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湖北省巴东一中高二数学教案 必修四:简单的三角恒等变换


3.2 简单的三角恒等变换
整体设计 一、教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的 应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答 ,引导学生对变换对象和变换目标进行 对比、 分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认

识,从而加深理解变换思想,提高学 生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性 质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换,变 换内容比较单一.而对于三角变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,还要考虑三角函 数式所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换.从函 数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据选择可以联系 它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点.

二、三维目标
1.知识与技能: 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、 余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想, 提高学生的推理能力. 2.过程与方法: 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变换在数学中的应用. 3.情感态度与价值观: 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.

三、重点难点
教学重点:1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力.

四、课时安排
2 课时

五、教学设想 第 1 课时
(一)导入新课 思路 1.我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角函数主要 有以下三个基本的恒等变换:代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换. 前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换,本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式 进行更加丰富的三角恒等变换. 思路 2.三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换.学习了和角公式,差角公 式,倍角公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方 法更加丰富和灵活,同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和

-1-

发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异 ,而且还会有 所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异 ,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所 包含的各个角之间的联系 ,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式 ,这是三角式恒等变换 的重要特点. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① α与

a 有什么关系? 2

a 之间的关系? 2 a 1 ? cos a a 1 ? cos a a 1 ? cos a ③ sin2 2 = ,cos2 = ,tan2 = 这三个式子有什么共同特点? 2 2 2 2 1 ? cos a
② 如何建立 cosα 与 sin2 ④ 通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? ⑤ 证明(1)sinαcosβ=

1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 2 ? ?? ? ?? cos (2)sinθ+sinφ=2sin . 2 2

并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同?

a a ,将公式中的 α 用 代替, 2 2 a a 解出 sin2 即可.教师对学生的讨论进行提问,学生可以发现:α 是 的二倍角.在倍角公式 2 2 a a cos2α=1-2sin2α 中,以 α 代替 2α,以 代替 α,即得 cosα=1-2sin2 , 2 2 a 1 ? cos a 所以 sin2 = . ① 2 2 a 在倍角公式 cos2α=2cos2α-1 中,以 α 代替 2α,以 代替 α,即得 2 a cosα=2cos2 -1, 2 a 1 ? cos a 所以 cos2 = . ② 2 2
活动:教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式 cosα=1-2sin2 将① ② 两个等式的左右两边分别相除,即得 tan2

a 1 ? cos a = . 2 1 ? cos a



教师引导学生观察上面的① ② ③ 式,可让学生总结出下列特点: (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; (2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 教师与学生一起总结出这样的特点 ,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到 . 提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示 为:sin

a a a 1 ? cos a 1 ? cos a 1 ? cos a =± ,cos =± ,tan =± ,并称之为半角公式(不要求记 2 2 2 2 2 1 ? cos a

-2-

忆),符号由

a 所在象限决定. 2

教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出:对于三角变换,由于不同的三角函数式 不仅会有结构形式方面的差异,而且还有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异.因此,三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系,并以此为依据,选择可以 联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的 变换. 对于问题⑤ : (1)如果从右边出发,仅利用和(差)的正弦公式作展开合并,就会得出左 式.但为了更好地发挥本例的训练功能, 把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点, 引导学生思考,哪些公式包含 sinαcosβ 呢?想到 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这 个等式,sinαcosβ,cosαsinβ 分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解,必须有 2 个方程, 这就促使学生考虑还有没有其他包含 sinαcosβ 的公式,列出 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 后,解 相应的以 sinαcosβ,cosαsinβ 为未知数的二元一次方程组,就容易得到所需要的结果. (2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示 和的形式,在思路和方法上都与( 1)没有什么区别 .只需做个变换,令 α+β=θ, α-β=φ,则 α=

? ??
2

,β=

? ??
2

,代入(1)式即得(2)式.

证明:(1)因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 即 sinαcosβ=

1 [sin(α+β)+sin(α-β)]. 2

(2)由(1),可得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.① 设 α+β=θ,α-β=φ,那么 α= 把 α,β 的值代入① , 即得 sinθ+sinφ=2sin

? ??
2
cos

,β=

? ??
2
.

.

