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广东省13大市2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编11:立体几何


广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是 真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? ,则

m // n 答案:C 2、(东莞市 2013 届高三上学期期末)设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平 面,则 m ? a 的—个充分条件是 A.m//n, n // ? , ? ? ? C.m//n, n ? ? , B., n // ? , ? // ? m D. m ? n , n ? ? , ? ? ? D.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ?

? // ?

答案:B 3、(佛山市 2013 届高三上学期期末)一个直棱柱被一个平面截 去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D.

23 2

答案:C 4 、 ( 广 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的 四个侧面中面积最大的是 A. 3 C. 6 答案:C B. 2 5 D. 8

3

3

4 正视图 2 2

2 侧视图

分 析 : 三 棱 锥 如 图 所 示 ,


俯视图

2

图1





5、(江门市 2013 届高三上学期期末)已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何 体的体积 V ? A. 12? B. 16? C. 18? D. 64?

答案:B 6、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方 形,且其体积为

1 ,则该几何体的俯视图可以是( 2

)

答案:C 7、(汕头市 2013 届高三上学期期末)如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是 底面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则 它的侧视图的周长等于( ). A.17cm B. 119 ? 5cm

C.16cm D.14cm 答案:D 8、(增城市 2013 届高三上学期期末)给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 答案:B 9、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积为 3,则正视图中的 x=____ 答案:3

10、(肇庆市 2013 届高三上学期期末)已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标 出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ). A. 8cm
3

B. 12cm

3

C. 24cm

3

D. 72cm

3

答案:B 解析: 三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥, 底面是底边长为 6 高为 4 的等腰三 角形,三棱锥的高为 3,所以,这个几何体的体积 V ?

1 1 ? ? 6 ? 4 ? 3 ? 12 3 2

11、 (中山市 2013 届高三上学期期末) 如图, 在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水, 将容器底面一边 BC 固定于地面上, 再将容器倾斜, 随着倾斜度的不同, 有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;
E A1 B1 H F A D C G D1

C1

②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) C.②④

B

D.①③④

答案:D 12、(珠海市 2013 届高三上学期期末)已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m C.若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m

答案:D 13、(潮州市 2013 届高三上学期期末)若一个正三 棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的体积为_______. 答案: 8 3 由左视图知正三棱柱的高 h ? 2 , 设正三棱柱的底面 边长 a ,则

3a ?2 3, 2
1 ? 4 ? 2 3 ? 4 3 ,故 V ? Sh ? 4 3 ? 2 ? 8 3 . 2

故 a ? 4 ,底面积 S ? 二、解答题

1 、 ( 潮 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 梯 形 ABCD 中 , AD ∥ BC ,

?ABC ? ?BAD ?

?
2



AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF ∥ BC , AE ? x .
沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的 中点,以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x) . (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)求 f ( x) 的最大值; (3)当 f ( x) 取得最大值时,求异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值.

(法一)(1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH , ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH , ∵ EH ? AD ?

1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2

∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ? DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . (2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE // DH , ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱 锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x ,

1 1 BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x 3 3 3 3 3 2 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? . 3 3 3 8 ∴当 x ? 2 时, f ( x) 有最大值为 . 3
又 S ?BCF ? (3)解:由(2)知当 f ( x) 取得最大值时 AE ? 2 ,故 BE ? 2 , 由(2)知 DH // AE ,故 ?BDH 是异面直线 AE 与 BD 所成的角. 在 Rt ?BEH 中 BH ?

BE 2 ? EH 2 ? 4 ? AD 2 ? 2 2 ,

由 DH ? 平面 EBCF , BH ? 平面 EBCF ,故 DH ? BH 在 Rt ?BDH 中

BD ? BH 2 ? DH 2 ? 8 ? AE 2 ? 2 3 ,
∴ cos ?BDH ?

