nbhkdz.com冰点文库

高中数学竞赛培训专题3---几个重要的不等式


竞赛培训专题 7---几个重要不等式(一)
一、平均值不等式

设 a1,a2,…, an 是 n 个正实数, 则 时取等号 1.二维平均值不等式的变形

, 当且仅当 a1=a2=…=an

(1)对实数 a,b 有 a +b ?2ab

2

2

>(2)对正实数 a,b 有

(3)对 b>0,有



(4)对 ab >0 有

2



(5)对实数 a,b 有 a(a-b)?b(a-b)

(6)对 a>0,有

(7) 对 a>0,有

(8)对实数 a,b 有 a ?2ab-b

2

2

(9) 对实数 a,b 及 l?0,有 二、例题选讲

例 1.证明柯西不等式

证明:法一、若



命题显然成立,对

?0 且

?0,取

代入(9)得



两边平方得

法二、 立

,即二次式不等式

恒成

则判别式 例 2.已知 a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:

(1)

(2)

证明:(1)左=

[

]

=

?

(2)由



同理:

相加得:左?

例 3.求证:

证明:法一、取

,有

a1(a1-b)?b(a1-b), a2(a2-b)?b(a2-b),…, an(an-b)?b(an-b) 2 2 2 相加得(a1 + a2 +…+ an )-( a1+ a2+…+ an)b?b[(a1+ a2+…+ an)-nb]?0

所以 法二、由柯西不等式得: (a1+ a2+…+ an) =((a1×1+ a2×1+…+ an×1) ?(a1 + a2 +…+ an2)(12+12+…+12) 2 2 2 =(a1 + a2 +…+ an )n, 所以原不等式成立 例 4.已知 a1, a2,…,an 是正实数,且 a1+ a2+…+ an<1,证明:
2 2 2 2

证明:设 1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0, n+1 则原不等式即 n a1a2…an+1?(1-a1)(1-a2)…(1-an) 1-a1=a2+a3+…+an+1?n 1-a2=a1+a3+…+an+1?n ………………………………………… 1-an+1=a1+a1+…+an?n 相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)?n 例 5.对于正整数 n,求证:
n+1

证明:法一、

>

法二、左=

=

例 6.已知 a1,a2,a3,…,an 为正数,且

,求证:

(1)

(2)

证明:(1)

相乘左边?

=(n +1)

2

n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

? -n+2×n 摘自数学教育之窗


全国高中数学竞赛不等式试题

2000-2005 全国高中数学竞赛不等式试题 2004 年全国高中数学联赛试卷(第一试) 3不等式 log2 x ? 1 ? A.[2,3] 1 log 1 x 3 ? 2 >0 的解集是 ...

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛不等式的解法摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并 挑选了一些与这几类不等式相关的...

高中数学竞赛_不等式【讲义】

高中数学竞赛_不等式【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 高中数学竞赛_不等式【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义...

2011高中数学竞赛培训教材 (3)

2011高中数学竞赛培训教材 (3)。2011 高中数学竞赛...(2)=k2-3k>0 解这三个不等式组成的不等式组,...3.数列前 n 项和常用求法 ①重要公式 1 1+2+...

高中数学竞赛知识点整理

3.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(C...2011高中数学竞赛培训教... 43页 5下载券 高中数学竞赛教程 平面... 21页 ...

高中数学竞赛教案第八讲 不等式

高中数学竞赛教案第八讲 不等式_数学_高中教育_教育...不等式几个重要不等式 n 1 1 1 ? ??? a1 a...由柯西不等式有 (3) 及 综合(1)、(2)、(3)...

2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式一(02...

2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式一(0207)学生_学科竞赛_高中教育...abc ,证明:下列三个不等式中,至少有两个成立: 2 3 6 2 3 6 2 3 6 ?...

高中数学竞赛专题讲座之 数列

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 高中数学竞赛专题讲座之...则满足不等式|Sn-n-6|< n是 A.5 B.6 C.7 () D.8 1 的最小整数 ...

2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式六(02...

2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式六(0212)学生_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年高中数学联赛及自主招生考试培优专题 第五讲 1.琴生不等式 凸...

高中数学竞赛 3

2011高中数学竞赛培训教... 43页 免费 2010高中数学...3.四边形的各顶点位于一个边长为 1 的正方形各边...是否存在最小的正整数 t,使得不等式 (n + t )...