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四川省资阳市2015届高三第二次诊断性考试数学(文)试题 Word版含答案


资阳市高中 2012 级第二次诊断性考试

数 学(文史类)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 。第Ⅰ 卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 3 至 4 页。满 分 150 分。考试时间 120 分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸 上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷 (

选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数 m2 ? 1 ? (m ? 1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 (A)-1 (C) ?1 (B)1 (D) ?2

2.集合 M ? {x |1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 (A) [2, ??) (C) [1, ??) 3.抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点到其准线的距离是 (A) (B) (2, ??) (D) (1, ??)

1 4

(B)

1 2

(C) 1

(D) 2

4. “ a ? 2 ”是“直线 (a2 ? a) x ? y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 互相平行”的 (A) 充要条件 (C)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

1 5.设 a ? log 1 2 , b ? log 2 3 , c ? ( )0.3 ,则 a,b,c 大小关系为 2 3
(A) a ? b ? c (C) b ? c ? a 6.已知双曲线 (A) y ? ?2 x (B) a ? c ? b (D) c ? a ? b

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a 2 b2
(B) y ? ?
2 x 2

1 (C) y ? ? x 2

(D) y ? ? 2 x

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?0 ? x ? 2, 7.在不等式组 ? 所表示的平面区域内任取一点 P,则点 P 的坐标(x,y)满足 x ? 2 y ? 0 ?0 ? y ? 2

的概率为 (A) (C)

3 4 1 2

(B) (D)

2 3 1 4

8.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 (A) (C)
3 3 2
3 2

(B) 3 (D) 0
|a| ? ? ? ,a+b 与 b 的夹角为 ,则 |b| 3 4

9.已知 a、b 为平面向量,若 a+b 与 a 的夹角为
3 3 6 3

(A) (C)

(B) (D)

5 3 6 2

?1 ? ? 2 x,0 ? x ? 1, 1 ,2 ) 时, f ( x) ? ? 2 10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? [0 函 2 | ? 1? | x ? 3 2 , 1 ? x ? 2. ?? 2
数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? m .若 ?s ? [?4, ?2) , ?t ? [?4, ?2) ,不等式 f (s) ? g (t ) ? 0 成立,则 实数 m 的取值范围是 (A) (??, ?12] (C) (??,8] (B) (??, ?4] (D) (??,

31 ] 2

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第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.不等式

2x ? 1 的解集为_________. x?2

12.某年级有 1000 名学生,现从中抽取 100 人作为样本,采用系统 抽样的方法, 将全体学生按照 1~1000 编号, 并按照编号顺序平 均分成 100 组(1~10 号,11~20 号,?,991~1000 号).若从 第 1 组抽出的编号为 6,则从第 10 组抽出的编号为______. 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为______. 14. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 相交于 A、 B 两点, 则 CA ? CB =____. 15.已知函数 f ( x) ,若对给定的△ ABC,它的三边的长 a, b, c 均在函数 f ( x) 的定义域内,且
f (a), f (b), f (c) 也为某三角形的三边的长,则称 f ( x) 是 “保三角形函数”,给出下列命题:

① 函数 f ( x) ? x 2 ? 1 是“保三角形函数”; ② 函数 f ( x) ? x ( x ? 0) 是“保三角形函数”; ③ 若函数 f ( x) ? kx 是“保三角形函数”,则实数 k 的取值范围是 (0, ??) ; ④ 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,值域为 (0, ??) ,则 f ( x) 是“保三角形函数”. 其中所有真命题的序号是_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? (2cos x ? sin x) ? cos2 x . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )设

?
4

?? ?

?
2

,且 f (? ) ? ?

5 2 ,求 sin 2? 的值. 13

高二数学答案 第 3 页(共 9 页)

17.(本小题满分 12 分) 在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制成 如图所示的茎叶图: (Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪 位?请运用统计学的知识说明理由; (Ⅱ)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个,求选到的分数 中至少有一个大于 85 分的概率.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 S-ABCD 中,侧面 SAD 是正三角形,底面 ABCD 是 正方形,且平面 SAD⊥平面 ABCD,M、N、O 分别是 AB、SC、 AD 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 SAD; (Ⅱ)求证:平面 SOB⊥平面 SCM.

19.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 {bn } 是等比数列, 满足 a1 ? 2 ,b1 ? 1 , b2 ? S2 ? 8 ,
a5 ? 2b2 ? a3 .

(Ⅰ )求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
?an , n 为奇数, (Ⅱ )令 cn ? ? 设数列 {cn } 前 n 项和为 Tn ,求 T2 n . ?bn , n 为偶数,

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (其中 a ? R ,e 是自然对数的底数,e=2.71828?) . (Ⅰ)当 a ? e 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 3 x2 y 2 已知椭圆 Ω: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且经过点 (1, ) . 2 a b (Ⅰ )求椭圆 Ω 的方程; (Ⅱ )A 是椭圆 Ω 与 y 轴正半轴的交点, 椭圆 Ω 上是否存在两点 M、N,使得△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

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资阳市高中 2012 级第二次诊断性考试 (数学学科)参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题:BACCB,DADCC. 二、填空题:11. {x | ?2 ? x ? 2} ;12. 96;13. 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x
8 ;14.-4;15. ②③. 3

高二数学答案 第 5 页(共 9 页)

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ) ,·

故函数 f ( x) 的最小正周期是 π. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由 f (? ) ? ? 因为
5 2 ? 5 2 ? 5 ,即 2 sin(2? ? ) ? ? ,得 sin(2? ? ) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · 7分 13 4 13 4 13

?
4

?? ?