? ??
2

? ??
2

教师给学生适时引导,指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程 中用到了换元的思想,如把 α+β 看作 θ,α-β 看作 φ,从而把包含 α,β 的三角函数式变换成 θ,φ 的三 角函数式.另外,把 sinαcosβ 看作 x,cosαsinβ 看作 y,把等式看作 x,y 的方程,通过解方程求得 x,这 就是方程思想的体现.

a 的二倍角. 2 a 1 ? cos a ② sin2 =1-cos . 2 2
讨论结果:① α是 ③ ④ ⑤ 略(见活动). (三)应用示例 思路 1 例 1 化简:

1 ? sin x ? cos x .. 1 ? sin x ? cos x

活动:此题考查公式的应用,利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和

-3-

倍角公式的区别,它们的功能各异,本质相同,具有对立统一的关系.

x x x x x x ? 2 sin cos 2 sin (sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 2 2 =tan x . 解:原式= x x x x x x 2 2 cos2 ? 2 sin cos 2 cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 sin 2
点评:本题是对基本知识的考查,重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练 化简:sin50° (1+ 3

3 sin 10? 1? ? sin 50? ? 解:原式=sin50° ? cos10
=2sin50° ·

1 3 2( cos10? ? sin 10? ) 2 2 cos10?

sin 30? cos10? ? cos30? sin 10? cos10? sin 40? sin 80? cos10? ? ? =1. cos10? cos10? cos10?
1 ,求 sin3x-cos3x 的值. 2

=2cos40° ·

例 2 已知 sinx-cosx=
3

活动:教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简,然后再求解 .由于 (a-b) =a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴ a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b). 解完此题后 , 教师引导学生深挖本 例的思想方法,由于 sinx· cosx 与 sinx± cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思 想.本题也可直接应用上述公式求之,即 sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)= 法往往适用于 sin3x± cos3x 的化简问题之中.

11 .此方 16

1 1 ,得(sinx-cosx)2= , 2 4 1 3 即 1-2sinxcosx= ,∴ sinxcosx= . 4 8
解:由 sinx-cosx= ∴ sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) =

1 3 11 (1+ )= . 2 8 16

点评:本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练 (2007 年高考浙江卷,12) 已知 sinθ+cosθ= 答案: ?

1 ? 3? ,且 ≤θ≤ ,则 cos2θ 的值是______________. 5 4 2

7 25

例 1 已知

cos4 A sin 4 A cos4 B sin 4 B ? ? 1 求证 : ? ? 1. cos2 B sin 2 B cos2 A sin 2 A

-4-

活动:此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是 将 A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有 A,B 角的正、余弦,可 利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是 a2+b2=1 的形式,可利用三角代换. 证明一:∵

cos4 A sin 4 A ? ? 1, cos2 B sin 2 B

∴ cos4A· sin2B+sin4A· cos2B=sin2B· cos+B. 4 2 4 2 ∴ cos A(1-cos B)+sin A· cos B=(1-cos2B)cos2B, 即 cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴ cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴ (cos2A-cos2B)2=0.∴ cos2A=cos2B.∴ sin2A=sin2B. ∴

cos4 B sin 4 B ? ? cos2B+sin2B=1. 2 2 cos A sin A cos2 A sin 2 A ? cos a, =sinα, cos B sin B

证明二:令

则 cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα. 两式相加,得 1=cosBcosα+sinBsinα,即 cos(B-α)=1. ∴ B-α=2kπ(k∈ Z),即 B=2kπ+α(k∈ Z). ∴ cosα=cosB,sinα=sinB. ∴ cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. ∴

cos4 B sin 4 B cos4 B sin 4 B ? ? ? =cos2B+sin2B=1. 2 2 2 2 cos A sin A cos B sin B

点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系 进行了合理消元. 变式训练 在锐角三角形 ABC 中,ABC 是它的三个内角,记 S=

1 1 ? ,求证:S<1. 1 ? tan A 1 ? tan B

证明:∵ S=

1 ? tan A ? 1 ? tan B 1 ? tan A ? tan B ? (1 ? tan A)(1 ? tan B) 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B

又 A+B>90° ,∴ 90° >A>90° -B>0° . ∴ tanA>tan(90° -B)=cotB>0, ∴ tanA· tanB>1.∴ S<1. 思路 2 例 1 证明

