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辽宁省沈阳铁路实验中学2013届高三第三次测试数学(理)试题


沈阳铁路实验中学 2013 届高三第三次测试数学(理)试题
满分 150 分.考试用时 140 分钟.

第 Ⅰ 卷
一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | ( ) x ? }, B ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 2}, 则A ? B ? ( A. (??, 2) C. (2,5) 2

.下列选项叙述错误的是 (
2

1 2

1 4 B. (1, 2)



D. (??,5)


2

A.命题“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ” B.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.若 p ? q 为真命题,则 p,q 均为真命题 D. x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “
2

3.设

Sn

为等差数列

?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
C.6 D.5 )

A.8

B.7

??? 2 ? ??? ???? ??? ???? ? ? ???? ? BC ? 16, AB ? AC???AB ? AC?? 则?AM?? ? 4. 设点 M 是线段 BC 的中点, A 在直线 BC 外, 点 (
A.8 B.4 C. 2 D.1

5.若 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 的值等于( A.—5 或—1 ) B.±5 C.—1

f(

?
8

? t) ? f (

?

? t ), 且f ( ) ? ?3 8 8 ,则实数 m

?

D.5 或 1

6.将函数 f ( x) 图象沿 x 轴向右平移

? 个单位长度,再将所得图象上的每一点的横坐标伸长到原来的 6
x ? ) 2 12

2 倍、纵坐标保持不变,这样得到的是函数 y ? ?2sin x 的图象,那么 f ( x) 的解析式是( ) A. f ( x) ? ?2sin( ?

x ? ) 2 6

B. f ( x) ? ?2sin( ?

C. f ( x) ? ?2sin(2 x ?

?

6

)

D. f ( x) ? ?2sin(2 x ?

?

3

)

7.若实数 x, y 满足 | x ? 1 | ? Ln

1 ? 0 ,则 y 是 x 的函数的图象大致是( y



8.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 则( ) A. f ( x) 在 ? 0,

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,

? ?? ? 单调递减 ? 2?

B. f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ?? ? ? 3? ? D. f ( x) 在 ? , ? 单调递增 ? 单调递增 ? 2? ?4 4 ? ??? ? ??? ? ? ? 9.在△ OAB 中, OA ? a, OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 λ 等于 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a? b?a a? a ?b a? b?a a? a ?b A. ? ? 2 B. ? ? 2 C. ? ? D. ? ? | a ?b| | a ?b| | a ?b| | a ?b|
C. f ( x) 在 ? 0,

?

?

?

?

?

?

?

?

f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos 2 x ? m在[0, ] 2 上有零点,则 m 的取值范围为( ) 10.若函数
A. [1, 2 ? 2] C. [?1, 2 ? 2]
x

?

B.[-1,2] D.[1,3] ) B. a ? 0, b ? 0, c ? 0
a c

11.已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列结论中,必成立的是( A. a ? 0, b ? 0, c ? 0
?a c

C. 2 ? 2 D. 2 ? 2 ? 2 12.定义在 R 上的周期函数 f(x),周期 T=2,直线 x=2 是它的图象的一条对称轴,且 f(x)在 [-3,-2]上是减函数,如果 A、B 是锐角三角形的两个内角,则( ) A C

f (sin A) ? f (cos B) f (sin A) ? f (sin B)

B D

f (cos B) ? f (sin A) f (cos B) ? f (cos A)
*

(13)已知数列{ an }满足 log 3 an ? 1 ? log 3 an ?1 (n ? N ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则

log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
3

(A) ?

1 5

(B) ?5

(C)5

(D)

1 5

(14)已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 的任意 x1 , x2 ,给出下列结论:
x

(1) ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 0 ; (3) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; 其中正确结论的序号是 (A) (2) (1)

(2) x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; (4)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ), 2 2
(C) (4) (3) (D) (4) (2)

(B) (3) (1)

(15)定义在 R 上的函数 f ( x) ,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且满足下列条件: ① f (1) ? 1,
1 16

② f?