DH 2 3 . ? ? BD 2 3 3
3 . 3

∴异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值为

法二: (1) 证明: ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF , 交线 EF ,AE ? 平面 AEFD ,AE ? EF , 故 AE ⊥平面 EBCF ,又 EF 、 BE ? 平面 EBCF , ∴ AE ⊥ EF , AE ⊥ BE ,又 BE ⊥ EF ,取 EB 、 EF 、 EA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间坐标系 E ? xyz ,如图所示. 当 x ? 2 时, AE ? 2 , BE ? 2 ,又 AD ? 2 , BG ?

1 BC ? 2 . 2

∴ E ( 0 , 0 , 0 ) , A( 0 , 0 , 2 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) , G ( 2 , 2 , 0 ) , D ( 0 , 2 , 2 ) . ∴ BD ? ( ? 2 , 2 , 2 ) , EG ? ( 2 , 2 , 0 ) ,

??? ?

??? ?

∴ BD ? EG ? ?4 ? 4 ? 0 . ∴ BD ? EG ,即 BD ? EG ; (2)解:同法一; (3)解:异面直线 AE 与 BD 所成的角 ? 等于 ? AE , BD ? 或其补角.

??? ???? ? ??? ?

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? AE ? BD ?4 3 ? ??? ? ? ?? 又 AE ? ( 0 , 0 , ? 2 ) , 故 cos ? AE , BD ? ? ??? 3 | AE | ? | BD | 2 4 ? 4 ? 4
∴ cos ? ?

3 3 ,故异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值为 . 3 3

2、(东莞市 2013 届高三上学期期末)如图,几何体 SABC 的底面是由以 AC 为直径的半圆 O 与△ABC 组成的平面图形, SO ? 平面 ABC, AB ? BC ,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线 SB 与平面 SAC 所威角的正弦值; (2)求几何体 SABC 的正视图中 ?S1 A1 B1 的面积; (3)试探究在圆弧 AC 上是否存在一点 P,使得 AP ? SB ,若存在,说明点 P 的位置并 证明;若不存在,说明理由.

解:(1)过点 B 作 BH ? AC 于点 H ,连接 SH . 因为 SO ? 平面ABC , BH ? 平面ABC , 所

????1 分
S

以 ????2 分 H
A H O B C

B

?

.

S

又因为 BH ? AC , SO ? AC ? O , 所以 BH ? 平面SAC , 即 ?BSH 就是直线 SB 与平面 SAC 所成角.

????3 分

在 ?ABC 中,因为 AB ? BC , AC ? 4 , BC ? 2 , 所以 ?ACB ? 60? , BH ? 2sin 60? ? 3 . 在 Rt ?BSH 中,因为 SB ? 4 , 所以 sin ?BSH ? ????4 分

BH 3 ? , SB 4
3 . 4
????5 分

即直线 SB 与平面 SAC 所成角的正弦值为

(2)由(1)知,几何体 SABC 的正视图中, ?S1 A1 B1 的边 A1 B1 ? AH ? AC ? HC , 而 HC ? 2 cos60 ? 1 ,所以 A1 B1 ? 3 .
o

????6 分

又 ?S1 A1 B1 的 边 A1B1 上 的 高 等 于 几 何 体 SABC 中 SO 的 长 , 而

SA ? SC ? AC ? 4 ,所以 SO ? 2 3 ,
所以 S?S1A1B1 ? (3)存在. 证明如下: 如图,连接 BO 并延长交弧 AC 于点 M ,

????7 分 ????8 分 ????9 分
S

1 ? 3? 2 3 ? 3 3 . 2

在底面内,过点 A 作 AP ? BM 交弧 AC 于点 P . ???10 分 所以 SO ? 平面ABC . 而 AP ? 平面ABC ,所以 AP ? SO . 又因为 AP ? BM , SO ? BM ? O , 所以 AP ? 平面SOB ,从而 AP ? SB . ????12 分 ????11 分
A

M O

P C B

又因为 AO ? OC ? BC ? 2 ,所以有 ?AOM ? ?BOC ? ?ACB ? 60? ,所以

?AOM ? ?POM ? 60? ,
?AOP ? 120? ,
????13 分 ????14 分

即点 P 位于弧 AC 的三等分的位置,且 ?AOP ? 120? .

