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6.4-复合求导


第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则 微分法则

第六章

本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数

z ? f (u, v)



处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量

z

u
t

v
t

有增量△u ,△v , ?z ?z ? z ? ?u ? ?v ? o ( ? ) ?u ?v

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? z ? z ? u ? z ?v o( ? ) 2 2 ( ? ? (?u ) ? (?v) ) ? ? ? ? t ?u ? t ?v ? t ?t

则有 ?u ? 0 , ?v ? 0 , ?u du ?v dv ? , ? ?t dt ?t dt
? o( ? )

z
u
t

v
t

?

(△t<0 时,根式前加“–”号)

d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t

( 全导数公式 )
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说明: 若定理中

偏导数连续减弱为

偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v , u 2 ? v2 ? 0 2 2 例如: z ? f (u, v) ? u ? v

u ?t, v?t
易知:

0,

u 2 ? v2 ? 0

但复合函数 z ? f ( t , t ) ? t 2 ? z du ? z dv dz 1 ? ? ? ? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? ? ?u d t ?v d t dt 2
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .

u ? ? (t ) , v ? ? (t ) , w ? ? (t ) ? z dv ? z dw d z ? z du ? ? ? ? ? ? ?v d t ?w d t d t ?u d t ? f1?? ? ? f 2?? ? ? f 3? ? ?

1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z ? f (u, v, w) ,

z
u v w
t t t

2) 中间变量是多元函数的情形.例如,

z ? f (u, v) , u ? ? ( x, y) , v ? ? ( x, y)
? z ? z ?u ? z ?v ? ? ? ? ? ? ? f1??1 ? f 2?? 1 ? x ?u ? x ?v ? x ? z ? z ?u ? z ?v ? ? ? f1?? 2 ? f 2?? 2 ? ? ? ? ? y ?u ? y ?v ? y
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z
u v

x
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y x
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y
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又如, z ? f ( x, v) , v ? ? ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有

z? f

?z ? f ? ?x ?x ?z ?y

? ? ? f1? ? f 2 ? 1 ? ? ? f2 ? 2

x

v
x y

?z ? f 不同, 注意: 这里 与 ?x ?x ?z ?f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 ?x ?x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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?z ?z 例1. 设 z ? e sin v , u ? x y , v ? x ? y , 求 , . ?x ? y ?z ? z ?v ? ? 解: ?x ?v ? x
u

? eu sin v
?z ?y

? eu cos v ?1

z
u v yx y

? z ?v ? ? ?v ? y

x

? e sin v
u

? e cos v ? 1
u

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例2. u ? f ( x, y, z ) ? e

x2 ? y2 ? z 2

?u ? f ? 解: ?x ?x
? 2 xe
x2 ? y2 ? z 2

?u ?u , z ? x sin y, 求 , ?x ? y
2

?2z e
2

x2 ? y2 ? z 2

? 2 x sin y

u
x y z

? 2 x (1 ? 2 x sin y ) e
2

x 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 y

?u ? f ? f ? z ? ? ? ? y ? y ?z ? y

x
y
x 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 y

y

? 2 ye

x2 ? y2 ? z 2

?2ze

x 2 ? y 2 ? z 2 ? x 2 cos

? 2 ( y ? x sin y cos y ) e
4

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dz . 例3. 设 z ? u v ? sin t , u ? e , v ? cos t , 求全导数 dt d z ? z du ?z ? ? ? 解: z d t ?u d t ?t
t

? ve
t

t

? cos t

u v t

? e (cos t ? sin t ) ? cos t

t

t

注意:多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.

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例4. 设

f 具有二阶连续偏导数,

?w ? 2 w w , f1? , f 2? 求 , . ? x ? x? z u v 解: 令 u ? x ? y ? z , v ? x y z , 则 w ? f (u, v) x y zx y z ?w ? ? f2 ? yz ?x ? ? y z f 2 ( x ? y ? z, x y z ) ?2w ?? ?? ? f12 ? x y ? f 22 ? x y ? x? z 2 f ?z f ?? ? y f ? 2 f ?? ?? ? ? f11 ? ,y引入记号 ? ?x? ( x ? z ) f12 f y ,22f ?? ? 2 ,? 为简便起见 1 12 ?u ?u ?v
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例5. 设
极坐标系下的形式

二阶偏导数连续,求下列表达式在

解: 已知

,则

u
?u ?u ?r ? (1) ? x ?r ? x

r ?

x yx y

y (当? 在二、三象限时, ? ? arctan ? ? ) x
?u ?u sin ? ? cos? ? ?r ?? r
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?u ?u ?r ?u ?? ? ? ? y ?r ? y ?? ? y

? r y ?? ? , ?y r ?y

1 x ? y 2 1? ( x )

?

x x ?y
2 2

?

