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2004年全国高考数学试题汇编三角向量(二)


2004 年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)
1.(2004 年广东高考数学第 1 题) 已知平面向量 a =(3,1) , b =(x,–3) ,且 a ? b ,则 x= A.-3 B.-1 C.1 2. (2004 年天津高考数学·理工第 3 题,文史第 4 题) D.3

?

?

?

/>
?





若平面向量 b 与向量 a ? (1, ? 2) 的夹角是 180 ? ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? A. (?3, 6) B. (3, ? 6) C. (6, ? 3) D. (?6, 3)

3. (2004 年天津高考数学·文史第 14 题) 已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k 等于 4.(2004 年上海高考·文史第 6 题) 已知点 A(-1,5)和向量 a ={2,3},若 AB =3 a ,则点 B 的坐标为 5.(2004 年上海高考·理工第 6 题) 已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 6.(2004 年重庆高考数学·理工第 6 题,文史第 6 题) 若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为(
?



.

.

? ?

?

?

? ?

?

?



A.2

B.4

C.6

D.12

7. (2004 年湖南高考数学·理工第 13 题) 已知向量 a= (cos? , sin ? ) ,向量 b= ( 3,?1) ,则|2a-b|的最大值是 8. (2004 年湖南高考数学·文史第 8 题) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0 ) .

9.(2004 年上海高考·理工第 1 题,文史第 1 题) 若 tanα=

1 ? ,则 tan(α+ )= 2 4

.

10.(2004 年重庆高考数学·理工第 5 题,文史第 5 题)

sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? 1 1 A. ? B. 2 2

( C. ?



3 2

D.

3 2


11.(2004 年上海高考·理工第 14 题,文史第 14 题)

? -x)=1 的解集为 2 ? A.{x│x=2kπ+ ,k∈Z}. 3 ? C.{x│x=2kπ± ,k∈Z}. 3
三角方程 2sin( 函数 y ? 2 sin( A. [0,

( B.{x│x=2kπ+

5? ,k∈Z}. 3

D.{x│x=kπ+(-1)K,k∈Z}.

12. (2004 年天津高考数学·理工第 9 题,文史第 10 题)

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是
B. [

?
3

]

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

13.(2004 年上海高考·理工第 5 题,文史第 5 题) 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的

解是 . 14. (2004 年天津高考数学·理工第 12 题,文史第 12 题) 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? [0,

?
2

] 时,

f ( x) ? sin x ,则 f (
A. ?

5? ) 的值为 3 1 2
?
C. ?

1 2

B.

3 2

D.

3 2

15.(2004 年广东高考数学第 5 题) 函数 f(x) f(x) 是 ? sin 2 (x ? ) ? sin 2 (x ? ) 4 4 A.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 ? 的奇函数 C. 周期为 2 ? 的偶函数 D..周期为 2 ? 的奇函数 16.(2004 年广东高考数学第 9 题) 当0 ? x ?

?





?
4

时,函数 f ( x ) ?

cos2 x 的最小值是 cos x sin x ? sin 2 x
C.2 D.





A. 4

B.

1 2

1 4
( )

17.(2004 年广东高考数学第 11 题)

? tan (x ? ), 若 f(x) 则 4
A. f(? 1 )> f ( 0) >f ( 1) C. B. D.

?

f( 0 ) > f(1 )> f(- 1 ) f( 0 ) > f(- 1 )> f(1 )

f() 1 > f(0 )> f(- 1 )

18. (2004 年天津高考数学·理工第 17 题,文史第 17 题,本小题满分 12 分)

1 sin 2a ? cos2 ? 已知 tan( ? ? ) ? , (1)求 tan ? 的值; (2)求 的值。 4 2 1 ? cos 2?

?

19. (2004 年重庆高考数学·理工第 17 题,文史第 17 题,本小题满分 12 分) 求函数 y ? sin
4

x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在

[0, ? ] 上的单调递增区间。

20. (2004 年湖南高考数学·理工第 17 题,本小题满分 12 分) 已知 sin(

?

4

? 2? ) ? sin(

?

4

? 2? ) ?

1 ? ? ,? ? ( , ), 求2 sin 2 ? ? tan ? ? cot ? ? 1 的值. 4 4 2

21. (2004 年湖南高考数学·文史第 17 题,本小题满分 12 分) ? 1 已知 tan( ? ? ) ? 2, 求 的值. 4 2 sin ? cos ? ? cos 2 ?

22. (2004 年广东高考数学第 17 题,满分 12 分) 已知 ?,?,? 成公比为 2 的等比数列( ? ??0, 2? ?),且s i n?,s i n?,s i n? 也成等比数列. 求 ?,?,? 的值.