3、(佛山市 2013 届高三上学期期末) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, 且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3
P

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

A

D C

O

B

第 18 题图

解析:(Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

P

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , C

A

D O

B

又 平 面 , PA ? PAB ∴ PA ? CD . -----------------6 分 (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分.) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 3A D 由 D ? B

BC , 3AC ? BC 得, DB ? 3 ,AB ? 4 , ? 2 3 ,

∴ ∴

BD BC 3 ? ? ,则 ?BDC ∽ ?BCA , BC AB 2

?BCA ? ?BDC






C ?

D

A

-----------------3 分 O

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC ,

∴ -----------------5 分

PD ? CD



由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 平 PA ? ∴ PA ? CD . 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30? , 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?



PAB
-----------------6 分





CD2 ? DB2 ? BC 2






C ?

D

A

-----------------3O 分

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 平 面 , PA ? PAB ∴ PA ? CD . -----------------6 分 ( Ⅱ ) 法 1 : ( 综 合 法 ) 过 点 D 作 DE ? PB , 垂 足 为 E , 连 接 -----------------7 分 CE . P 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴ PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴ CE ? PB ,-----------------9 分 ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , A

PD ? CD



E

D

O

B

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) C ∴ PB ? 3 2 ,则 DE ?

PD ? DB 9 3 2 ? ? , PB 2 3 2

∴在 Rt?CDE 中, tan ?DEC ?

CD 3 6 ? ? , DE 3 2 3 2



cos ?DEC ?

15 5











C?

P B 的 A余 ?







15 . 5

-----------------14 分

法 2:(坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系. -----------------8 分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分.) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴ D(0,0,0) , C ( 3, 0, 0) , B(0,3,0) , P(0,0,3) , ∴ PC ? ( 3, 0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3, 0, 0) , 由

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?


CD ? 平 面 ??? ? CD ? (? 3, 0, 0) .

PAB







PAB















-----------------10 分

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

z P

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1, ? ? ??? ?3 y ? 3 z ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ?
∴ n ? ( 3,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? ?? 则 cos ? ? ,-----------------13 分 5 | n | ? | CD | 5? 3
∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

A

D O C x B y

15 .-----------------14 分 5

4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正 方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.
N P

(1)证法 1:取

的中点

,连接



A

B

D

M 图4

C

∵点



的中点,

∴ ∵点 是 的中点,底面

.

…………… 1 分 是正方形,

∴ ∴ ∴四边形 ∴ . .

.

…………… 2 分

是平行四边形. …………… 3 分

∵ ∴ 证法 2:连接 ∵点 是 面 .

平面



平面



…………… 4 分 的延长线于点 ,连接 ,

并延长交 的中点,

∴ ∴点 ∵点 ∴ 是 是 的中点. 的中点, .

, …………… 1 分 …………… 2 分

…………… 3 分

∵ ∴ 证法 3: 取 ∵点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴

面 面 的中点 是

, . ,连接

平面

, …………… 4 分 ,

的中点,点 , . , . , .



的中点,

面 面 面 面

平面

, …………… 1 分

平面

, …………… 2 分

∵ 面 , ∴平面 ∵ ∴ (2)解法 1:∵ ∴ ∵ ∴ 面 面 . . , 平面 面 . , 面 , …………… 4 分 面 , . …………… 3 分



平面





…………… 5 分

…………… 6 分

过 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴



,垂足为 , 面 面 . 是二面角 中, , . , 面

,连接 ,

, 面 , …………… 7 分

…………… 8 分 的平面角. ,得 …………… 10 分 …………… 9 分 ,

在 Rt△

在 Rt△

中,

,得



.

…………… 11 分

在 Rt△

中,



…………… 12 分

.

…………… 13 分

∴二面角 解法 2:∵ ∴ 在 Rt△ 面 中, , .

的余弦值为 面 ,

.

…………… 14 分

,

,得

, …………… 5 分

以点

为原点,

所在直线为 轴, ,

所在直线为

轴,

所在直线为 轴, …………… 6 分

建立空间直角坐标系



.

