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高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式

一、学习任务 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程. 2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式, 体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函 数式的化简、求

值及恒等式证明. 二、知识清单
和差角公式 辅助角公式

三、知识讲解
1.和差角公式 描述: 两角差的余弦公式 对于任意角α,β 有cos(α ? β) = cos α cos β + sin α sin β,称为差角的余弦公式,简记C(α?β) . 两角和的余弦公式 对于任意角α,β 有cos(α + β) = cos α cos β ? sin α sin β,称为和角的余弦公式,简记C(α+β) . 两角和的正弦公式 对于任意角α,β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,称为和角的正弦公式,简记S (α+β) . 两角差的正弦公式 对于任意角α,β 有sin(α ? β) = sin α cos β ? cos α sin β,称为差角的正弦公式,简记S (α?β) . 两角和的正切公式 对于任意角α,β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α,β 有tan(α ? β) =

tan α + tan β ,称为和角的正切公式,简记T(α+β) . 1 ? tan α tan β tan α ? tan β ,称为差角的正切公式,简记T(α?β) . 1 + tan α tan β

为了方便起见,我们把S (α+β) ,C(α+β) ,T(α+β) 这三个公式都叫做和角公式.类似地,S (α?β) ,

C(α?β) ,T(α?β) 这三个公式都叫做差角公式.

例题: (1)已知 cos α = ? 4 (α 为第一象限角),求 cos( π + α) 的值;

5 6 π π 3 (2)已知 0 < α < ,且 cos(α + ) = ,求 α; 2 3 5 (3)求 cos 263 ? cos 203 ? + sin 83? sin 23? 的值. 4 解:(1)因为 cos α = ,且 α 为第一象限的角,所以 5

5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin α = √1 ? cos α = √1 ? ( ) = .所以, 5 5 cos( π π α + α) = cos cos α ? sin sin α 6 6 6 4 1 3 √3 = × ? × 2 5 2 5 4√3 ? 3 = . 10

π π π 5π π 3 ,所以 .又因为 cos(α + ) = ,所以 < α+ < 2 3 3 6 3 5 π 4 sin(α + ) = .所以 3 5
(2)因为 0 <

cos α = cos[(α +

π π )? ] 3 3 π π π π = cos(α + ) cos + sin(α + ) sin 3 3 3 3 3 1 4 √3 = × + × 5 2 5 2 3 + 4√3 = . 10

(3) 原式 = cos(180 ? + 83? ) cos(180 ? + 23? ) + sin 83? sin 23?

3 π π (α 为第一象限的角),求 sin( + α),sin( ? α) 的值; 5 3 3 (2)求 sin 155 ? cos 35? ? cos 25? cos 235 ? 的值. 3 解:(1)因为 sin α = ,且 α 为第一象限的角,所以 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? cos α = √1 ? cos2 α = √1 ? ( ) = .所以 5 5
(1)已知 sin α =

= (? cos 83? )(? cos 23? ) + sin 83? sin 23? = cos(83? ? 23? ) 1 = cos 60? = . 2

sin(

π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π ? α) = sin cos α ? cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × ? × 2 5 2 5 3 ? 4√3 = 10

sin(

(2)

原式 = sin(180 ? ? 25? ) ? cos 35? ? cos 25? cos(270 ? ? 35? )

= sin 25? cos 35? + cos 25? sin 35? = sin 60? √3 = . 2

求下列各式的值: (1)

√3 ? tan 15? ; 1 ? √3 tan 165 ? (2)tan 55? + tan 65? ? √3 tan 55? tan 65? ;
解:(1) 原式 =

tan 60? ? tan 15? 1 + tan 60? ? tan 15? = tan(60? ? 15? ) = tan 45? = 1.

(2)根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 ? tan α tan β) ,则有 原式 = tan 120 ? (1 ? tan 55? tan 65? ) ? √3 tan 55? tan 65?

= ?√3 (1 ? tan 55? tan 65? ) ? √3 tan 65? tan 55? = ?√3 .

2.辅助角公式 描述: 对于 f (x) = a sin x + b cos x(ab ≠ 0) 型函数,我们可以如此变形

? ? ? ? ? ? f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 (

a b sin x + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos x),令 (a, b) 为某一 2 √a2 + b √a2 + b 2 a b 角 φ 终边上的点,则 cos φ = ,sin φ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. √a2 + b 2 √a2 + b 2 ? ? ? ? ? ? b f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 sin(x + φ)(ab ≠ 0) 为辅助角公式,其中 tan φ = . a

例题: 求下列函数的最大值: (1)f (x) = sin x + √3 cos x; (2)f (x) = 2 sin x ? cos x. 解:(1)因为

1 √3 f (x) = sin x + √3 cos x = 2( sin x + cos x) 2 2 π π = 2(sin x cos + cos x sin ) 3 3 π = 2 sin(x + ), 3
所以最大值为 2 ;

(2)f (x) = 2 sin x ? cos x = √5 sin(x + φ),其中 φ 为辅助角,所以 f (x)max = √5 .

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. sin 75? cos 30? ? cos 75? sin 30? 的值为 ( A.1
答案: C 解析:

)
C.

B.

1 2

√2 2

D.

√3 2

sin 75? cos 30? ? cos 75? sin 30? = sin (75? ? 30? ) = sin 45? = 4 π , α 是第三象限的角,则 sin (α + ) = ( 5 4
B.

√2 . 2

2. 若 cos α = ? A.?
解析:

)
D.

7√2 10

7√2 10

C.?

√2 10

√2 10

答案: A

4 3 , α 为第三象限角,所以 sin α = ? ,于是 5 5 π π π 7 sin (α + ) = sin α cos + cos α sin = ? √2 . 4 4 4 10
因为 cos α = ?

3. 若 3 sin x ? √3 cos x = 2√3 sin (x + φ) , φ ∈ (?π, π) ,则 φ 等于 ( A.?

π 6

B.

π 6

C.

5π 6

)
D.?

5π 6

答案: A

4. 将函数 y = √3 cos x + sin x(x ∈ R )的图象向左平移 m (m > 0 )个单位长度后,所得到的图象关 于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ( A.

)

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

答案: B 解析:

y = √3 cos x + sin x = 2 sin (x +

π ),向左平移 m 个单位后,得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m),若所得到的图像关于 y 轴对称,则 + m = + kπ, k ∈ Z ,所以 3 3 2 π π m = + kπ ,k ∈ Z.取 k = 0 时,m = . 6 6

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