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高中数学竞赛培训专题3---几个重要的不等式


竞赛培训专题 7---几个重要不等式(一)
一、平均值不等式

设 a1,a2,…, an 是 n 个正实数, 则 时取等号 1.二维平均值不等式的变形

, 当且仅当 a1=a2=…=an

(1)对实数 a,b 有 a +b ?2ab

2

2

>(2)对正实数 a,b 有

(3)对 b>0,有



(4)对 ab >0 有

2



(5)对实数 a,b 有 a(a-b)?b(a-b)

(6)对 a>0,有

(7) 对 a>0,有

(8)对实数 a,b 有 a ?2ab-b

2

2

(9) 对实数 a,b 及 l?0,有 二、例题选讲

例 1.证明柯西不等式

证明:法一、若



命题显然成立,对

?0 且

?0,取

代入(9)得



两边平方得

法二、 立

,即二次式不等式

恒成

则判别式 例 2.已知 a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:

(1)

(2)

证明:(1)左=

[

]

=

?

(2)由



同理:

相加得:左?

例 3.求证:

证明:法一、取

,有

a1(a1-b)?b(a1-b), a2(a2-b)?b(a2-b),…, an(an-b)?b(an-b) 2 2 2 相加得(a1 + a2 +…+ an )-( a1+ a2+…+ an)b?b[(a1+ a2+…+ an)-nb]?0

所以 法二、由柯西不等式得: (a1+ a2+…+ an) =((a1×1+ a2×1+…+ an×1) ?(a1 + a2 +…+ an2)(12+12+…+12) 2 2 2 =(a1 + a2 +…+ an )n, 所以原不等式成立 例 4.已知 a1, a2,…,an 是正实数,且 a1+ a2+…+ an<1,证明:
2 2 2 2

证明:设 1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0, n+1 则原不等式即 n a1a2…an+1?(1-a1)(1-a2)…(1-an) 1-a1=a2+a3+…+an+1?n 1-a2=a1+a3+…+an+1?n ………………………………………… 1-an+1=a1+a1+…+an?n 相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)?n 例 5.对于正整数 n,求证:
n+1

证明:法一、

>

法二、左=

=

例 6.已知 a1,a2,a3,…,an 为正数,且

,求证:

(1)

(2)

证明:(1)

相乘左边?

=(n +1)

2

n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

? -n+2×n 摘自数学教育之窗


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