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高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数


第十四章
一、 基础知识

极限与导数

1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在 正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε成立(A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为 xlim f ( x), xlim f ( x) ,另外 ? +?

? -?
+ x ? x0

lim f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右极限。类
x ? x0

似地 lim f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 2.极限的四则运算:如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b,那么 lim [f(x)±
x? x0 x? x0 x? x0

g(x)]=a±b, lim [f(x)?g(x)]=ab, lim
x? x0

x? x0

f ( x) a = (b ? 0). g ( x) b
x? x0

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 lim f(x)存在,并且
x? x0

lim f(x)=f(x0),则称 f(x)在 x=x0 处连续。

4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那 么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个 增量Δx 时(Δx 充分小) ,因变量 y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+ Δx)-f(x0)).若 Dx?0 lim
Dy 存在, 则称 f(x)在 x0 处可导, 此极限值称为 f(x) Dx dy dx

在点 x0 处的导数(或变化率) ,记作 f ' (x0)或 y ' x = x0 或
f ' ( x0 ) = lim

,即
x0

x ? x0

f ( x) - f ( x0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导 x - x0

的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它 在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点 x0 处导数 f ' (x0)等于 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。

6.几个常用函数的导数: (1) (c)' =0(c 为常数)(2) ( x a )' = ax a -1 (a ; 为 任 意 常 数 ) ; ( 3 )

(sin x)' = cos x; (4) (cos x)' = - sin x ;(5) (a x )' = a x ln a ;(6) (e x )' = e x ; ( 7 ) (log a x)' = 1 1 log a x ; (8) (ln x)' = . x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 (1) [u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v' ( x) ; (2) [u ( x)v( x)]' = u ' ( x)v( x) + u ( x)v' ( x) ; (3)
[cu ( x)]' = c × u ' ( x) ( c

为 常 数 );( 4 ) [

1 - u ' ( x) ]' = 2 ;( 5 ) u ( x) u ( x)

[

u ( x) u ( x ) v ' ( x ) - u ' ( x )v ( x ) 。 ]' = u ( x) u 2 ( x)

8. 复合函数求导法: 设函数 y=f(u),u= j (x), 已知 j (x)在 x 处可导, f(u)在对应的点 u(u= j (x))处可导,则复合函数 y=f[ j (x)]在点 x 处可导,且(f[ j (x)] )' = f '[j ( x)]j ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上 连续; (2)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) > 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) < 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值, 则 f ' ( x0 ) = 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ,x0+ δ)内可导, (1)若当 x∈(x-δ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ)时
f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若当 x∈(x0-δ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。

12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ,x0+δ)内一

阶可导, x=x0 处二阶可导, f ' ( x0 ) = 0, f ' ' ( x0 ) ? 0 。 若 f ' ' ( x0 ) > 0 , 在 且 (1) 则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若 f ' ' ( x0 ) < 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极 大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 且 f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使 f ' (x ) = 0. [证明] 若当 x∈(a,b), f(x)≡f(a), 则对任意 x∈(a,b),f ' ( x) = 0 .

若当 x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x) 在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 f ' (c) = 0 ,综 上得证。 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 则存在ξ∈(a,b),使 f ' (x ) = [证明]
f (b) - f (a ) . b-a f (b) - f (a ) 令 F(x)=f(x)( x - a ) ,则 F(x)在[a,b]上连续,在 b-a

(a,b)上可导,且 F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ∈(a,b)使 F ' (x ) =0, 即 f ' (x ) =
f (b) - f (a ) . b-a

15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) > 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) < 0 ,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸 函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 16.琴生不等式:设α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函数, x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn) 则 ≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).

二、方法与例题 1.极限的求法。 例1 求下列极限: (1)lim? ? n ??
1 2 n ? an + 2 +L+ 2 ÷ ; (2)lim (a > 0) ; (3) 2 n ?? 1 + a n n n ? èn

? 1 ? 1 1 ÷; lim? + +L+ ÷ (4) lim n ( n + 1 - n ). n ??? n ?? n2 +1 n2 + 2 n2 + n ? è

[解](1) lim? ? n ??

1 2 n ? n(n + 1) ?1 2 ? 1 + 2 + L + 2 ÷ = lim = lim? + ÷ = ; 2 2 n ?? 2 2n ? 2 n n ? n ?? 2n è èn

an 1 1 = lim = (2)当 a>1 时, lim = 1. n n n ?? n ?? 1 + a n ?1? ?1? ? ÷ + 1 lim? ÷ + 1 n ?? a èa? è ? lim a an 0 当 0<a<1 时, lim = n ?? n = = 0. n ?? 1 + a n 1+ 0 1 + lim a
n ?? n

当 a=1 时, lim (3)因为 而 lim
n ??

an 1 1 = lim = . n ?? 1 + a n n ?? 1 + 1 2 n n +n
2

< 1

1 n +1
2

+

1 n +2
2

+L+ = lim
n ??