?1 ? ?1 ? ? 1 ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 , ③ 2 f ( x) ? f (5x) .则 f ? ? 等于 ? 2010 ? ?2 ? ?2 ?
(B)
1 32

(A)

(C)

1 64

(D)

1 2010

? x ? [ x], x ? 0 (16) 设函数 f ( x) ? ? , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数, [?1.2] ? ?2, [1.2] ? 1, [1] ? 1 , 如 ? f ( x ? 1), x ? 0
若 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的根,则实数 k 的取值范围是

1 1 (A) ( , ] 4 3

1 (B) (0, ] 4

1 1 (C) [ , ] 4 3

1 1 (D) [ , ) 4 3

第 Ⅱ卷
二、填空题:(每题 5 分,共 20 分) 17.设数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ? (1 ? )an ?1 (n ? 2), ,则通项 an ? __。 18. ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________. 19.已知函数 y=f(x)的图像是开口向下的抛物线,且对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x), 若向量 a ? (log 1 m, ? 1), b ? (1,?2) ,则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的实数 m 的取值范围是
2

1 n

20.下列说法正确的为_________. ①函数 y ? f ( x) 与直线 x ? 1 的交点个数为 0 或 l; ②集合 A=

?x | x
2

2

? 3 x ? 10 ? 0? ,B={ x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1 },若 B ? A,则-3 ? a ? 3;

1 4 ④与函数 y ? f ( x) ? 2 关于点(1,-1)对称的函数为 y ? ? f (2 ? x)
三、解答题: 道大题,共 70 分) (6 21. (本题 10 分) 已知等差数列 {an } 的前三项为 m ? 1, 4, 2m ,记前 n 项和为 S n .

③函数 y ? lg( x ? x ? a) 的值域为 R 的充要条件是: a ? (??, ] ;

(1)设 S k ? 2550, 求实数 m 和 k 的值; (2)设 bn ?

Sn , 求b3 ? b7 ? b11 ? ? ? b4 n ?1 的值。 n

22. (本题 12 分) 已知函数 f ?x ? ? sin? x ?

? ?

??

2 x , ? ? 2 sin 6? 2

(1)求 f ? x ? 的单调增区间 (2)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? A? ? 1, a ? 1, c ? 求 b 的值

3

23. (本题 12 分)

已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 、 分别为 ?ABC 内角 A 、 、 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 , b c B C 求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 24. (本题 12 分) 已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 2 且 a n ?1 ? (Ⅰ)求证:数列 ?

?

?

1 2

?

? ?

2?n ? 1?a n ? (n? N ) an ? n

?n ? ? 1? 为等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; ? an ? a a a a ? (Ⅱ)证明: 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ? 2 ( n ? N ) 。 1 2 3 n

25.(本题 12 分)

(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x ? 1 ,
2

(1)求函数 h( x) ? f ( x) ?

1 g ( x) 的最值; 2
2

(2)对于一切正数 x ,恒有 f ( x) ? k ( x ? 1) 成立,求实数 k 的取值组成的集合。

26. (本题 12 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx , a, b ? R
2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切; 2 1 ①求实数 a, b 的值;②求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值; e

(2)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0, 围.

3 ], x ? 1, e 2 都成立,求实数 m 的取值范 2

? ?

沈阳铁路实验中学高三数学(理) 参考答案

?a ? 1 ? ? 1 ?b ? 2 ?
② f ( x) ? ln x ?

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x



1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e
?1 ? ? ?

令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e ? f ( x)在? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

? f ( x)max ? f (1) ? ?

1 2
? 3? ? ?

2 (2)当 b=0 时, f ( x) ? a ln x 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? 都成立, ? 2

?

2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? 都成立, ? 2

? 3? ? ?

?

即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? [0, ], x ? 1, e 2 都成立,
2 令 h(a) ? a ln x ? x, 则h(a) 为一次函数, m ? h(a) min ? x ? 1, e ? ,? ln x ? 0, ?

3 2

? ?

?

3 ? h(a)在a ? [0, ] 上单调递增? h(a)min ? h(0) ? ? x , 2

?m ? ? x 对所有的 x ? ?1, e2 ? 都成立。 ?
2 ?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ? m ? (? x)min ? ?e

24. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题得:an+1(an+n)=2(n+1)an , 即 a n a n ?1 ? nan ?1 ? 2(n ? 1)a n 故 2? ?

? n ?1 ? n ?n ? ? 1? ? ? a ? 1 即数列 ? a ? 1? 为等比数列, ??3 分 n ? a n ?1 ? ? n ?
n ?1

n ? 1 ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? an ? 2 ?? 2 ? a 1 (Ⅱ)由上知 n ? 1 ? n 2n ?1

?1? ? ?? ? , ?2?

n

? an ? n ?

n 2 ?1
n

??7 分

??????????????8 分

?


a a1 a 2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ... ? n ? n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n?1 1 2 3 n 2 2 2 2

? ? 1 ?n ? ?1 ? ? ? ? n ?1 ? ?2? ? ? ? ? n? 2?? 1 ? ? n?2 ? n? ? ? 1 ?2? 1? 2



时,当



恒成立,函数

递增;





恒成立,函数

递减。

所以

;即

的最大值



,则

令函数

,

所以当 所以函数

时,函数 ,

递减;当

时,函数

递增;

从而

就必须当

时成立。


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