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14数学全国教师14(文)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十四)
第十四单元 空间点、线、面的位置关系
(120 分钟 150 分)

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点

”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立. 答案:A

2.已知直线 a∥平面 α,则下列命题是假命题的是 A.a 与 α 内的无数条直线平行 B.a 与 α 内的所有直线都平行 C.a 与 α 内的无数条直线垂直 D.a 与 α 无公共点
解析:a 还可能与 α 内的直线垂直,异面,故 B 错误. 答案:B

3.给定下列四个命题: ① 分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是 A.① ② B.② ③ C.② ④ D.③ ④
解析:① 错,这两条直线可能相交;② 正确;③ 错,这两条直线也可能相交或异面;④ 正确. 答案:C

4.α、β 是两个不重合的平面,a、b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 α⊥β 的是 A.a⊥α,a⊥β B.a?α,a⊥β C.a?α,b?β,a⊥b D.a?α,b⊥α,b∥β
解析:根据面面垂直的判定可知,B 项可以推出 α⊥β. 答案:B

5.已知 m,n,l 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题: ① 由 α∥β,m?α,n?β,得 m 与 n 平行; ② 由 m∥n,m⊥α,n⊥l,得 l∥α; ③ 由 m⊥n,m∥α,得 n⊥α; ④ 由 m⊥α,n⊥β,α⊥β,l⊥m,得 l∥n. 则正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2

D.3

解析:① 中 m 与 n 还可能异面,故① 错误;对于② ,还有可能 l?α,故② 错误;③ 中还可能 n∥α,或 n 与 α 相 交但不垂直,故③ 错误;对于④ ,l 与 n 还可能异面或相交,故④ 错误. 答案:A

6.已知六棱锥 P—ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,则下列结论不正确的是 A.CD∥平面 PAF B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CF⊥平面 PAD
解析:∵ CD∥AF,∴ CD∥平面 PAF,选项 A 对;∵ DF⊥AF,DF⊥PA,∴ DF⊥平面 PAF,选项 B 对;易得 CF∥AB, 则 CF∥平面 PAB,选项 C 正确;选项 D 错误. 答案:D

7.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是真命题.如果把 α,β,γ 中的任意一 个换成直线,另两个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
解析:由题可得(1)已知平面 α,β,直线 l,如果 α∥β,l⊥α,则 l⊥β,为真命题;(2)已知平面 α,γ,直线 l,若 l∥α,α⊥γ,则 l⊥γ,是假命题,因为此时直线 l 与平面 γ 可以相交,平行,也可以在平面 γ 内;(3)已知平面 β,γ,直 线 l,若有 l∥β,l⊥γ,则有 β⊥γ,为真命题,因为一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面相互垂直. 从而有两个真命题,故选 C. 答案:C

8.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体 积为 A. B.1 C.2D.4
解析:连结 A1C,∵ A1B1⊥A1C1,∴ A1B1⊥平面 A1C,∵ B1C⊥AC1,∴ A1C⊥AC1,即四边形 AA1C1C 是正方 形,∴ AA1=AC=1,则该三棱柱的体积 V= × 1× 2× 1=1. 答案:B
1 2 1 2

9.在直二面角 α—l—β 中,直线 a?α,直线 b?β,a,b 与 l 斜交,则 A.a 不和 b 垂直,但可能 a∥b B.a 可能和 b 垂直,也可能 a∥b

C.a 不和 b 平行,但可能 a⊥b D.a 不和 b 垂直,也不和 b 平行
解析:若 a∥b,则 a∥β,于是 a∥l 与已知矛盾;若 a⊥b,在 β 内做直线 m⊥l,则 m⊥α,于是 a⊥m,b,m 不平行,所 以 a⊥β,则 a⊥l 与已知矛盾,故 a 不平行 b 也不垂直 b. 答案:D

10.在正方体 ABCD—A'B'C'D'中, 棱 AB、BB'、B'C'、C'D'的中点分别是 E,F,G,H, 如图 所示,则下列说法中正确的有: ① 点 A,D',H,F 共面; ② 直线 EG 与直线 HF 是异面直线; ③ A'C⊥平面 EFG; ④ D'G∥平面 A'DF. A.① ② B.② ③ C.② ④ D.③ ④
解析:若 A,D',H,F 四点共面,利用线面平行的性质得 AF∥D'H,矛盾,故① 错;连结 EH,则 EH∥FG,即 E、 F、G、H 四点共面,故② 错;易知 A'C⊥AB'、A'C⊥AD',又 EF∥AB',FG∥AD',∴ A'C⊥EF、A'C⊥FG,即 A'C⊥平 面 EFG,故③ 正确;取 A'D 的中点为 O,连结 FO,易证 FO∥D'G,则 D'G∥平面 A'DF,故④ 正确. 答案:D