∴ 设平面 由

, , 的法向量为 , ,

. …………… 8 分 ,





,得



.

∴ 又

是平面 是平面

的一个法向量. 的一个法向量,

…………… 11 分 …………… 12 分

.

…………… 13 分

∴二面角

的余弦值为

.

…………… 14 分

5、 (惠州市2013届高三上学期期末) 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AD ? AA1 ? 1 ,

AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明: D1 E ? A1 D ;
(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? ? 4
D1 C1

A1

B1

(1)证明:如图,连接 D1 B ,依题意有:在长方形 A1 ADD1 中, AD ? AA1 ? 1 ,

四边形A1 ADD1 ?

A1D ? AD1 ? ? ? A1D ? 平面AD1B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E .??? 4 分 ? D1 E ? 平面AD1B ? AD ? AB ? A?
AB 2 ? BC 2 ? 5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,
A
1 1

(2)解: AC ?

D
1

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,

C
1

1? 2 ? 5 2 cos ?AEC ? ?? , 2 2 ? 1? 2

B

2 ? sin ?AEC ? . 2 450 D 1 2 1 ? ,????? 6 分 ∴ S?AEC ? ?1? 2 ? F A 2 2 2 B E 1 1 1 VD1 ? AEC ? ?1? ? . AD1 ? AA12 ? DA2 ? 2 , D1C ? D1C12 ? CC12 ? 5 , 3 2 6 1 5? 1 3 10 3 2 ? 3 10 .∴ S ? 2? 5? ? . ? sin ?D1 AC ? ?A1DC ? 2 10 2 10 5 1 3 1 1 设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,∴ VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? d ? ? ? d ? . 3 3 2 6 1 ∴点 E 到平面 ACD1 的距离为 . ??????????????????? 8 分 3 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 D1 F .由三垂线定理可知, ?DFD1 为二面
角 D1 ? EC ? D 的平面角. , D1 D ? 1 ? DF ? 1 . ????????? 10 分 4 2 DF 1 ? ? sin ?DCF ? ? ? ?DCF ? ,∴ ?BCF ? .???????? 12 分 DC 2 6 3 ? BE ∴ tan ? ? BE ? 3 , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 . 3 BC ? 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的平面角为 .??????????? 14 分 4 ∴ ?DFD1 ? , ?D1 DF ?

C

?

?

6、(江门市 2013 届高三上学期期末)如图 4,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

ABCD 是 直 角 梯 形 , E 为 BC 的 中 点 , P ?BAD ? ?ADC ? 90 0 , AB ? 3 , CD ? 1 , PA ? AD ? 2 . ⑴求证: DE ? 平面 PAC ; ⑵求 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值.

N

D
A

C

M
图6 图4

B

证明与求解:⑴因为 PA ? ABCD , DE ? ABCD ,所以 PA ? DE ??1 分, 取 AD 的中点 F ,连接 EF ,则 EF 是梯形 ABCD的中位线,所以 EF // AB 且

AB ? CD ? 2 ??3 分,在 Rt?ADC 和 Rt?DEF 中, ?EFD ? ?ADC ? 90 0 , 2 EF AD ? ? 2 ,所以 ?EFD ∽ ?ADC ??5 分, ?FED ? ?DAC ,所以 AC ? DE DF DC ??6 分,因为 PA ? AC ? A ,所以 DE ? 平面 PAC ??7 分. ⑵(方法一)由⑴知平面 PDE ? 平面 PAC ??8 分, 设 DE ? AC ? G ,连接 PG ,在 Rt?PAG 中作 AH ? PG ,垂足为 H ,则 AH ? 平面 PDE ??10 分,所以 ?APH 是 PA 与平面 PDE 所成的角??11 分, CD 1 由 ⑴ 知 , 在 Rt?ADG 中 , AD ? 2 , tan ?CAD ? , 所 以 ? AD 2 4 6 ??12 分,因为 PA ? ABCD ,所以 PG ? ??13 分, AG ? AD ? c o ?C A D s ? 5 5 AG 2 sin ?APH ? sin ?APG ? ? ,即为 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值??14 分. PG 3 (方法二)依题意,以 A 为原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z EF ?
轴建立空间直角坐标系??8 分,则直线 PA 的方向向量为 AP ? (0 , 0 , 1) ??9 分, 依题意,P(0 , 0 , 2) 、D(2 , 0 , 0) 、B(0 , 3 , 0) 、 (2 , 1 , 0) 、E (1 , 2 , 0) ?? C 10 分,从而 DP ? (?2 , 0 , 2) , DE ? (?1 , 2 , 0) ??11 分,设平面 PDE 的一个法向量 为 n ? (a , b , c) ,则 ?