?
2

,所以

3? ? 5? ? 12 ,可得 cos(2? ? ) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2? ? ? 4 4 4 4 13

2 ? 2 ? ? ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) · 则 sin 2? ? sin[(2? ? ) ? ] ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 2 4 2 4 4 4


? 2 5 2 12 7 2 ? (? ) ? ? (? ) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 2 13 2 13 26

分 17.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)学生甲的平均成绩 x甲 ? 学生乙的平均成绩 x乙 ?
68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 ? 82 , 6

71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 ? 82 , 6

1 又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 , 6 1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82)2 ] ? 6 3
则 x甲 ? x乙 , s 2甲 ? s 2乙 , 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知 识竞赛. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 注:(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.(可给 2 分) (2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在 80 分左右,其分布对称,乙的平均成绩在 80 分 左右,但总体成绩稳定性较好,故应选择乙同学.(可给 4 分) (Ⅱ) 从学生甲的成绩中随机选择 2 个, 其基本事件有(68,76), (68,79), (68,86), (68,88), (68,95), (76,79), (76,86), (76,88), (76,95), (79,86), (79,88), (79,95), (86,88), (86,95), (88,95), 共有 15 个,其中选到的分数中至少有一个大于 85 分的事件有 12 个, 故所求的概率 P ? 分 18. (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)如图,取 SD 的中点 R,连结 AR、RN,
12 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 ? .· 15 5

高二数学答案 第 6 页(共 9 页)

则 RN∥CD,且 RN=

1 CD,AM∥CD, 2

所以 RN∥AM,且 RN=AM, 所以四边形 AMNR 是平行四边形, 所以 MN∥AR,由于 AR ? 平面 SAD,MN 在平面 SAD 外, 所以 MN∥平面 SAD. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)如图,设 OB∩CM=H,由 SO⊥AD,面 SAD⊥面 ABCD, 所以 SO⊥平面 ABCD,所以 CM⊥SO, 易得△ABO≌△BCM,所以∠ABO=∠BCM, 则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°, 所以 CM⊥OB, 所以 CM⊥平面 SOB,因为 CM ? 平面 SCM, 所以平面 SOB⊥平面 SCM. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,数列 {bn } 的公比为 q,则
?b2 ? S2 ? 8, ?q ? 4 ? d ? 8, ? d ? 2, 由? 得? 解得 ? ? q ? 2, ?a5 ? 2b2 ? a3 , ?2 ? 4d ? 2q ? 2 ? 2d ,

所以 an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n , bn ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
?2n, n 为奇数, (Ⅱ)由(Ⅰ),得 cn ? ? n?1 ?2 , n 为偶数,

T2n ? (c1 ? c3 ?

? c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ?

? c2n )

? [2 ? 6 ?

? (4n ? 2)] ? (2 ? 23 ?

? 22n?1 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

?

n(2 ? 4n ? 2) 2(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

2 2 ? 2n2 ? ? 4n ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 3 3

分 20.(本小题满分 13 分) 解析:(Ⅰ) 当 a ? e 时, f ( x) ? e x ? ex ? e , f ?( x) ? e x ? e , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?e ,函数 f ( x) 无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)由 f ( x) ? e x ? ax ? a , f ?( x) ? e x ? a ,
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若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,当 x 趋近于负无穷大时, f ( x) 趋近于负无 穷大; 当 x 趋近于正无穷大时,f ( x) 趋近于正无穷大, 故函数 f ( x) 存在唯一零点 x0 , 当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 .故 a ? 0 不满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 若 a ? 0 , f ( x) ? e x ? 0 恒成立,满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (??,ln a) 上单调递减, 在 (ln a, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? ln a 处 取得极小值 f (ln a) ? eln a ? a ? ln a ? a ? ?a ? ln a ,由 f (ln a) ?0 得 ? a ? ln a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 . 综上,满足 f ( x) ? 0 恒成立时实数 a 的取值范围是 [0,1] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 21.(本小题满分 14 分)
?a 2 ? b 2 ? 3, ? 解析 (Ⅰ)由题 ? 1 解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 1 . 3 ? ? 1, ? 2 4b 2 ?a

所以椭圆 Ω 的方程为

x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y2 ? 1 . · 4

(Ⅱ)由题意可知,直角边 AM,AN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 AM 所在直线的方
1 程为 y ? kx ? 1 ,不妨设 k ? 0 ,则直线 AM 所在的方程为 y ? ? x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k
? y ? kx ? 1, 8k 联立方程 ? 2 消去 y 整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 ,解得 xM ? ? ,· · · · ·6 分 2 1 ? 4k 2 ? x ? 4 y ? 4,

将 xM ? ?

?8k 2 8k ?8k 2 8k y ? kx ? 1 代入 可得 ,故点 y ? ? 1 M ( ? , ? 1) . M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
8k 2 8k 2 2 8k 1 ? k 2 ) ? ( ? ) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 AM ? (?

同理可得 AN ? 分

8 1? k2 ,由 AM ? AN ,得 k (4 ? k 2 ) ? 1 ? 4k 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 4?k2

所以 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,则 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ? 分 当 AM 斜率 k ? 1 时,AN 斜率 ?1 ;当 AM 斜率 k ? 当 AM 斜率 k ?
3? 5 ?3 ? 5 时,AN 斜率 . 2 2

3? 5 .· · · · · · · · · 13 2

3? 5 ?3 ? 5 时,AN 斜率 ; 2 2

综上所述,符合条件的三角形有 3 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14
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