11.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC,且 PA=1.若 BC 边上存在两个点 Q 使 得 PQ⊥DQ.则 a 的取值范围是 A.(1,+∞) B.[1,2) C.(2,+∞) D.[2,4]
解析:

如图所示,若 PQ⊥DQ,则有 DQ⊥平面 PAQ,所以 AQ⊥DQ,则“BC 边上存在两个点 Q 使得 PQ⊥DQ”就 转化为“BC 边上存在两个点 Q 使得 AQ⊥DQ”,即以 AD 为直径的圆与边 BC 有两个交点,所以 >1,即 a>2. 答案:C
2

12.如图所示,在直角梯形 BCEF 中,∠CBF=∠BCE=90° ,A、D 分别是 BF、CE 上的 点,AD∥BC,且 AB=DE=2BC=2AF(如图 1).将四边形 ADEF 沿 AD 折起,连结 BE、BF、 CE(如图 2).在折起的过程中,下列说法中错误的是

A.AC∥平面 BEF B.B、C、E、F 四点不可能共面 C.若 EF⊥CF,则平面 ADEF⊥平面 ABCD D.平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直
解析:在图 2 中取 AC 的中点为 O,取 BE 的中点为 M,连结 MO,易证得四边形 AOMF 为平行四边形, 即 AC∥FM,∴ AC∥平面 BEF,故 A 正确;∵ 直线 BF 与 CE 为异面直线,∴ B、C、E、F 四点不可能共面,故 B 正确;在梯形 ADEF 中,易得 EF⊥FD,又 EF⊥CF,∴ EF⊥平面 CDF,即有 CD⊥EF,∴ CD⊥平面 ADEF,则平面 ADEF⊥平面 ABCD,故 C 正确;延长 AF 至 G 使得 AF=FG,连结 BG、EG,易得平面 BCE⊥平面 ABF,过 F 作 FN⊥BG 于 N,则 FN⊥平面 BCE.若平面 BCE⊥平面 BEF,则过 F 作直线与平面 BCE 垂直,其垂足在 BE 上,矛盾,故 D 错误. 答案:D

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点,在平面 PAD 内过点 E 且与平面 PBC 平行的直线的条数是 .
解析:∵ 平面 PAD 与平面 PBC 相交,∴ 在平面 PAD 内过点 E 有且只有 1 条直线与平面 PBC 平行. 答案:1

14.已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及平面 β 之外的两条不同直线,给出四个 论断:① m∥n,② α∥β,③ m⊥α,④ n⊥β.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你 认为正确的一个命题: .
解析:同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行. 答案:② ③ ④ ?① (答案不唯一)

15.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,若 ① m∥n,n∥α;② m⊥n,n⊥α;③ m?α,m∥β,α∥β;④ m⊥β,α⊥β,则其中能使 m∥α 成立的充分条件 有 .
解析:① m∥n,n∥α,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内;② m⊥n,n⊥α,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内;③ m?α,m∥β,α∥β,能推得 m∥α;④ m⊥β,α⊥β,不能推得 m∥α,这是因为 m 可能在平面 α 内. 答案:③

16.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P、Q、R 分别是表面 A1B1C1D1、 BCC1B1、ABB1A1 的中心,给出下列四个结论: ① PR 与 BQ 是异面直线; ② RQ⊥平面 BCC1B1; ③ 平面 PQR∥平面 D1AC;

④ 过 P、Q、R 的平面截该正方体所得的截面是边长为 2的等边三角形. 以上结论中正确的是
解析:据图可知③ ④ 正确. 答案:③ ④

.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)

如图所示,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90° ,AB=BC=BB1,M,N 分别 是 AB,A1C 的中点. (1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:MN⊥平面 A1B1C.
解析:(1)连结 BC1,AC1,显然 AC1 过点 N. ∵ M,N 分别是 AB,A1C 的中点, ∴ MN∥BC1. 又∵ MN?平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1, ∴ MN∥平面 BCC1B1.4 分

(2)∵ 三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,BC=BB1, ∴ 四边形 BCC1B1 是正方形, ∴ BC1⊥B1C,由(1)知 MN∥BC1, ∴ MN⊥B1C. 连结 A1M,CM,∵ AM=MB,BC=BB1=AA1.∠MBC=∠MAA1=90° , ∴ △AMA1≌△BMC. ∴ A1M=CM,又 N 是 A1C 的中点, ∴ MN⊥A1C. 又 B1C 与 A1C 相交于点 C, ∴ MN⊥平面 A1B1C.10 分

18.(本小题满分 12 分)