1 n +n
2

<

n n +1
2

.

n n2 + n ?

= lim
n ??

1 1+ n 1 n2 + 2

= 1, lim
n ??

1 n2 +1

1 1 1+ 2 n

= 1,

所以 lim? n ???

1

2 è n +1

+

+L+

? ÷ = 1. ÷ n2 + n ? 1 n n +1 + n = lim
n ??

(4) lim n ( n + 1 - n ) = lim n ?? n ?? 例2

1 1+
2

1 +1 n

1 = . 2
n

求下列极限: (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 )(|x|<1); n ??
3 1 ? x2 -1 ; (3) lim 。 ÷ 3 x ?1 3 - x - 1+ x è1- x 1- x ?
2 n

(2) lim? ? x ?1

[解] (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 ) n ??

(1 - x)(1 + x)(1 + x 2 ) L (1 + x 2 ) 1- x2 1 = lim = lim = . n ?? n ?? 1 - x 1- x 1- x
n n +1

(2) lim? ? = lim? ? x ?1

? 3 -1- x - x2 3 1 ? ÷ = lim? x ?1 1 - x 3 1 - x ? x ?1 ? 1 - x3 è è

? ?1- x +1- x2 ÷ = lim? ÷ x?1 ? 1 - x 3 ? è

? ÷ ÷ ?

(1 - x)(2 + x) ? 2+ x = 1. ÷ = lim 3 x ?1 1 + x + x 2 1- x è ? x2 -1 3 - x - 1+ x = lim
x ?1

(3) lim x ?1 = lim

( x 2 - 1)( 3 - x + 1 + x ) ( 3 - x - 1 + x )( 3 - x + 1 + x )

( x - 1)( x + 1)( 3 - x + 1 + x ) - ( x + 1)( 3 - x + 1 + x ) = lim x ?1 x ?1 2(1 - x) 2

= -2 2 .

2.连续性的讨论。 例3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义, 且恒满足 f(x+1)=2f(x), 又当

x∈[0,1)时,f(x)=x(1-x)2,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 [解] 当 x∈[0,1)时, f(x)=x(1-x)2, f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t, 有 在

则 x=t-1,当 x∈[1,2)时,利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1),因 为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x) 得 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈ [1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,当 x∈[1,2)时,令 x+1=t, 则 当 t ∈ [2,3) 时 , 有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2. 从 而
ì2( x - 1)(2 - x) 2 , x ? [1,2 ); f(x)= ? 所以 í ?4( x - 2)(3 - x) 2 , x ? [2,3). ?
x ?22 2

lim f ( x) = lim 2( x - 1)(2 - x) 2 = 0, lim f ( x) = lim 4( x - 2)(3 - x) 2 = 0 , 所 以
x?2x ?2+ x ?2+

x ?2 -

lim f(x)= lim f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。
x ?2 +

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0),则 y 0 =
1 , x0

切 线 的 斜 率 为 x' | x = 0

1 1 , 所 以 切 线 方 程 为 y-y0= - 2 ( x - x0 ) , 即 2 x0 x0

y-

1 1 1 1 = - 2 ( x - x0 ) 。 又因为此切线过点 (2,0) 所以 - = - 2 (2 - x0 ) , , x0 x0 x0 x0

所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x+y-2=0. 4.导数的计算。 例5
5 x 2 + 3x - x 求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y = ; x 1 2

(5)y=(1-2x)x(x>0 且 x < )。 (3)y=ecos2x; (4) y = ln( x + x 2 - 1) ; [解] (2) y ' = (1) y ' = cos(3x + 1) × (3x + 1)' = 3cos(3x+1).
(5 x 2 + 3x - x )'×x - (5 x 2 + 3 x - x ) × ( x)' x2

? 1 ? ?10 x + 3 ÷ x - 5 x 2 + 3x + x ? ÷ 2 x? è = x2 = 5+ 1 2 x3 .

(3) y ' = e cos 2 x × (cos 2 x)' = e cos 2 x × (- sin 2 x) × (2 x)' = -2e cos 2 x × sin 2 x. (4) y ' =
= 1 x + x2 -1 1 x2 -1 . × ( x + x 2 - 1)' = ? ? x ×? + 1÷ ? ÷ x + x2 -1 è x2 -1 ? 1

(5) y ' = [(1 - 2 x) x ]' = [e x ln(1-2 x ) ]' = e x ln(1-2 x ) ( x ln(1 - 2 x))'
2x ù é = (1 - 2 x) x êln(1 - 2 x) . 1 - 2x ú ? ?