1 ? sin x ? x =tan( + ). cos x 4 2

活动:教师引导学生思考,对于三角恒等式的证明,可从三个角度进行推导:① 左边→右 边;② 右边→左边;③ 左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意 式子左边包含的角为 x,三角函数的种类为正弦,余弦,右边是半角 切.

x ,三角函数的种类为正 2

-5-

解:方法一:从右边入手,切化弦,得

? x ? x ? x x x sin( ? ) sin cos ? cos sin cos ? sin 2 2 ? 4 2 4 2 ? 2 2 , 由左右两边的角 ? x ? x ? x x x cos( ? ) cos cos ? sin sin cos ? sin 4 2 2 2 2 2 2 2 x x 之间的关系,想到分子分母同乘以 cos +sin ,得 2 2 x x (cos ? sin ) 2 1 ? sin x 2 2 ? x x x x cos x (cos ? sin )(cos ? sin ) 2 2 2 2
? x tan( + )= 4 2
方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,得

x x x x (cos ? sin ) 2 cos ? sin 1 ? sin x 2 2 2 2 ? ? x x x x x x cos x (cos ? sin )(cos ? sin ) cos ? sin 2 2 2 2 2 2
由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以 cos

x ,得 2

1 ? tan

x ? x tan ? tan 2 ? 4 2 =tan( ? + x ). x ? x 4 2 1 ? tan 1 ? tan tan 2 4 2

点评:本题考查的是半角公式的灵活运用,以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练

? )且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求 α+2β 的值. 2 解法一:3sin2α+2sin2β=1 ? 3sin2α=1-2sin2β,即 3sin2α=cos2β, 3sin2α-2sin2β=0 ?
已知 α,β∈ (0, ②
2 2 ① +② :9sin4α+9sin2αcos2α=1,即 9sin2α(sin2α+cos2α)=1,

① 3sinαcosα=sin2β,

∴ sin2α=

1 ? 1 .∵ α∈ (0, ),∴ sinα= . 9 3 2 1 =1. 3

∴ sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×

? 3? ? ),∴ α+2β∈ (0, ).∴ α+2β= . 2 2 2 2 2 2 解法二:3sin α+2sin β=1 ? cos2β=1-2sin β=3sin2α, 3 3sin2α-2sin2β=0 ? sin2β= sin2α=3sinαcosα, 2
∵ α,β∈ (0, ∴ cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0. ∵ α,β∈ (0,

? 3? ? ),∴ α+2β∈ (0, ).∴ α+2β= . 2 2 2

-6-

解法三:由已知 3sin2α=cos2β,

3 sin2α=sin2β, 2

两式相除,得 tanα=cot2β,∴ tanα=tan( ∵ α∈ (0,

? ? ),∴ tanα>0.∴ tan( -2β)>0. 2 2 ? ? ? ? 又∵ β∈ (0, ),∴? < -2β< . 2 2 2 2 ? ? ? 结合 tan( -2β)>0,得 0< -2β< . 2 2 2 ? ? ? ∴ 由 tanα=tan( -2β),得 α= -2β,即 α+2β= . 2 2 2
sin(a ? ? ) sin(? ? ? ) tan2 ? ? 1 ? sin 2 ? cos2 ? tan2 ?

? -2β). 2

例 2 求证:

活动:证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是 在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=

(sin cos ? ? cos? sin ? )(sin? cos ? ? cos? sin ? ) sin 2 ? cos2 ?

=

sin 2 a cos2 ? ? cos2 a sin 2 ? cos2 a sin 2 ? tan2 ? 原式成立. ? 1 ? ? 1 ? ? =右边.∴ sin 2 cos2 ? sin 2 cos2 ? tan2 a

cos2 sin 2 ? sin 2 cos2 ? ? cos2 a sin 2 ? 证法二:右边=1? sin 2 cos2 ? sin 2 a cos2 ?
=

(sin a cos ? ? cosa sin ? )(sin a cos ? ? cosa sin ? ) sin 2 cos2 ? sin(a ? ? ) sin(a ? ? ) =左边.∴ 原式成立. sin 2 cos2 ?

=

点评:此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推 理能力. 变式训练 1.求证:

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? . 2 sin ? 1 ? tan 2 ?

