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【Word版题库】4.5 和角公式、倍角公式与半角公式

时间:2015-05-30


4.5 和角公式、倍角公式与半角公式
一、选择题 1.若 cos(x+y)cos ( x ? y) ? 1 ? 则 cos 2 x ? sin 2 y 等于 3 A. ? 1 3 B. 1 3 C. ? 2 3 ( ) D. 2 3

解析 由 cos ( x ? y) ? cos ( x ? y) ? 1 ? 得 3 (cosxcosy-sinxs

in y ) ? ( cosxcosy+sinxsin y ) ? 1 . 3 ∴cos 2 x ? cos 2 y-sin 2 x ? sin 2 y ? 1 . 3 ∴cos 2 x ? (1 ? sin 2 y) ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 y ? 1 . 3 整理得 cos 2 x ? sin 2 y ? 1 . 3 答案 B π? 4 ? 2.若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 sin?α + ?等于( 4? 5 ? 7 2 A.- 10 B. 7 2 10 C.- 2 10 D. 2 10

).

π? 3 π π ? 解析 由已知得 sin α =- ,∴sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = 4? 5 4 4 ? 2? 4 3? 7 2 ?- - ?=- . 2 ? 5 5? 10 答案 A 5π 1 θ 3.设 <θ <3π ,且|cosθ |= ,那么 sin 的值为( 2 5 2 A. 10 5 15 5 C ∵ 5π 1 <θ <3π ,∴cosθ <0,∴cosθ =- . 2 5 B.- D. 15 5 ) 10 5

C.- 答案 解析

5π θ 3π θ ∵ < < ,∴sin <0, 4 2 2 2

又 cosθ =1-2sin ∴sin θ 15 =- . 2 5

2

θ 1-cosθ 3 2θ ,∴sin = = , 2 2 2 5

4.已知 α ,β 都是锐角,若 sin α = π A. 4 π 3π C. 和 4 4

5 10 ,sin β = ,则 α +β = ( 5 10 B. 3π 4 π 3π 和- 4 4

).

D.-

解析 由 α , β 都为锐角, 所以 cos α = 1-sin2α =

2 5 , cos β = 1-sin2β 5

3 10 2 = .所以 cos(α +β )=cos α ·cos β -sin α ·sin β = ,所以 α + 10 2 β = π . 4

答案 A 5 .若 0 < α < β ? ? cos?α + ?=( 2? ? A. 3 3 π π 3 ?π ? 1 ?π β ? ,- < β < 0 , cos ? +α ? = , cos ? - ? = ,则 4 4 2 2 2 3 ? ? 3 ? ? ). B.- D.- 3 3 6 9

5 3 C. 9

β ? ? ??π ? ?π β ?? 解析 对于 cos ?α + ?=cos?? +α ?-? - ??= 2? 2 ?? ? ?? 4 ? ?4 ?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ?, 2? 2? ?4 ? ?4 ?4 ? ?4 π ?π 3π ? π β ?π π ? 而 +α ∈? , ?, - ∈? , ?, 4 ? 4 2? 4 2 ?4 ?4 6 ?π ? 2 2 ?π β ? 因此 sin? +α ?= ,sin? - ?= , 2? 3 3 ?4 ? ?4

β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? 则 cos?α + ?= × + × = . 2? 3 3 3 3 9 ? 答案 C π? 1 π 2sin2α +sin 2α ? 6.已知 tan?α + ?= ,且- <α <0,则 等于( 4? 2 2 π? ? ? cos?α - ? 4? ? 2 5 A.- 5 3 10 C.- 10 π ? tan α +1 1 ? 解析 由 tan?α + ?= = , 4 ? 1-tan α 2 ? 1 π 得 tan α =- .又- <α <0, 3 2 所以 sin α =- 10 . 10 α +cos α α +cos α =2 2sin α =- 2 5 . 5 B.- D. 3 5 10 ).

2 5 5

2sin2α +sin 2α 2sin α 故 = π? ? 2 cos?α - ? 4? ? 2 答案 A

π? 7π ? 4 3 ? ? 7.已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是( 6? 6 ? 5 ? ? 2 3 A.- 5 B. 2 3 6 C.- 4 5 D. 4 5

).

π? 4 3 3 3 ? 解析 cos?α - ?+sin α = ? sin α + cos α 6? 5 2 2 ? π? 4 4 3 ? = ? sin?α + ?= , 6? 5 5 ? 7π ? π? 4 ? ? 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 6 ? 6? 5 ? ? 答案 C 二、填空题 8.设 ? 是第二象限的角,tan ? ? ? 4 ? 且 sin ? ? cos ? ? 则 cos ? ? 3 2 2 2 .