?n ? DP ? ?2a ? 2c ? 0 ? ? n ? DE ? ?a ? 2b ? 0 ?

??12 分,所以 a ? c ? 2b ,可选取平面

PDE 的一个法向量为 n ? (2 , 1 , 2) ??13 分,所以 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值为

cos n , AP ?

n ? AP n ? AP

?

2 ??14 分. 3

7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末) 如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形, 平面 PDCE ^ 平面 ABCD , , ?BAD ? ?ADC ? 90?

1 AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a . 2
(1)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. (1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点


∴ MN // AC ??????2 ??????4

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE 分

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 DA, DC, DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0, 0, 2a), B(a, a, 0), C (0, 2a, 0)


??? ? ??? ? PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a, 0) ???6

设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1, 0) ???????????7 分 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有

??

??

?? ?

?? ??? ? ? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0 ? ? ? ??? ??? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a,0) ? 0 ?
即: ?

? ax ? ay ? 2a ? 0 ? ? ? ax ? ay ? 0 ?

? 2 ?x ? ?? ? 2 2 ? 2 , ,1) ????????????????12 解得: ? ,所以 n2 ? ( 2 2 2 ?y ? ? ? 2


2 ?? ?? ? n ? n2 1 ∴ cos ? ? ??1 ?? ? 2 ? ? n1 ? n2 1? 2 2


????????????????????13

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°????????????14 分 解法二: 延长 CB、 相交于 G, DA 连接 PG, 过点 D 作 DH⊥PG , 垂足为 H,连结 HC ????????6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ??????8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平面 角 ??????????????????10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD = 分 在 Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

2a 可以计算 DH ?

2 3a ?12 3

CD 2a ? ? 3 ????????13 分 DH 2 3a 3

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°???????????14 分 8、 AB (汕头市 2013 届高三上学期期末) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点,向量 且 (I):EF//平面 PAD. (II)若 PH= 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB, (1)求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值. (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角 的余弦值. ,点 H 在 AD 上,

(Ⅰ) 取 PA 的中点 Q,连结 EQ、DQ,
则? E 是 PB 的中点,

2 ???? 1 ??? ? 1 又 ? DF ? AB ? DF / / AB, 且DF= AB 2 2

? EQ / / AB, 且EQ= 1 AB

? EQ // DF , 且EQ ? DF ,? 四边形 EQDF 为平行四边形, ? EF / /QD , 又 ? EF ? 平面PAD, 且DQ ? 平面PAD ,
EF / / 平面PAD ????????????(3 分)

???? ???? ???? ???? (Ⅱ)⑴解法一:证明: ? PH ? AD ? 0 ,? PH ? AD
又? AB⊥平面 PAD, PH ? 平面 PAD, 又? PH ? AD=H,

? PH⊥AD,

? AB⊥PH,

? PH⊥平面 ABCD; ---------------------------------(4 分)

连结 AE ? PD ? AD, Q为PA的中点 ? DQ ? PA 又? AB ? 平面PAD 且 DQ ? 平面PAD ? AB ? DQ
? AB ? PA ? A

? DQ ? 平面PAB ????????????(5 分)
? EF ? 平面PAB

由(Ⅰ)知 EF / / DQ

? AE为AF 在平面PAB上的射影

??FAE为直线AF 与平面PAB所成的角 ????????????(7 分)
? PD ? AD ? 2

PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD2 ? PH 2 ? 2 2 ?

