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《概率论与数理统计》期末试题答案(2011)

时间:2015-06-23


南京大学工程管理学院 2010 级 2011—2012 学年第一学期

专业

《概率论与数理统计》期末试卷 A 答案
注 : ?(1) ? 0.8413 , ?(1.5)=0.9332 , ?(3.1) ? 0.999 , t0.05 (16) ? 1.7459 ,

t0.025 (16) ? 2.1199 , F0.05 (2, 25) =3.39 , F0.025 (2, 25) =4.29
以下每题 10 分。 1. 病树的主人外出,委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的概率为 0.8。若浇水, 则死去的概率为 0.15,有 0.9 的把握确定邻居会记得浇水。 (1)求主人回来树还活着 的概率。 (2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率。 解: (1)记 A 为事件“树还活着” ,记 W 为事件“邻居记得给树浇水” ,即有

P(W ) ? 0.9 , P(W )=0.1, P( A | W )=0.85 , P( A | W ) ? 0.2 ,

P( A) ? P( A | W ) P(W ) ? P( A | W ) P(W ) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.785
(2)

P(W | A) ?

[1 ? P( A | W )]P(W ) 0.8 ? 0.1 ? ? 0.372 . 1 ? P( A) 0.215

0, x ? ?a ? ? 2. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ? A ? B arcsin( x / a ), ? a ? x ? a , (1) 求 A 和 B; (2) ? 1, x?a ?
X 的密度函数。
解: (1)因为 F ( x) 在 x ? ? a 处右连续,而 F (a ? 0) ? 1 , F (?a ? 0) ? A ? π ? B / 2 。 且由题设条件 F (a) ? A ? π ? B / 2 , F (?a) ? 0 ,于是,由分布函数的右连续性得

A ? π ? B / 2 ? 1 , A ? π ? B / 2 ? 0 ,解之得, A ? 1/ 2 , B ? 1/ π 。
(2)在 (?a, a) 内求导得,密度函数 F ?( x) ?

1 π a2 ? x2

,其他地方为 0.

3. 设 X 、 Y 相互独立,分别服从 N (0,1) ,试求 Z ? X / Y 的密度函数。 解:由题设条件,有

fZ ( z) ? ? | y |
??

??

1 ? ( z 2 y 2 ? y 2 )/2 e dy 2π
1

?

2 ?? ? y 2 (1? z 2 )/2 1 1 ye dy ? ? ? 2π 0 π 1? z2

?

??

0

?d(e ? y

2

(1? z 2 )/2

)

1 1 ? y 2 (1? z 2 )/2 ? 1 ?? ? e |0 ? , ?? ? z ? ?? 。 X / Y 服从哥西分布。 2 π 1? z π(1 ? z 2 )

4. 设随机变量 X1, ,X m?n ( n ? m )相互独立,同分布且均值为零,方差有限非零,记

S ? X1 ?

? X n , T ? X m?1 ?

? X m?n ,求 S 和 T 的相关系数 ? ST 。

2 解: EX k ? 0 , DX k ? ? 2 ,则 EX k ? DX k ? ? 2 。由于相互独立,故当 k ? l 时,
n m? n

E( X k X l ) ? EX k ? EX l ? 0 , DS ? D(? X k ) ? n? 2 ,
k ?1

DT ? D( ? X l ) ? n? 2 ,
l ? m ?1 2 k

cov(S , T ) ? E[(? X k )( ? X l )] ? ?
k ?1 l ? k ?1

n

m? n

n

m? n

k ?1 l ? m ?1

? E( X

k

Xl ) ?

k ? m ?1

? EX ? ? E( X X
l ?k l

n

k

) ? (n ? m)? 2

从而 ?ST ?

cov(S , T ) (n ? m)? 2 n?m 。 ? ? n DS DT n? 2 n? 2

5. 某车间有 200 台车床,它们独立地工作着,开工率各为 0.6, 开工时每台车床需耗电 5 千 瓦。问供电所至少需要供给这个车间多少电力,才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供 电不足而影响生产? 解:把一台车床工作与否看作一次贝努里试验。要得出恰当的用电量,我们应求出某时 刻车间里同时工作的车床台数 r ,使
k P{?200 ? r} ? ? C200 ?0.6k ? 0.4200?k ? 0.999 k ?0 r

P{?200 ? r} ? P{0 ? ?200 ? r} ? ?(
? ?(

r ? 200 ? 0.6 0 ? 200 ? 0.6 ) ? ?( ) 200 ? 0.6 ? 0.4 200 ? 0.6 ? 0.4

r ? 120 r ? 120 ) ? ?(?17.32) ? ?( ) ? 0.999 ,查表得 ?(3.1) ? 0.999 ,故应有 48 48

(r ? 1 2 0 ) / ? 4 8 ,所以 3 . 1 r ? 141 。因此至少供应 141? 5 ? 705 千瓦的电力,车间
由于供电不足而影响生产的可能性小于 0.001.