解析 ∵ ? 是第二象限的角, ∴ ? 可能在第一或第三象限. 2 又 sin ? ? cos ? ? ∴ ? 为第三象限的角. 2 2 2 ∴cos ? .∵tan ? ? ? 4 ? 2 ?0 3 ∴cos ? ? ? 3 .∴cos ? ? ? 1 ? cos? ? ? 5 . 2 2 5 5 答案
? 5 5 9.设函数 f(x)=sinx+cosx,f ′(x)是 f(x)的导数,若 f(x)=2f ′(x),则

sin2x-sin2x =________. cos2x 解析 ∵f(x)=sinx+cosx,

∴f ′(x)=cosx-sinx, 由 f(x)=2f ′(x)得 sinx+cosx=2(cosx-sinx), 1 ∴tanx= , 3 sin2x-sin2x sin2x-2sinxcosx ∴ = cos2x cos2x 1 1 5 =tan2x-2tanx=( )2-2× =- . 3 3 9 答案 - 5 9

10.函数 f(x)=2cos2x+sin 2x 的最小值是________. π? ? 解析 ∵f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin?2x+ ?, 4? ? ∴f(x)min=1- 2. 答案 1- 2 11.化简 1-tan
2

-α -α

·

sin α cos α =________. cos2α -sin2α

1 sin 2α 2 1 解析 原式= tan(90°-2α )· 2 cos 2α

1 = 2

-2α -2α

1 sin 2α 2 · cos 2α

1cos 2α 1sin 2α 1 = · = . 2sin 2α 2cos 2α 4 答案 1 4

1 3 12.若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β =________. 5 5 1 解析 由已知,得 cos α cos β -sin α sin β = , 5 3 2 1 cos α cos β +sin α sin β = ,则有 cos α cos β = ,sin α sin β = , 5 5 5 sin α sin β 1 1 = ,即 tan α tan β = . cos α cos β 2 2 答案 1 2

三、解答题 1-tan x ?π ? 5 ?π 3π ? 13.已知 sin? +x?= ,且 x∈? , ?,求 . 4 ? 1+tan x ?4 ? 13 ?4 π ?π 3π ? ?π ? 解析 ∵x∈? , ?,∴ +x∈? ,π ?, 4 4 2 4 ? ? ? ? 12 ?π ? ∴cos? +x?=- , 4 13 ? ? 5 ?π ? ∴tan? +x?=- , 12 ?4 ? 1-tan x ∴ = 1+tan x 1 π? ? tan?x+ ? 4? ? =- 12 . 5

14.已知函数 f ( x) ?

4cos 4x ? 2cos2x ? 1 . tan( ? ? x)sin 2( ? ? x) 4 4

(1)求 f (? 17? ) 的值; 12 (2)当 x ?[0? ? 时,求 g ( x) ? 1 sin2x 的最大值和最小值. 2 f ( x) ? 2]

解析

f ( x) ?

4cos 4x ? 2cos2x ? 1 tan( ? ? x)sin 2( ? ? x) 4 4

4(1 ? cos2x )2 ? 2cos2x ? 1 2 ? ? tan( ? x)cos 2( ? ? x) 4 4

cos 22x ? 2 cos2x. sin( ? ? x)cos( ? ? x) 4 4 ? (1) f (? 17? ) ? 2 cos 17? ? 2 cos 56 ?? 3. 12 6 ?

(2) g ( x) ? 1 f ( x) ? sin2x=cos2x+sin2x ? 2 sin (2 x ? ? )? 2 4
因为 x ? [0? ? ]? 2 所以 ? ? 2 x ? ? ? 5? . 4 4 4 因此 g ( x)max ? 2? g ( x)min ? ?1. ?π B? 15.在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B·sin2? + ?+ 3cos 2B ? 4 2? -2cos B. (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?π ? 1-cos? +B? ?2 ? 解析 (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2 =2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B π? ? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+ ?. 3? ? π? π π 7 ? ∵f(B)=2,∴2sin?2B+ ?=2, <2B+ < π , 3? 3 3 3 ? ∴2B+ π π π = .∴B= . 3 2 12

π? ? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+ ?>2+m 恒成立. 3? ?

π? ? ∵0<B<π ,∴2sin?2B+ ?∈[-2,2],∴2+m<-2. 3? ? ∴m<-4. 16.(1)①证明两角和的余弦公式 C(α +β ):cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β ; ②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ):sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 3 ? 4 1 ? ?π ? (2)已知 cos α =- ,α ∈?π , π ?,tan β =- ,β ∈? ,π ?, 2 ? 5 3 ? ?2 ? 求 cos(α +β ). 解析 (1)证明①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α ,β 与- β ,使角 α 的始边为 Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3,角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cos α ,sin α ),P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(- β ),sin(-β )). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1]2+sin2(α +β )=[cos(-β )-cos α ]2+[sin(-β )-sin α ]2,展开并整理,得 2-2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ). ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β . ?π ? ②由①易得,cos? -α ?=sin α , ?2 ? ?π ? sin? -α ?=cos α . ?2 ? ?π sin(α +β )=cos ? - ?2 ??π ? =cos?? -α ?+ ?? 2 ? -β α +β ? ? ? ? ? ?

?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ? =sin α cos β +cos α sin β . ∴sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β .

3 ? 4 3 ? (2)∵α ∈?π , π ?,cos α =- ,∴sin α =- . 2 5 5 ? ? 1 ?π ? ∵β ∈? ,π ?,tan β =- , 3 ?2 ? ∴cos β =- 3 10 10 ,sin β = . 10 10

cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β 10 3 10 ? 4? ? 3 10? ? 3? ?-?- ?× =?- ?×?- = . 10 10 ? ? 5? 10 ? 5? ?


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