分析: 运用比例的基本性质,可以发现原式等价于 边就是 tan2θ. 证明:原等式等价于 而上式左边

1 ? sin 4? ? cos 4? 2 tan ? ? ,此式右 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? tan 2 ?

1 ? sin 4? ? cos 4? ? tan 2? . 1 ? sin 4? ? cos 4?

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2 sin 2? (cos2? ? sin 2? ) sin 4? ? (1 ? cos4? ) 2 sin 2? cos2? ? 2 sin 2 2? = ? =tan2 ? 2 2 cos2? (sin 2? ? cos2? ) sin 4? ? (1 ? cos4? ) 2 sin 2? cos2? ? 2 cos 2?

? 右边.∴ 上式成立,即原等式得证.
2.已知 sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=

1? m tanα. 1? m

分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的 2α+β 可 化为结论式中的 α+β 与 α 的和,不妨将 α+β 作为一整体来处理. 证明:由 sinβ=msin(2α+β) ? sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α] ?sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα] ? (1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·co s(α+β)sinα

?tan(α+β)=
(四)知能训练 1.若 sinα= A.5 2.设 5π<θ<6π,cos

1? m tanα. 1? m

5 a ,α 在第二象限,则 tan 的值为( 13 2
B.-5

) C.

? ? =α,则 sin 等于( 2 4
B.

1 5

D. ?

1 5

) C. ?

A.

1? a 2

1? a 2

1? a 2

D. ?

1? a 2

3.已知 sinθ= ? 解答: 1.A 2.D

3 7? ? ,3π<θ< ,则 tan _________________. 5 2 2
3.-3

(五)课堂小结 1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公 式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条 件等式的证明. 2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的 基本手段. (六)作业

-8-

第 2 课时
(一)导入新课 思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中,往往会出现较多相异的角,我们可根据角与 角之间的和差、倍半、互补、互余等关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使 问题获得解决,如:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)=(

? ? ? ? ? +α)-( -α), +α= -( -α)等,你能总 4 4 4 2 4

结出三角变换的哪些策略?由此探讨展开. 思 路 2.( 复 习 导 入 ) 前 面 已 经 学 过 如 何 把 形 如 y=asinx+bcosx 的 函 数 转 化 为 形 如 y=Asin(ωx+φ)的函数, 本节主要研究函数 y=asinx+bcosx 的周期、 最值等性质.三角函数和代数、 几何知识联系密切,它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题,大 都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧, 要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 三角函数 y=sinx,y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少? ② 函数 y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的? ③ 三角变换在几何问题中有什么应用? 活动:教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾,我们知 道正弦函数,余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数,余弦函

-9-

数的周期都是 2kπ(k∈ Z 且 k≠0) ,最小正周期都是 2π.三角函数的定义与变化时,会对其周期 性产生一定的影响,例如,函数 y=sinx 的周期是 2kπ(k∈ Z 且 k≠0) ,且最小正周期是 2π,函 数 y=sin2x 的周期是 kπ(k∈ Z 且 k≠0) ,且最小正周期是 π.正弦函数,余弦函数的最大值是 1, 最小值是-1,所以这两个函数的值域都是[-1,1]. 函数 y=asinx+bcosx= a 2 ? b 2 (

a a2 ? b2

sin x ? a

b a2 ? b2

cosx),

∵ ((

a a2 ? b2

)2 ? (

b a2 ? b2

) 2 ? 1从而可令

a2 ? b2

? cos? ,

b a2 ? b2

? sin φ,

则有 asinx+bcosx= a 2 ? b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ) = a 2 ? b 2 sin(x+φ). 因此,我们有如下结论:asinx+bcosx= a 2 ? b 2 sin(x+φ) ,其中 tanφ=

b .在以后的学习 a

中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系. 几何中的角度、长度、面积等几何问题,常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变换来 解决几何中的有关问题,是一种重要的数学方法. 讨论结果:① y=sinx,y=cosx 的周期是 2kπ(k∈ Z 且 k≠0) ,最小正周期都是 2π;最大值 都是 1,最小值都是-1. ② —③ (略)见活动. (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 1,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内 3

接矩形.记∠ COP=α,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动:要求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积 S 最大,先找出 S 与 α 之间的函数关系, 再求函数的最值. 找 S 与 α 之间的函数关系可以让学生自己解决,得到: S=AB·BC=(cosα ?

