 2t , ? ? | BC | | CD |
y D 1 A (O) N C M B
2

x

所以 M ? 2, t ? , N ? 2 ? 2t,1? ,

???? ???? ? 故 AM ? AN ? 4 ? 4t ? t ? 4 ? 3t ? f ? t ? , 因为 t ??0,1? ,所以 f ? x ? 递减 ,
???? ???? ? 所以 AM ? AN

?

?

max

???? ???? ? ? f ? 0 ? ? 4, AM ? AN

?

?

min

? f ?1? ? 1

? ? ? ? ? ? ? 12.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题. ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? 【解析 】∵ 2a ? b ? 10 ,平方得 4a ? 4a? b ? 10 ,即 | b |2 ?2 2 | b | ?6 ? 0 , b+

? 解得 b ? 3 2 或 ? 2 (舍)
?? ? ?? ? 13.设单位向量 m ? ( x, y), b ? (2, ?1) 。若 m ? b ,则 | x ? 2 y |? _______ ________。
【答案】 5

?? 【解析】由已知可得 2 x ? y ? 0 ,又因为 m 为单位向量所以 x2 ? y 2 ? 1,联立解
? ?x ? ? 得? ?y ? ? ? ? 5 5 ?x ? ? 5 或? 5 代入所求即可. ? 2 5 ? 2 5 ?y ? ? 5 5 ?

【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.

??? ??? ? ? 14.如图 4,在平行四边形 ABCD 中 , AP ? BD ,垂足为 P , AP ? 3 且 AP?AC =
_____.
A P B C D

【答案】18

? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ? ? 【解析】设 AC ? BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP?AC = AP? 2( AB ? BO) ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? 2 AP?AB ? 2 AP?BO ? 2 AP?AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查 数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. ? ? 15.已知向量 a ? (1,0), b ? (1,1) ,则

? ? (Ⅰ)与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表示为____________; ? ? ? (Ⅱ)向量 b ? 3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________.
? 3 10 10 ? 2 5 【答案】(Ⅰ) ? ? 10 , 10 ? ;(Ⅱ) ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】 (Ⅰ)由 a = ?1,0 ? , b = ?1,1? ,得 2a ? b = ? 3,1? .设与 2a ? b 同向的单位向量为

? 3 10 , ? 2 2 ?x ? ? ? x ? y ? 1, ? 10 故 c = ? 3 10 , 10 ? .即 且 x, y ? 0 ,解得 ? c = ? x, y ? ,则 ? ? ? ? 10 10 ? ?3 y ? x ? 0, ? ? ? y ? 10 . ? 10 ?

? ? ? 3 10 10 ? 与 2a ? b 同向的单位向量的坐标为 ? ? 10 , 10 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)由 a = ?1,0 ? , b = ?1,1? ,得 b ? 3a = ? ?2,1? .设向量 b ? 3a 与向量 a 的夹角为 ? ? ? b ? 3a ? ? ?2,1?? 1,0 ? a ? ??2 5 . ? ,则 cos ? ? ? ? ? ? 5 5 ?1 b ? 3a a

?

?

【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等. 与某向量同向的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有 2 个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向

量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.

???? ??? ? 16.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为
________. 【答案】 1 ;
??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ? 【解 析】 根据平面向量的点乘公式 DE ? CB ? DE ? DA ?| DE | ? | DA | cos? ,可知

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? | DE | cos? ?| DA | ,因此 DE ? CB ?| DA |2 ? 1 ;
???? ???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? DE ? DC ?| DE | ? | DC | cos ? ?| DE | ? cos ? ,而 | DE | cos ? 就是向量 DE 在 DC

???? ???? 边上的射影,要想让 DE ? DC 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影
???? 为 | DC | ,所以长度为 1

【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解, 其中包含动点问题,考查学生最值的求法. ? ? ? ? ? ? ? 17.设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b ,则 a ? _____ .
? ? ? ? ? ? ? 1 【解析】 a ? 2 a ? c ? (3,3m),(a ? c)?b ? 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ? m ? ? ? a ? 2 2


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