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山东省济南第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


济南一中 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(文科)
说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第 1 页至第 3 页,共 18 题,第Ⅱ卷为第 3 页至第 4 页,全卷共 26 个题。请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置, 考试结束后将答题纸上交。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,每题 5 分,共

90 分) 1.在△ABC 中,已知 a ? 8 , ? B = 60 , ?C = 750 ,则 b 等于( A. 4 6 2.复数 z ? A. B. 4 5 C. 4 3
0

) D.

22 3

1 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部是( 1? i
B.



3 2
2

1 2


C. ?

1 2

D. ?

1 i 2

3.椭圆 x ?

y2 ? 1的离心率为 4
B



A

3 2

3 4


C

2 2

D

2 3

4.下列不等式中成立的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

2 2 B.若 a ? b ,则 a ? b

2 2 C.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

D.若 a ? b ? 0 ,则 )

a b ? b a

5.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定形式为( A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x

B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x ) C.4 )
1

6.已知 x ? 1 是 5 和 7 的等差中项,则 x 的值为( A.6 B. 5

D. 3

7.不等式 ( x ? )( ? x) ? 0 的解集是(

1 3 2 2

A. {x | x ? ? 或x ? } C. {x | ?

1 2

3 2

B. {x | x ? ?

1 3 ?x? } 2 2

1 3 或x ? } 2 2 1 3 D. {x | ? ? x ? } 2 2
)

8.过点 (2, ?2) 且以 y ? ?

2 x 为渐近线的双曲线方程是( 2
C.

A.

y 2 x2 ? ?1 2 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 2

y 2 x2 ? ?1 4 2

D.

x2 y 2 ? ?1 2 4
( )

9.在△ABC 中,若 a、b、c 成等比数列,且 c = 2a,则 cos B 等于 A.

1 4

B.

3 4

C. )

2 4

D.

2 3

10.以下有关命题的说法错误的是(

2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” 2 B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题
2 2 D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,则 x ? x ? 1 ? 0

11.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.

S5 ?( S2



11

B. ?8

C. 5

D. ?11 ).

12. 椭圆 A. 22

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,弦 AB 经过 F2 ,则 ?ABF1 的周长为( 36 20
B. 23 C. 24 D. 25

13.若 k ? R ,则“ k ? 1 ”是方程“ A.充分不必要条件 C.充要条件

x2 y2 ? ? 1 ”表示双曲线的( k ?1 k ?1



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

14.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 A ?

?
3

, b ? 1, ?ABC 的面积为

3 ,则 2
2

边 a 的值为( A. 1

) B. 2 C.

3 2

D.

3

15.双曲线 A. 4

x2 y 2 ? ? 1 的两个顶点三等分焦距,则双曲线的离心率为( a 2 b2
B. 3 ( C. )

).

2

D. 1

16.下列函数中最小值为 4 的是

A.

y ? x?

4 x
4 sin x
(0﹤x﹤ ? )

B.

y ? 3 x ? 4 ? 3? x
y ? lg x ? 4 logx 10
n

C.

y ? sin x ?

D.

17.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1, n ? N A. 2 ? 1
n

?

?

? ,则 ?a ? 的通项公式是(
D. 2
n ?1



B. 2

n

C.

2n +1

18.直线 y ? x ? b 交抛物线 y ? A.

1 2 x 于 A、B 两点,O 为抛物线顶点,OA⊥OB,则 b 的值为( 2
? C. 1 ? D. 2



?1

? B. 0

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分,填空每题 5 分) 19.设 i 为虚数单位,则复数 2i ?1 ? i ? 的模为 20.如果等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 S7 等于 21.如图,从高为 200 3 米的气球 ( A) 上测量铁桥( BC )的 长,如果测得桥头 B 的俯角是 60 ? ,桥头 C 的俯角是 30 ? , 则桥 BC 长为
2


2

22. 已知点 A ? ?2,1? ,y ? ? 4 x 的焦点是 F, P 是 y ? ? 4x 上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,P 点的坐标是?

3

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 23.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 1 ,则 ? x ? 0, y ? 0, ?

1 4 ? 的最小值为_________ a b

24. (本题满分 11 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 sin B sin C ? cos B cos C ? (Ⅰ)求角 A (Ⅱ)若 a ? 2, b ? c ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积

1 2

25. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和, 对于任意的 n ? N 满足关系式 2Sn ? 3an ? 3 .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ?

1 ,前 n 项和为 Tn , log3 a n ? log3 a n ?1

求证:对于任意的正数 n ,总有 Tn ? 1 .

26. (本题满分 12 分)
1) , 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点 B 的坐标为 (0 , 离心率为 N 两点. 线 l 与椭圆 C 交于 M ,
2 . 直 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若椭圆 C 的右焦点 F 恰好为 △ BMN 的垂心,求直线 l 的方程.

4

济南一中 2015—2016 学年度第 1 学期期末质量检测 高二文科数学试题(答案) 一、选择题 ACADB BCABC DCADB BAD

二、填空题 19. 2 2 三、解答题 24. (本题满分 11 分) 解: (Ⅰ) cos B cos C ? sin B sin C ? ? 20. 28 21. 400 22. ( ?

1 ,1) 4

23. 9

1 , 2

cos ? B +C ? ? cos ?? ? A ? ? ? cos A ? ?
即 cos A ?

1 2

?????????. 3 分 ?????????.6 分

1 ? A 为三角形内角 ? A=60? 2
2 ?

2 b2 ? c2 ? a 2 ? b ? c ? ? 2bc ? a 1 (Ⅱ) cos 60 ? ? ? 2bc 2bc 2

?2 3?

2

? 22 ? 3bc ? bc ?

8 3

?????????.9 分

? S?ABC ?

1 1 8 3 2 3 bc sin A ? ? ? = 2 2 3 2 3

?????????.11 分

25. (本题满分 12 分) (Ⅰ)解
? ?2Sn=3an-3, 由已知得? ?2Sn-1=3an-1-3 ?

(n≥2).

???????????2 分

故 2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即 an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3 . (Ⅱ)证明 ∵bn= 1
n

???????????4 分 ???????????6 分 ???????????8 分

n(n+1) n n+1

1 1 = - .

∴Tn=b1+b2+?+bn 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 =?1- ?+? - ?+?+? - ? ? 2? ?2 3? ?n n+1? =1- 1 ??????????10 分 ???????????12 分
5

n+1

<1.

26. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 所以

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则由题意知 b ? 1 .?????????2 分 a 2 b2
?????????4 分 ?????????5 分

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? ,解得 a 2 ? 2 . 2 2 a a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2

(Ⅱ)易知直线 BF 的斜率为 ?1 ,从而直线 l 的斜率为 1 .?????????6 分
0) , 设直线的方程为 y ? x ? m , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , F (1 ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 得 3x2 ? 4mx ? 2(m2 ? 1) ? 0 . ?y ? x ? m, ?

?????????8 分

2m2 ? 2 4 根据韦达定理, x1 ? x2 ? ? m , x1 x2 ? . 3 3 ???? ???? ? 于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1) ? x1 ? y2 ? x1 x2 ? y1 y2
? x1 ? x2 ? m ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)

?????????9 分

? ?2x1 x2 ? (1 ? m)( x1 ? x2 ) ? m ? m2

? ?2 ?
?0

2m2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 3 3

4 解之得 m ? 1 或 m ? ? . 3

?????????11 分

当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意;
4 当 m ? ? 时,经检验知 l 和椭圆相交,符合题意. 3

所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ?

4 时,点 F 是 ?BMN 的垂心. ?????????12 分 3

6


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