5.用导数讨论函数的单调性。 例6 设 a>0,求函数 f(x)= x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

[ 解 ]
2

f ' ( x) =

1 2 x

2

1 ( x > 0) , 因 为 x+a
2

x>0,a>0 , 所 以

f ' ( x) > 0 ? x +(2a-4)x+a >0; f ' ( x) < 0 ? x +(2a-4)x+a+<0.

(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 f ' (x)>0,f(x) 在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0, 即 f ' ( x) > 0 ,所以 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内递增, 又 f(x)在 x=1 处连续, 因此 f(x)在(0,+∞)内递增; 当 0<a<1 时, (3)
2 即 2 解得 x<2-a- 2 1 - a 或 x>2-a+ 2 1 - a , 令 f ' ( x) > 0 , x +(2a-4)x+a >0,

因此,f(x)在(0,2-a- 2 1 - a )内单调递增,在(2-a+ 2 1 - a ,+∞)内也 单调递增,而当 2-a- 2 1 - a <x<2-a+ 2 1 - a 时,x2+(2a-4)x+a2<0,即
f ' ( x) < 0 ,所以 f(x)在(2-a- 2 1 - a ,2-a+ 2 1 - a )内单调递减。

6.利用导数证明不等式。 例7 设 x ? (0, ) ,求证:sinx+tanx>2x. 设 f(x)=sinx+tanx-2x,则 f ' ( x) =cosx+sec2x-2,当 x ? (0, )
1 1 > 2 cos x × = 2 cos x cos 2 x
2

p 2

[证明]

p 2

时, cos x +

2 cos x

> 2 (因为 0<cosx<1) ,所以

f ' ( x) =cosx+sec x-2=cosx+

1 ? p? - 2 > 0 .又 f(x)在 ? 0, ÷ 上连续,所以 2 cos x è 2?

p p f(x)在 ? 0, ? 上单调递增,所以当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>f(0)=0,即 ? ÷ ? ÷
è 2? è 2?

sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b

的值,并指出这时 f(x)在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。

[解]

因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取

ìa + 2b + 1 = 0, a 得极值, 所以 f ' (1) = f ' (2) = 0 , f ' ( x) = +2bx+1, 又 所以 ? a 解 í x ? 2 + 4b + 1 = 0, ? 2 ì ?a = - 3 , 得? í ?b = - 1 . ? 6 ?

所以 f ( x) = - ln x - x 2 + x, f ' ( x) = -

2 3

1 6

2 1 ( x - 1)(2 - x) - x +1 = . 3x 3 3x

所以当 x∈(0,1)时, f ' ( x) < 0 ,所以 f(x)在(0,1]上递减; 当 x∈(1,2)时, f ' ( x) > 0 ,所以 f(x)在[1,2]上递增; 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x) < 0 ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x ∈ [0, π ],y ∈ [0,1] , 试 求 函 数

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π],y∈[0,1]时,

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x
é sin(1 - y ) x sin x é sin(1 - y ) x 2 y - 1 sin x ù y2 sin x ù × + × + =(1-y)2x ê ú ,令 ê ú 2 2 x ? x x ? (1 - y ) (1 - y ) ? (1 - y ) x ? (1 - y ) x

g(x)=

sin x , x cos x( x - tan x) p g ' ( x) = ( x ? ), 2 2 x è 2?

p 当 x ? ? 0, ? 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 g ' ( x) < 0 ; ? ÷

当 x ? ? , p ? 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 g ' ( x) < 0 ; ? ÷
?

p è2

又因为 g(x)在(0,π)上连续,所以 g(x)在(0,π)上单调递减。

又因为 0<(1-y)x<x<π, 所以 g[(1-y)x]>g(x), 即 又因为

sin(1 - y ) x sin x > 0, x (1 - y ) x

y2 sin x × > 0 ,所以当 x∈(0,π),y∈(0,1)时,f(x,y)>0. 2 x (1 - y )

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ≥0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx≥0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1. lim n ??
2 n +1 + 3 n +1 =_________. 2 n + 3n ? n2 +1 ? - an - b ÷ = 2 ,则 a-b=_________. ÷ è n +1 ?

2.已知 lim? n ???