? 3?

2

?1

? H 为AD中点 ,

又 PH ? AD ? PA ? PD ? AD ? 2 ? EF ? DQ ? PH ? 3
? AB ? AD

? AB ? 平面PAD

DF / / AB ? DF ? AD

在 Rt ?ADF中 AF ? AD 2 ? DF 2 ? 4 ? 1 ? 5 又? EF ? 平面PAB ? EF ? AE
? 在Rt ?AEF中 sin ?FAE ?

EF 3 15 ? ? AF 5 5
15 15 ????????????(9 分) 55

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

(2)延长 DA,CB 交于点 M,连接 PM,则 PM 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的交 线。????????????(10 分) 1 因为 AB // CD, AB ? CD ,所以点 A,B 分别为 DM,CM 的中点,所以 DM=4, 2 在 RT?PHM 中 : PM 2 ? PH 2 ? MH 2 , ? PM ? 2 3 ? PD 2 ? PM 2 ? DM 2
? PM ? PD ,????????????(11 分)

又因为 CD ? 平面PMD ,所以 CP ? PM

?CPD 即为所求的二面角的平面角。??????????(13 分)

所以在 RT?PCD 中: cos ?CPD ?

PD 2 5 ??????????(14 分) ? ? PC 2 5 5

解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 PH ? 平面ABCD 又? AB ? 平面PAD 在 平 面 ABCD 内 过 点 H 作HG / / AB ? HG ? 平面PAD , 以 H 为 原 点 , 以

??? ???? ? ? ???? HA.HG.HP的方向分别为x轴、y轴、z轴 正方向建立空间直角坐标系 H ? xyz
? PD ? AD ? 2 PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD2 ? PH 2 ? 2 2 ?

? 3?

2

?1

0, ? H 为AD中点 ? A ?1, 0 ? P O, O, 3

?1 3? B ?1, 0 ? E ? ,1, ? F ? ?11,? 2, ,0 ?2 2 ? ? ? ??? ? ? ? AF ? ? ?2,0 ? 设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? 1,

?

?

??? ? ? PA ? 1, 0, ? 3

?

?

??? ? , PB ? 1, 2, ? 3

?

?
得 y=0 令 z ? 3 得 x=3

? ??? ? ? ??? ? ? x ? 3z ? 0 ?n ? PA ?n ? PA ? 0 ? ? ? 由 ? ? ??? 得 ? ? ??? ?? ? ? ?n ? PB ?n ? PB ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? ? ? ? n ? 3, 0, 3 ????????????11 分

?

?

设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ?
??? ? ? ??? ? ? AF ?n 则 sin ? ? cos AF , n ? ??? ? ? ? AF n ?2 ? 3 ? 3 15 ? 5 5? 3

? ?2 ?

2

? 12 ? 32 ?

? 3?

2

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

15 ????????????(9 分 ) 5

(2) 显然向量 AB 为平面 PAD 的一个法向量,且 AB ? (0,2,0)

设平面 PBC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
??? ? PB ? 1, 2, ? 3 , BC ? (?2,2,0) ,

?

?

由 PB ? n1 ? 0, 得到 x1 ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0 由 Bc ? n1 ? 0, 得到 ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ?

3

所以 n1 ? (1,1, 3 ) ,

??? ?? ? ??? ?? ? AB?n1 2 ?1 cos AB, n1 ? ??? ?? ? ? AB n1 2 ? 1 ? 1 ?

? 3?

2

?