?u y ?u x ? ? ?r r ?? r 2 ?u ?u cos? ? sin ? ? ?r ?? r ?u 2 ?u 2 ?u 2 1 ?u 2 ( ) ?( ) ?( ) ? 2 ( ) ?x ?y ?r r ??
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u
r ?

x yx y

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?u ?u ? u sin ? 已知 ? cos? ? ?x ? r ?? r
? 2u

? ?u sin? ? ?u ? ?u r ? ) ( 2) ? (( ) ) ?cos ? ? ( ? r ?? ? x ? x 2 ?r ?x ?x ?x x yx y ? ?u ?u sin ? ? ( cos? ? ) ? cos? 注意利用 ?r ?r ?? r 已有公式 ?u sin ? sin ? ? ?u cos? ? ? ( )? ?? r ?? ?r r

?u u ?x

2
?u 2 sin ? cos? ?u sin 2 ? ? ? ?r r ?? r2
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? 2u ?x2

同理可得

? u 2 sin ? cos? ? u sin 2 ? ? ? 2 ?? ?r r r

? 2u ? 2u 2 ? 2u sin ? cos? ? 2u cos 2 ? sin ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ?r?? r ?y ?r ?? r2 ?u 2 sin ? cos ? ?u cos 2 ? ? ? 2 ?? ?r r r 2 1 ? 2u ? 2u ? 2u ? u ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?r r ?? ?x ?y ? ?u ? 2u 1 ? 2 ?r (r ) ? 2 ? ?r ?r ?? r
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z ? f (? ( x, y ) , ? ( x, y ) ) 的全微分为 ?z ?z dz ? dx ? d y ?x ?y ? z ?u ? z ?v ? ( ? ? ? )dy ?u ? y ?v ? y ?u ?u ?v ?v ( dx ? d y ) ( dx ? d y ) ?x ?y ?x ?y

du

dv

可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达

形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z ? d( eu sin v )

? e cos v dv
u

d (x y)
( yd x ? xd y)

d ( x ? y) (dx ? d y ) dy

? e x y [ y sin( x ? y ) ? cos(x ? y)]d x
所以 例1 . z ? eu sin v, u ? x y, v ? x ? y, 求 ? z , ? z . ?x ? y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则

“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u

? ?1 ;
2. 全微分形式不变性

? ?2 x y v

x y

不论 u , v 是自变量还是因变量,

d z ? f u (u , v) d u ? f v (u , v) d v
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思考与练习
1.

?z ?z ? ?v ? x

?z ? ?y

?1
y?x u ? 2 2 ? 2 x ?y u ? v2 ……
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? (?1)

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2.

?u ? f1? ?x ?u ? f1? ?y ?u ? ? f2 ?z

1 ? f1? y

? ? f2

x 1 ? ? 2 f1? ? f 2? z y

y ? ? 2 f 2? z

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3.

?z ? f1? ?x
?2 z ? ? x? y

? ? f2
?? ? f 11 ?? ?? ? f 21 ? f 23 ?? ? f 13

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备用题
1. 已知 求

解: 由

两边对 x 求导, 得

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2. 设函数

在点

f (1,1) ? 1,

?f ?x

? 2,
(1,1)

处可微 , 且 ?f ? 3, ? y (1,1)
(2001考研)

? ( x) ? f ( x, f ( x, x)) , 求
d 3 d? 2 ? ( x) ? 3? ( x ) x ?1 dx dx x ? 1 ? 3 ? f1?( x, f ( x, x))

解: 由题设 ? (1) ? f (1, f (1,1) ) ? f (1,1) ? 1

? 3 ? ? 2 ? 3 ? (2 ? 3) ? ? 51
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? ? f 2 ( x, f ( x, x))?

??

x ?1
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