3 3 2 sinα)sinα=sinαcosα- ? sin α. 3 3

求这种 y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 函数的最值,应先降幂,再利用公式化成 Asin(ωx+φ) 型的三角函数求最值. 教师引导学生思考:要求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积 S 最大,可分两步进行:

- 10 -

图1 (1)找出 S 与 α 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求 S 的最大值. 解:在 Rt△ OBC 中,BC=cosα,BC=sinα, 在 Rt△ OAD 中,

DA =tan60° = 3, OA

所以 OA=

3 3 3 DA= BC= sinα. 3 3 3 3 sinα. 3

所以 AB=OB-OA=cosα ?

设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AB·BC=(cosα ?

3 3 2 sinα)sinα=sinαcosα ? sin α 3 3

=

1 1 3 3 1 3 3 sin2α+ cos2α= ( sin2α+ cos2α)2 2 6 6 6 3 2

=

1 3

sin(2α+

? 3 ). 6 6

由于 0<α<

? ? ? ? 1 3 3 ,所以当 2α+ = ,即 α= 时,S 最大= = . 3 6 2 6 6 3 6 ? 3 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6

因此,当 α=

点评: 可以看到,通过三角变换,我们把形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠ COP=α”, 结 论 改 成 “ 求 矩 形 ABCD 的 最 大 面 积 ” , 这 时 , 对 自 变 量 可 多 一 种 选 择 , 如 设 AD=x,S=x( 1 ? x ?
2

3 x ),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值,但能促进学生对函数模 3

型多样性的理解,并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练 (2007 年高考辽宁卷,19) 已知函数 f(x)=sin(ωx+ (1)求函数 f(x)的值域;

?x ? ? )+sin(ωx- )-2cos2 2 ,x∈ R(其中 6 6

(2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 区间. 解:(1)f(x)=

? ,求函数 y=f(x)的单调增 2

1 1 3 3 sinωx+ cosωx+ sinωx- cosωx-(cosωx+1) 2 2 2 2
- 11 -

=2(

1 ? 3 sinωx- cosωx)-1=2sin(ωx- )-1. 2 6 2

由-1≤sin(ωx-

? ? )≤1,得-3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6 6
2? =π,即得 ω=2. ?

可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知 y=f(x)的周期为 π,又由 ω>0,得 于是有 f(x)=2sin(2xkπ-

? ? ≤x≤kπ+ (k∈ Z). 6 3

? ? ? ? )-1,再由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈ Z),解得 6 2 6 2
? ? ,kπ+ ](k∈ Z). 6 3

所以 y=f(x)的单调增区间为[kπ-

点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函 数有关知识的能力. 例 1 求函数 y=sin4x+23sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递 增区间. 活动:教师引导学生利用公式解题,本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和 周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x=2sin(2x-

? ). 6

故该函数的最小正周期是 π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,

? 5? ],[ ,π]. 6 3

点评:本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识 变式训练 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x, (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈ [0,

? ],求 f(x)的最大、最小值. 2

解:f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= 2 cos(2x+

2? =π. 2 ? ? ? 5? (2)因为 x∈ [0, ],所以 2x+ ∈ [ , ]. 4 2 4 4
所以,f(x)的最小正周期 T= 当 2x+ 当 2x+

? ), 4

? ? ? 2 = 时,cos(2x+ )取得最大值 , 4 4 4 2

? ? =π 时,cos(2x+ )取得最小值-1. 4 4

- 12 -

所以,在[0,

? ]上的最大值为 1,最小值为- 2 . 2
思路 2

例 1 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M( 区间[0,

? ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 2

3? ,0)对称,且在 4

活动:提醒学生在解此题时,对 f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图 象关于 M(

3? ,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在 R 上的函数 4

y=f(x)对定义域内任意 x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然. 教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结,多做些这种类型的变式训练. 解:由 f(x)是偶函数,得 f(-x)=f(x), 即 sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意 x 都成立. 又 ω>0,所以,得 cosφ=0. 依题设 0≤φ≤π,所以,解得 φ=