5 5

所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值为

5 ????????? (14 分 ) 5

9、(增城市 2013 届高三上学期期末)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90? ,且 AC ? 2BC ? 2VA ? 4 . V (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求二面角 A ? VC ? B 的平面角的余弦值. B C (1)?VA ? 平面 ABC ?VA ? BC 1分 2分 ??ABC ? 90?? BC ? AC 4分 ?BC ? 平面 VBA 5分 ? 平面 VBA ? 平面 VBC 三、 过点 B 作 MB ? VC 于 M ,过点 A 作 AN ? VC 于 N , 过点 M 作 MD ? VC 交 CA 于 D ,则 MD // NA 7分 A

? ?ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2
? AB ? 2 3
8分 9分

?VA ? 平面 ABC ?VA ? AC,VA ? AB,?VC ? 2 5 ,VB ? 4
? BM ? 2 5 ? 8,2 5 NA ? 8,? BM ? AN ? 4 5 5

10 分

? CM ? VN ? 4 ? (

4 5 2 2 5 2 5 8 5 ) ? ,? CN ? 2 5 ? ? 5 5 5 5

11 分

?

MD CM CD 1 5 ? ? ? ,? MD ? , CD ? 1 NA CN CA 4 5

12 分

在 ?ABC 中,? AC ? 2BC,? ?CAB ? 30?,? ?ACB ? 60?

?BD ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? cos 60? ? 3

13 分

16 1 ? ?3 1 5 5 在 ?BMD 中, cos ?BMD ? ? 4 5 5 4 2? ? 5 5 1 所以所求二面角的平面角的余弦值是 4 或解:过点 B 作 BB? ? 平面 ABC ,建立直角坐标系如图
则 B(0,0,0), A(0,2 3 ,0), C (2,0,0), V (0,2 3 ,2)

14 分 6分 7分 8分 9分

? AV ? (0,0,2), AC ? (2,?2 3,0), BC ? (2,0,0), BV ? (0,2 3,2)
设 m ? (2, x, y ), m ? AC , m ? AV

?4 ? 2 3 x ? 0 ? x ? 2 3 2 3 ? ?? 则? 3 ? m ? (2, 3 ,0) ? 2y ? 0 ? y?0 ?
分 同理设 n ? (t ,2, s ), n ? BC, n ? BV 则?

10

11 分 12 分

? t ?0 ?? ? n ? (0,2,?2 3 ) ?4 3 ? 2 s ? 0 ?s ? ?2 3 ?

2t ? 0

设 m 与 n 的夹角为 ? ,则

4 3 1 3 cos? ? ? ? 4 4 mn 4 ? ? 4 ? 12 3 m?n
所以所求二面角的平面角的余弦值是

13 分

1 4

14 分

10、(湛江市 2013 届高三上学期期末)如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE。 (1)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值; (2)设 M 为线段 A1C 的中点,求证:在△ADE 翻转过程中,BM 的长度为定值。

解:(1)过 A1 作 A1F⊥DE,由已知可得 A1F⊥平面 BCD,且 F 为 DE 中点,以 D 为原点,

DC、DA 所在直线为 y,x 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0),A1(1,1, 2 ) 求得平面 CEA1 的一个法向量为 m=(1,1, 2 )

???? ???? ???? 1 DC =(0,4,0), DC ?m=| DC ||m|cosθ ,得 cosθ = 2 1 所以,直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值为 。 2
(2)取 A1D 中点 G,连结 MG,EG,由 MG∥EB,且 MG=EB,可得 BMGE 为平行四边形,所以, BM=EG,而三角形 ADE 中,EG 的长度为定值,所以,BM 的长度为定值。 11、(肇庆市 2013 届高三上学期期末)如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD ,PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分
别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ;(2)求平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值;(3) 求点 B 到平面 PAC 的距离.

解:(1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD , 又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,又 BA, PA 在平面 PAB 内,
?

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB ,
又 AD, AN 在平面 ADMN 内,

? PB ? 平面 ADMN , ? PB ? DM 。
(2)方法一: 由(1)知, AD ? 平面 PAB ,所以 AN ? AD , 由已知可知, AB ? AD 所以 ?BAN 是平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角

(5 分)

(6 分)

在直角三角形 PAB 中, PB ?

PA2 ? AB 2 ? 22 ? 22 ? 2 2

(7 分) (8 分)

因为 N 直角三角形 PAB 斜边 PB 的中点,所以 AN ? 在直角三角形 NAB 中, cos ?BAN ?