如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥平面 EFG; (2)求三棱锥 P—EFG 的体积.
解析:(1)∵ E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF∥CD. ∵ ABCD 为正方形,∴ CD∥AB, ∴ EF∥AB, ∵ E,G 分别是 PC,BC 的中点, ∴ EG∥PB, ∴ 平面 EFG∥平面 PAB. ∵ PA?平面 PAB, ∴ PA∥平面 EFG.6 分 (2)∵ PD⊥平面 ABCD,GC?平面 ABCD,∴ GC⊥PD. ∵ ABCD 为正方形,∴ GC⊥CD. ∵ PD∩CD=D,∴ GC⊥平面 PCD. ∵ PF= PD=1,EF= CD=1,∴ S△PEF= EF× PF= . ∵ GC= BC=1, ∴ VP—EFG=VG—PEF= S△PEF·GC= × × 1= .12 分
1 3 1 1 3 2 1 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

19.(本小题满分 12 分)

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.
解析:(1)∵ 多面体 ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴ B1C1⊥平面 ABB1A1; ∵ A1B?平面 ABB1A1,∴ B1C1⊥A1B. 又∵ A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴ A1B⊥平面 ADC1B1, ∵ A1B?平面 A1BE,∴ 平面 ADC1B1⊥平面 A1BE.5 分

(2)当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE. 以下证明之: 易知 EF∥C1 ,且 EF= C1D, 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形.所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?平面 A1BE,OE?平面 A1BE. 所以 B1F∥平面 A1BE.12 分
1 2 1 2

20.(本小题满分 12 分) 一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)当 FG=GD 时,在边 AD 上是否存在一点 P,使得 GP∥平面 FMC?

解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面 ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接 DB. 可知 B,N,D 共线,且 AC⊥DN, 又 FD⊥AD,FD⊥CD,且 AD∩CD=D, 所以 FD⊥平面 ABCD,所以 FD⊥AC. 又 FD∩DN=D,所以 AC⊥平面 FDN. 所以 GN⊥AC.6 分 (2)当 FG=GD 时,在边 AD 上存在一点 P,使得 GP∥平面 FMC,此时 A,P 重合. 证明如下:取 DC 中点 S,连接 AS,GS,GA. 因为 G 是 DF 的中点,所以 GS∥FC,AS∥CM. 又 GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面 GSA∥平面 FMC. 又 GA?平面 GSA,所以 GA∥平面 FMC,即 GP∥平面 FMC.12 分

21.(本小题满分 12 分)

如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别为边 AB、AD 的中点,现将△ADE 沿 DE 折 起,得四棱锥 A—BCDE. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.

解析:(1)取线段 AC 的中点 M,连结 MF,MB. 因为 F 为 AD 的中点,所以 MF∥CD,且 MF= CD.2 分 在折叠前,四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点,所以 BE∥CD,且 BE= CD. 所以 MF∥BE,且 MF=BE.4 分 所以四边形 BEFM 为平行四边形,故 EF∥BM. 又 EF?平面 ABC,BM?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC.6 分 (2)在折叠前,四边形 ABCD 为矩形,AD=2,AB=4,E 为 AB 的中点,所以△ADE、△CBE 都是等腰直角 三角形,且 AD=AE=EB=BC=2. 所以∠DEA=∠CEB=45° ,且 DE=EC=2 2. 又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180° ,所以∠DEC=90° . 又平面 ADE⊥平面 BCDE, 平面 ADE∩平面 BCDE=DE,CE?平面 BCDE, 所以 CE⊥平面 ADE,即 CE 为三棱锥 C—EFD 的高.9 分 因为 F 为 AD 的中点, 所以 S△EFD= × × AD·AE= × 2× 2=1. 所以四面体 FDCE 的体积 V= × S△EFD·CE= × 1× 2 2=
1 3 1 3 2 2 .12 分 3 1 1 2 2 1 4 1 2 1 2

22.(本小题满分 12 分)

一个多面体如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,AB=FB,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB,G,H 分别 为 AE,CE 中点. (1)求证:GH∥平面 ACF; (2)当平面 ACE⊥平面 ACF 时,求 DE 的长.

解析:(1)如图,连结 AC.在△ACE 中, ∵ G,H 分别为 AE,CE 中点,∴ GH∥AC, 又 AC?平面 ACF,且 GH?平面 ACF. 所以 GH∥平面 ACF.5 分

(2)如图,连结 DB,交 AC 于 O,连结 EO,FO, ∵ ABCD 是正方形,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDE,得 AE=CE,EO⊥AC, ∵ EO?平面 ACE,AC?平面 ACF,AC∩OF=O, ∴ 只要 EO⊥FO,就有平面 ACE⊥平面 ACF, 设 DE 的长为 x,在 Rt△ODE 中,OE2=x2+ a2, 在 Rt△OBF 中,OF2=a2+ a2= a2, EF2=2a2+(a-x)2, EF2=OE2+OF2,解得 x= a, 即平面 ACE⊥平面 ACF 时,DE 的长为 a.12 分
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2


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