) 随 机 抽 一 容 量 为 5 的 样 本 X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 6. 在 总 体 N ( 1 2 , 4 中 . 5求 概 率

P{max{X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5} ? 15} , P{min{X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5} ? 10} 。
2

解:因 X i 的分布为 ? (

x ? 12 ) ,故 M ? max{X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5} 的分布函数为 2

FM ( x) ? [? (

x ? 12 5 )] ,因而, P{max{X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5} ? 15} ? P{M ? 15} 2

15 ? 12 5 ? 1 ? P{M ? 15} ? 1 ? FM (15) ? 1 ? [?( )] ? 1 ? 0.93325 ? 0.2923 。 2
记 N ? min{X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5} ,则 N 的分布函数为

FN ( x) ? 1 ? [1 ? ? (

x ? 12 5 10 ? 12 5 )] ,故 P{N ? 10} ? 1 ? [1 ? ?( )] ? 1 ? [1 ? ?(?1)]5 2 2

? 1 ? [?(1)]5 ? 1 ? 0.84135 ? 0.5785 。
?2(a ? x) / a 2 , 0 ? x ? a ? 0, 其他

7.对容量为 n 的子样,求密度函数 f ( x, a) ? ? 解: (1)由 EX ?

中参数 a 的矩估计量;

?

a

0

? / 3 ? X ,所以 a 的 x ? 2( a ? x) / a2 dx ? a / 3 ,得矩估计方程为 a

? ? 3X 。 矩估计量为 a

8. 设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自均值为 ? 的指数分布总体的样本,其中 ? 未知。设有估计量

1 1 T1 ? ( X 1 ? X 2 ) ? ( X 3 ? X 4) 6 3 T3 ?



1 T2 ? ( X 1 ? X 2 ? 2 X 3 ? X 4 ) 5



1 ( X1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 ) 。 (1)指出 T1 , T2 , T3 中哪几个是 ? 的无偏估计量。 (2)在上述 ? 4

的无偏估计中指出哪一个较为有效。
2 解:已知对于均值为 ? 的指数分布总体 X ,有 E ( X ) ? ? , D( X ) ? ? ,于是,

E( X i ) ? ? , D( X i ) ? ? 2 , i ? 1, 2,3, 4 ,所以
E(T1 ) ? ? / 3 ? 2? / 3 ? ? , E(T2 ) ? ? , E(T3 ) ? ? ,
D(T1 ) ? 1 1 2? 2 2? 2 5 2 D( X 1 ? X 2 ) ? D( X 3 ? X 4 ) ? ? ? ? 36 9 36 9 18
3

D(T2 ) ?

1 7 (3? 2 ? 4? 2) ? ? 25 25

2

D(T3 ) ?

1 4 4 1 D( X i ) ? ? 2 ? ? 2 ? 16 i ?1 16 4

统计量 T3 最有效。 9. 为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置, 试验了三个方案, 观察领航员在紧急情况的 反应时间(以 0.1 秒计)随机地选择 28 名领航员,得到他们对于不同布置方案的反应时间 如下: 方案 I 方案 II 方案 III 14 10 11 13 12 5 9 7 9 15 11 10 11 8 6 13 12 8 14 9 8 11 10 7 13 9 10 9

试给出方差分析表,并在显著性水平 0.05 下检验各个方案的反应时间有无显著差异。 解:记第 i 种方案为 Ai ,i ? 1, 2,3 。各个方案构成的总体平均反应时间为 ?1 ,?2 ,?3 。 则所述问题为:在显著性水平 ? ? 0.05 下,检验假设

H0 : ?1 ? ?2 ? ?3 , H1 : ?1 , ?2 , ?3 不全相等。

T?1 ? 100 ,T?2 ? 120 ,T?3 ? 64 , 本题中,n1 ? 8, n2 ? 12 , n3 ? 8 ,n ? 28 ,s ? 3 ,
2 T?? ? 284 , ST ? ?? xij ? T??2 / n ? 3052 ? 2842 / 28 ? 171.43 , j ?1 i ?1 3 ni

2 S A ? ?T? 2 j / n j ? T?? / n ? 2962 ? 2880.57 ? 81.43 , SE ? ST ? S A ? 90 , j ?1

3

方差分析表为 方差来源 因素 A 误差 E 总和 T 平方和 81.43 90 171.43 2 25 27 自由度 均方 40.715 3.6
F比 (? =0.05)
S A / SE ? 11.3

(2, 25) =3.39 , F比 =11.3>3.39 。故在显著性水平 ? ? 0.05 下拒绝 H 0 ,认为差异是 因 F0.05
显著的。

4


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