3? 3? -x)=-f( +x). 4 4 3? 3? 3? 取 x=0,得 f( )=-f( ),所以 f( )=0. 4 4 4 3? 3?? ? 3?? 3?? ∵ f( )=sin( + )=cos ,∴ cos =0. 4 4 4 4 2 3?? ? 又 ω>0,得 = +kπ,k=0,1,2,…. 4 2 2 ∴ ω= (2k+1),k=0,1,2,…. 3 2 2 ? ? 当 k=0 时,ω= ,f(x)=sin( x+ )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2
由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f( 当 k=1 时,ω=2,f(x)=sin(2x+

? . 2

? ? )在[0, ]上是减函数; 2 2 10 ? ? 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=sin(ωx+ )在[0, ]上不是单调函数. 3 2 2 2 所以,综合得 ω= 或 ω=2. 3
点评:本题是利用函数思想进行解题,结合三角函数的图象与性质,对函数进行变换然 后进而解决此题. 变式训练 已知如图 2 的 Rt△ ABC 中,∠ A=90° ,a 为斜边,∠ B、 ∠ C 的内角平分线 BD、 CE 的长分别为 m、 n,且 a2=2mn.问:是否能在区间(π,2π]中找到角 θ,恰使等式 cosθ-sinθ=4(cos 成立?若能,找出这样的角 θ;若不能,请说明理由. 解:在 Rt△ BAD 中,

B?C B?C -cos ) 2 2

AB B AB =cos ,在 Rt△ BAC 中, =sinC, m a 2

- 13 -

∴ mcos

B =asinC. 2

图2

C =asinB. 2 B C ∴ mncos cos =a2sinBsinC. 2 2
同理,ncos 而 a2=2mn,

B C B B C C B C 1 cos =2sinBsinC=8sin · cos cos sin .∴ sin sin = . 2 2 2 2 2 2 2 2 8 B?C B?C 积化和差,得 4(cos -cos )=-1, 2 2 B?C B?C ? 若存在 θ 使等式 cosθ-sinθ=4(cos -cos )成立,则 2 cos(θ+ )=-1, 2 2 4
∴ cos ∴ cos(θ+ ∴

? 2 )= .而 π<θ≤2π, 4 2

5? ? 9? <θ+ ≤ .∴ 这样的 θ 不存在. 4 4 2

点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假 设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立. 这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.

1 1 ,tanβ= ? ,且 α,β∈ (0,π),求 2α-β 的值. 2 7 1 解:∵ 2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)= , 2
例 2 已知 tan(α-β)= ∴ tan2(α-β)=

2 tan( ? ? ?) 4 = . 2 1 ? tan (? ? ? ) 3

4 1 25 ? tan 2(? ? ? ) ? tan ? 从而 tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]= ? 3 7 = 21 ? 1 . 4 1 25 1 ? tan 2(? ? ? ) tan ? 1? ? 3 7 21
又∵ tanα=tan[(α-β)+β]=

tan( ? ? ? ) ? tan ? 1 = <1. 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 3

且 0<α<π,∴ 0<α<

? ? .∴ 0<2α< . 4 2

- 14 -

又 tanβ= ? ∴

? ? <β<π,-π<-β< ? . 2 2 3? ∴ -π<2α-β<0.∴ 2α-β= ? . 4

1 <0,且 β∈ (0,π), 7

点评:本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题,关键在于对角的范围的讨论, 注意合理利用不等式的性质,必要时,根据三角函数值,缩小角的范围,从而求出准确角.另 外,求角一般都通过三角函数值来实现,但求该角的哪一种函数值,往往有一定的规律,若 α∈ (0,π),则求 cosα;若 α∈ (? 变式训练 若 α,β 为锐角,且 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β= 证明:已知两个等式可化为 3sin2α=cos2β, 3sinαcosα=sin2β, ① ÷ ② ,得

? ?
2 2
,

),则求 sinα 等.

? . 2
① ②

sin a cos 2 ? = ,即 cosαcos2β-sinαsin2β=0, cos a sin 2 ?

∴ cos(α+2β)=0.

? ? 3? ,0<β< ,∴ 0<α+2β< . 2 2 2 ? ∴ α+2β= . 2
∵ 0<α< (四)课堂小结 本 节 课 主 要 研 究 了 通 过 三 角 恒 等 变 形 , 把 形 如 y=asinx+bcosx 的 函 数 转 化 为 形 如 y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质 ,达到解决问题的目的 ,充分体现出生活 的数学和“活”的数学. (五)作业

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