2

AN 2 ? AB 2

(9 分)

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为

2 . 2

(10 分)

方法二:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), N (1,0,1) , D(0, 2,0)

???? ???? AN ? (1, 0,1) , AD ? (0, 2, 0)

(6 分)

? ???? ?n ?AN ? 0 ? ? 设平面 ADMN 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ???? ?n ?AD ? 0 ?
即?

?x ? z ? 0 ,令 z ? ?1 ,则 x ? 1 , ?2 y ? 0

所以平面 ADMN 的一个法向量为 n ? (1,0, ?1) 显然 a ? (0, 0, 2) 是平面 ABCD 的一个法向量 设平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角为 ? ,则

?

?

(7 分)

? ? n ?a cos ? ? ? ? ? | n |?| a |

?2 2 ? 2 2 ?2

(9 分)

即平面 ADMN 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为

2 . 2

(10 分)

(3)由已知得, AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 5

(11 分) (12 分)

1 1 1 2 VP ? ABC ? S?ABC ? PA ? ? ? 2 ?1? 2 ? 3 3 2 3
设点 B 到平面 PAC 的距离为 h ,

则 VB ? ACP ?

1 1 1 5 S?ACP ? h ? ? ? 2 ? 5 ? h ? h 3 3 2 3
5 2 2 5 h ? ,得 h ? 3 3 5

(13 分)

由 VP ? ABC ? VB ? ACP ,即

即点 B 到平面 PAC 的距离

2 5 . 5

(14 分)

12、(中山市 2013 届高三上学期期末) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为
1 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4
A1 D

C1

B1

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 115,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由. (I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? 点, 又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
E C G A F M B
E C

1 AB ? F 为 AM 的中 4

A

C1
F B

A1

D

B1

? EF // BD,
? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ? EF // 平面 BC1 D

…………………….7 分

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A1B1C1 ? 1:16
1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 AG 1 AG 3 ? ? ? , ? ? , 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在
1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC

? AG ?

3 AC ? AC 2

……………………….14 分

13、(珠海市 2013 届高三上学期期末)

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形 (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP // 平面 CNB1 ,并求

BP 的值. PC

4 8 主视图 8

侧视图

4 4 8 俯视图

解:(1)证明:? 该几何体的正视图为 矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图

为直角梯形,? BA, BC , BB1 两两互相垂直。以 BA, BC , BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系,则 N (4,4,0), B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4), C (0,0,4) , B (0,0,0) ∵ BC ? (0,0,4) , B1C1 ? (0,0,4) , BC ? B1C1 ,∴ BC // B1C1 ∵ B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N ?? 4 分 (2) BN ? B1 N ? (4,4,0) ? (4,?4,0) ? 16 ? 16 ? 0 , ? ?????? 2 分

BN ? B1C1 ? (4,4,0) ? (0,0,4) ? 0
? BN ? B1 N , BN ? B1C1 ,又 B1 N ? B1C1 ? B1 ? BN ? 平面C1 B1 N
?????? 8 分 A

C P B M N

C1

B1

(3)设 P (0,0, a ) 为 BC 上一点, ? M 为 AB 的中

MP ? (?2,0, a ) ,NC ? (?4,?4,4) 点, M (2,0,0) , ?
设平面的一个法向量为 n ? (1, x, y ) ,则有

n ? NC , n ? NB1 ,则有 n ? NC ? 0, n ? NB1 ? 0,

∴ (1, x, y ) ? (?4,?4,4) ? 0, (1, x, y ) ? (?4,4,0) ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 , ∴ n ? (1,1,2) ,?10 分

? MP //平面 CNB1 ,? n ? MP ,于是 MP ? n ? (?2,0, a ) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0
解得: a ? 1 ????????? 12 分

? MP ? 平面 CNB1 ,? MP //平面 CNB1 ,此时 PB ? a ? 1 ,
? BP 1 ? PC 3
????????????? 14 分


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