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数学:第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教A版选修1-1)


第三章
一、选择题 1.

导数及其应用 单元测试


函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( A. 极大值 5 ,极小值 ?27 B. 极大值 5 ,极小值 ?11 C. 极大值 5 ,无极小值 D. 极小值 ?27 ,无极大值

2. 若 f 

9; ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h



A. C.

?3 ?9

B. D.

?6
?12


3. 曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A. C. 4.

(1, 0 ) ( 1 , 0和 ) (?1, ?4)

B. D.

(2, 8) ( 2 , 8和 ) (?1, ?4)

f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则 f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. )

f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x )? 0
2

B.

f ( x) ? g ( x) 为常数函数 f ( x) ? g ( x) 为常数函数


C.

D.

5. 函数 y ? 4 x ?

1 单调递增区间是( x
B.

A.

(0,??)

(??,1)
) C.

C.

1 ( ,?? ) 2

D.

(1,??)

6. 函数 y ? A.

ln x 的最大值为( x
B.

e ?1

e

e2

D.

10 3

二、填空题 1. 函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,
3

?
2

] 上的最大值是

.

2. 函数 f ( x) ? x ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________. 3. 函数 y ? x ? x 的单调增区间为
2 3

,单调减区间为___________________.
-1-

4. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是 5. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 , 在 x ? 1 时 有极值 10 ,那么 a , b 的值分别为________. 三、解答题 1. 已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值.

.

2. 如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

3.

已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间.

4. 平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间.

参考答案
-2-

[综合训练 B 组] 一、选择题 1. C

y' ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y' ? 0
当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ; x 取不到 3 ,无极小值

2. D 3. C

lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ? 0 h 4h

' 2 ' 2 设切点为 P 0 (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 ,

把 a ? ?1 , 代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? ?4 ; 把 a ? 1, 代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? 0 , 所以 P 0 (1, 0) 和 (?1, ?4) 4. B

f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意
令 y ? 8x ?
'

5. C

1 8 x3 ? 1 1 ? ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 2 2 x x 2

6.

A

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e ,当 x ? e 时, y' ? 0 ;当 x ? e 时, 令y ? 2 2 x x
'

1 1 y' ? 0 , y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e e
二、填空题 1. 2. 3. 4.

y' ? 1 ? 2 s i n x ? 0 x , ? ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax ? ? 3 6 6 6 2 6 3 3 ? f ' ( x)? 3x2 ? 4 , f' ( 1 ?) 7 f , ?( 1 ) y? 1 0 , ? 1x 0? 7 y (时 ? 1) ,x ? ? 0 , 7 7 2 2 2 ( 0 , ) ( ??, 0), ( , ??) y ' ? ?3x 2 ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ? 3 3 3
2 a ? 0 ,且 b ? 3a c

?

? 3

?

? ?

?

f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立,
则?

?a ? 0
2 ?? ? 4b ? 12ac ? 0

, a ? 0, 且b2 ? 3ac
2 ? a ? b ? 3
2 0 ,f ( ? 1 )a ? a ? b ? ? 1

5.

2 4 ,? 1 1 f ' ( x)? 3x ? 2a x ? b , ' f (1 ?)

10

?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ,? ,或 ? ? 2 b ? 3 b ? ? 11 a ? a ? b ? 9 ? ? ?
三、解答题 1. 解: y ? 2x, k1 ? y |x? x0 ? 2x0 ; y ? 3x , k2 ? y |x?x0 ? 3x0
' ' ' 2 ' 2

-3-

k1k2 ? ?1, 6 x03 ? ?1, x0 ? ?

3

36 . 6

2. 解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ? 10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
3. 解: (1) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经 过点 (1, ?1) 得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2
' 3

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10

单调递增区间为 (?

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10 1 3 ) 得 a b ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

4. 解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

[a ? (t 2 ? 3)b ] (?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta b ? k (t 2 ? 3)a b ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? 1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4

所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间 为 (?1,1) .

-4-


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