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三角形的必备知识和典型例题及详解


三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2 +b2 =c2 。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB=

,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(R 为外接圆半径) ______________ _________________

公式的变形:______________________

(3) 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍

a2 =b2 +c2 -2bccosA;
3.三角形的面积公式:

b2 =c2 +a2 -2cacosB;

c2 =a2 +b2 -2abcosC。

1 1 1 aha = bhb = chc (ha 、hb 、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1) S ? = 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有 一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角 形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第 1、已知三边求三角. 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

1

5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。 (1)角的变换 因为在△ABC 中, A+B+C=π , 所以 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC; tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的 形式. 6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; (4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型 1:正、余弦定理 例 1. (1)已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 0 , C ? 30 0 , 求a, b和B (2) ?ABC中,c ?

6 , A ? 45 0 , a ? 2, 求b和B, C

b c c sin B 1 ? sin 60 0 1 解: (1)解:∵ ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 60 0 ,? C ? B, C为锐角, ? C ? 30 0 , B ? 90 0
∴a ?

b2 ? c2 ? 2
a c c sin A ? ,? sin C ? ? sin A sin C a 6 ? sin 45 0 3 ? 2 2

(2)?

? c sin A ? a ? c,? C ? 60 0 或120 0
?当C ? 60 0 时,B ? 75 0 , b ? c sin B 6 sin 75 0 ? ? 3 ? 1, sin C sin 60 0

c sin B 6 sin 15 0 ?当C ? 120 时,B ? 15 , b ? ? ? 3 ?1 sin C sin 60 0
0 0

2

? b ? 3 ? 1, B ? 75 0 , C ? 60 0 或 b ? 3 ? 1, B ? 15 0 , C ? 120 0
点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的 情形; 题型 2:三角形面积 例 2.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ? 面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的 2

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

又 0? ? A ? 180? , ? A ? 45 ? 60 , A ? 105 .

? tan A ? tan(45 ? 60 ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

2? 6 . 4

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

题型 3:三角形中的三角恒等变换问题 例 3.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,
2 2

且 a -c =ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B c

的值。

分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可

b2 b sin B 用余弦定理。由 b =ac 可变形为 =a,再用正弦定理可求 的值。 c c
2

解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2 =ac。 又 a2 -c2 =ac-bc,∴b2 +c2 -a2 =bc。

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 在△ABC 中,由余弦定理得:cosA= = = , 2bc 2bc 2

3

∴∠A=60°。 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB = ∠A=60°,

b sin A ,∵b2 =ac, a

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ∴ =sin60°= 。 c ac 2
解法二:在△ABC 中, 由面积公式得
2

1 bcsinA= 1 acsinB。 2 2
2

∵b =ac,∠A=60°,∴bcsinA=b sinB。 ∴ b sin B =sinA= 3 。
c
2

评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。 题型 4:正、余弦定理判断三角形形状 例 4.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sinC =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ∴sin(A-B)=0,∴A=B 另解:角化边 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径 题型 5:三角形中求值问题 例 5. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 大值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π ,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2 cosA+2cos B+C A A A A 1 3 =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2 + ; 2 2 2 2 2 2 2 B.直角三角形 D.等边三角形 )

B?C 取得最 2

当 sin

A 1 π B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

4

点评: 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 通过三 角函数的性质求得结果。 题型 6:正余弦定理的实际应用 例 6. (2009 辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为
0

750 ,30 0 ,

于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另 外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中,

ACsin60 ? 3 2? 6 AB AC ? , ? , ? 20 sin ?BCA sin ?ABC 即 AB= sin 15
3 2? 6 ? 0.33km 。 20

因此,BD=

故 B,D 的距离约为 0.33km。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变 换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题伸展,但也不可太难,只要掌握 基本知识、概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 三、思维总结 1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π ,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求

C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C。
5

2.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b 3.两内角与其正弦值:在△ABC 中,

? a ? cos C ? c ? cos A ,?

A ? B ? sin A ? sin B ,?

4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解” 。 三、课后跟踪训练 1.(2010 上海文数 18.)若△ ABC 的三个内角满足

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 解析:由 sin





(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13
5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11
2

由余弦定理得 cosc ?

2.(2010 天津理数 7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a

? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30 0 【答案】A (B) 600

) (C) 1200 (D) 1500

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R

b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 ? 所以 cosA= = ,所以 A=300 ? 2bc 2bc 2bc 2
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为 边运算。 3.(2010 湖北理数)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 C - 6 D 3 3

6 3

【答案】D 【 解 析】 根据 正弦 定理

a b 15 10 3 ? ? 可得 解 得 s i nB ? ,又因为 3 sin A sin B sin 60 s iB n
6

b ? a ,则 B ? A,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

6 ,故 D 正确. 3

4. (2010 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3 , A+C=2B, 则 sinC= .

解:由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,

1 3 ? ,即 sin A sin 60

sin A ?

1 .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 30 ? 60 ? 90 , sin C ? sin 90 ? 1
5 (2009 湖南卷文) 在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 的取值范围为 解析 .

AC 的值等于 cos A

, AC

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又0

? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,
2 3 , ? cos ? ? 2 2

故 30 ? ? ? 45 ?

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).
6.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、

c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C ,

求b

分析::此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件 (1) a
2

? c 2 ? 2b 左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而
sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚

对已知条件(2)

至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法:在 ?ABC 中则

sin A cos C ? 3cos A sin C , 由正弦定理及余弦定理
7

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 c, 有: a 2ab 2bc
(角化边) 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 a . b ? 4或b ? 0(舍) 7.解:由 cos(A ? C)+cosB=
2

? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得

3 及 B=π ? (A+C)得 2

cos(A ? C) ? cos(A+C)=

3 , 2

cosAcosC+sinAs inC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= 又由 b2 =ac 及正弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3 , 2

sinAsinC=

3 . 4

2 sin B ? s iA n

sC in

,



sin 2 B ?
B=

3 , 4

sin B?
又由

3 2



sin B??

3 (舍去) , 2
所以 B=

于是

π 2 π 或 B= . 3 3

b2 ? a c 知b ? a或 b ? c

π 。 3

8.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中,

A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为

a、b、c ,且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 解(I)∵

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ?

2 5 3 10 ,cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?


2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

0 ? A? B ??

,∴ A ? B ?

?
4

(II)由(I)知 C ? 3? ,∴ sin C ? 2 4 2 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴

a ? b ? 2 ?1

2b ? b ? 2 ?1



b ?1

8



a ? 2, c ? 5

9.(2010 陕西文数 17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
2 2 2 cos ? AD ? DC ? AC = 100 ? 36 ? 196 ? ? 1 , 2 ?10 ? 6 2 2 AD DC ADC=120 ° , ADB=60 ° ?? ?

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD , ? sin ?ADB sin B
3

∴AB= AD sin ?ADB 10sin 60? 10 ? 2 ? ? ?5 6
sin B sin 45? 2 2

10.(2010 辽宁文数 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即a
2

? b 2 ? c 2 ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A 1 故 cos A ? ? , A ? 120 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin 又 sin B ? sin C 因为 0? ?
2

A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C.
2

? 1 ,得 sin B ? sin C ? 1

B ? 90?,0? ? C ? 90? ,

故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 11.(2010 辽宁理数) (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.
9

解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得即 由余弦定理得 故

a2 ? b2 ? c2 ? bc

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
??6 分

1 cos A ? ? ,A=120° 2
sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

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