1 + cos

3. lim
n ??

p 3 3x 2 - 4 x + 1 2(n + 1) + lim = _________. 3 n ?? n 3x - 2 x 2 + 2

x n +1 - (n + 1) x + n 4. lim = _________. x ?1 ( x - 1) 2 2 + (-1) n + lim ( x 2 + 1 - x 2 - 1) = _________. 5.计算 lim n ?? x ? +? n

6 . 若 f(x) 是 定 义 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 的 偶 函 数 , 且 f ' (0) 存 在 , 则
f ' (0) = _________.

7 . 函 数 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 可 导 , 且 f ' (2) = 1 , 则
lim
h ?0

f ( 2 + h) - f ( 2 - h ) = _________. 2h

8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标 为_________.

9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数 f ( x) = ln 11.若曲线 y =
1- x2 的导数为_________. 1+ x2
2

1 1 1 在点 M (2, ) 处的切线的斜率为 ,求实数 a. 2 4 4 ( x - ax)

12.求 sin290 的近似值。 13.设 0<b<a< ,求证: 四、高考水平练习题
lim 1.计算 n ?? 1 + 2 + 4 + L + 2 n -1 =_________. 1 + 3 + 3 2 + L + 3 n -1 ?

p 2

sin a a tan a < < . sin b b tan b

2.计算 xlim ? ?

x3 x2 ? ÷ = _________. ? +? 2 x 2 - 1 2x + 1 ÷ è ?

3.函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 y =
e x - e-x 的导数是_________. e x + e -x

5.函数 f(x)在 x0 邻域内可导,a,b 为实常数,若 f ' ( x0 ) = c ,则
Dx ?0

lim

f ( x0 + aDx) - f ( x0 - bDx) = _________. Dx 1 2

6.函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x x ? [0, ] 的值域为_________. 7.过抛物线 x2=2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值 为_________. 10.曲线 y=e-x(x≥0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的 三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________.

p 2

11.若 x>0,求证:(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 f ' ( x) 是减函数,且
f ' ( x) >0, 0∈(0,+∞).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 x

方程,另设 g(x)=kx+m, (1)用 x0,f(x0), f ' ( x0 ) 表示 m; (2)证明: 当 x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x); (3)若关于 x 的不等式 x2+1≥ax+b
3 ≥ x 3 在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 2
2

所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 1(n∈N+). 五、联赛一试水平训练题 1 . 设 Mn={ ( 十 进 制 ) n 位 纯 小 数 0? a1 a 2 L a n | ai 只 取 0 或 1 (i=1,2,…,n-1) n=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素 ,a 的和,则 lim
n ??

1 x n +1

< 1(n ? N + ) ,证明:xn ≤

Sn = _________. Tn 1 èx 1 1 ? + L + n ÷ = _________. 2 x x ?

2. 若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288, lim? + 则 n ???

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,
f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x) > 0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为

_________. 4.曲线 y = 2 - x 2 与 y = x 3 - 2 的交点处的切线夹角是_________. 5.已知 a∈R+,函数 f(x)=x2eax 的单调递增区间为_________. 6 . 已知 f ( x) =
x 在 (a,3-a2)上有最大值,则 a 的取值范围 是 2 1- x 1 2 1 4

_________. 7.当 x∈(1,2]时,f(x)= 最小值为_________. 8.已知 f(x)=ln(ex+a)(a>0),若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)],不等 式|m-f-1(x)|+ln[ f ' ( x) ]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)- 2 g ? ?
a+b? ÷ <(b-a)ln2. è 2 ? x 2 > a (a > 0) 恒成立,则 y=lg(a -a+3)的 2x - 1

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的最小 值; 设正数 p1,p2,…, p 2 满足 p1+p2+p3+…+ p 2 =1, (2) 求证: 1log2p1+p2 p
n n

log2p2+…+ p 2 log2 p 2 ≥-n.
n n

11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= ? - 1? + ? - 1? ,其中 ? ÷ ? ÷
x èa ? b èx ?

2

2

a,b 为任意的正实数,且 a<b, (1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性; ( 3 ) 若 x1 ∈ Ik=[k2,(k+1)2],x2 ∈ Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2] , 证 明 :
g I ( x1 ) + g I ( x 2 ) >
k k +1

4 . k (k + 1)

六、联赛二试水平训练题 1.证明下列不等式: (1) x (2)
tan x x ? p? > , x ? ? 0, ÷ 。 x sin x è 2? ab × bc × cd × d a 的最小值。 ba × cb × d c × a d x2 x2 < ln( x) < x ( x > 0) ; 2 2(1 + x)

2.当 0<a≤b≤c≤d 时,求 f(a,b,c,d)=

3.已知 x,y∈(0,1)求证:xy+yx>1.


高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数讲义高考

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