参考答案
1.C 10.B 2.A 11.C 3. ? 1 12.C 4.(5,4) 5.(5,4) 6.C 7.4 8.D 9.3 13.(-2,0)∪(2,5) 14.D 15.B 16.A 17.D

18. (2004 年天津高考数学·理工第 17 题,文史第 17 题) 本小题考查两角和正切线,倍角的正弦、余弦公式等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。 (1)解: tan( ? ? ) ?

?

tan

?
4

? tan?

1 ? tan tan? 4 ? 1 1 ? tan ? 1 ? 由 tan( ? ? ) ? ,有 4 2 1 ? tan ? 2 1 解得 tan ? ? ? 3
(2)解法一:

4

?

?

1 ? tan? 1 ? tan?

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos2 ? ? 1

2 sin ? ? cos ? 1 1 1 5 ? tan ? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 3 2 6 1 1 a t ? ? ? ,得 sin ? ? ? cos ? 解法二:由(1) ,n 3 3 1 1 2 2 2 2 1? c o s ? ? cos ? ∴ sin ? ? cos ? 9 9 9 2 ∴ cos ? ? 10 4 2 于是 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? , 5 2 3 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? cos 2 ? ? ? 3 5 3 9 ? ? sin 2? ? cos2 ? 5 代入得 ? 5 10 ? ? 4 1 ? cos 2? 6 1? 5 ?

19. (2004 年重庆高考数学·理工第 17 题,文史第 17 题,本小题 12 分) 解: y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x

? ( s i2 nx ? c o 2 s x) ( s i2 n x?co2 s x) ? 3 s i n 2x ? 3s i n 2x ? c o s 2x ? 2 s i n2(x ?
1 3

?
6

)
5 6

故该函数的最小正周期是 ? ;最小值是-2; 单增区间是[ 0, ? ], [ ? , ? ]

20. (2004 年湖南高考数学·理工第 17 题,本小题满分 12 分) 解:由 sin(

?

4

? 2? ) ? sin(

得 于是

cos 4? ?

1 . 2

? 2? ) 4 1 ? 1 1 ? sin( ? 4? ) ? cos 4? ? , 2 2 2 4 ? ? 5? . 又 ? ? ( , ), 所以 ? ? 4 2 12 4 4

?

? 2? ) ? sin(

?

? 2? ) ? cos(

?

2 2s i n ??t an ? ? c o? t ?1 ? ? c o 2 s? ?

2 sin ? ?c o2 s? ? 2c o 2 s? ? ?c o 2 s? ? sin ?c o? s sin 2? 5? 5? 3 5 ? ?(cos2? ? 2 cot 2? ) ? ?(cos ? 2 cot ) ? ?(? ? 2 3) ? 3. 6 6 2 2

21. (2004 年湖南高考数学·文史第 17 题,本小题满分 12 分) 解:由 tan(

?

4

??) ?

1 ? tan ? ? 2, 1 ? tan ?

1 得 tan ? ? . 3

1 ( )2 ?1 2 2 2 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 于是 ? ? ? 3 ? . 2 2 1 3 2 sin ? cos? ? cos ? 2 sin ? cos? ? cos? ? 2 tan? ? 1 2? ?1 3

22. (2004 年广东高考数学第 17 题,满分 12 分) 解:∵α ,β ,γ 成公比为 2 的等比数列,∴β =2α ,γ =4α ∵sinα ,sinβ ,sinγ 成等比数列

?

sin ? sin ? sin 2? sin 4? ? ? ? ? cos? ? 2 cos2 ? ? 1 sin ? sin ? sin ? sin 2? 1 2

即2 cos2 ? ? cos? ? 1 ? 0 解得 cos? ? 1, 或 cos? ? ?

当 cosα =1 时,sinα =0,与等比数列的首项不为零,故 cosα =1 应舍去,
1 2? 4? 当 cos? ? ? , ? ? [0,2? ]时, ? ? 或? ? , 2 3 3 2? 4? 8? 4? 8? 16? 所以? ? ,? ? ,? ? 或? ? ,? ? ,? ? 3 3 3 3 3 3

注: (1) 平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004 年全国高考数学试题汇编——解析几何”中;
2004 年全国高考数学试卷共计 27 套——全国卷 8 套(四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理 2 套,山东、山西、河南、河北、江西、 安徽等地区文理 2 套,陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理 2 套,甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理 2 套) ;单独命 题的 11 个省市的高考数学试卷共计 19 套(北京文理 2 套,天津文理 2 套,上海文理 2 套,重庆文理 2 套,湖南文理 2 套,湖北文理 2 套,浙江文理 2 套,福建文理 2 套,江苏 1 套,广东 1 套,

04 年全国各地高考数学卷向量题型集锦
5 5

(全国卷、四川卷 9)已知平面上直线 l 的方向向量 e=(- 4 , 3 ),点 O(0,0)和点 A(1,-2)在 l 上的射影分别 为 O' 和 A' ,则 O ' A' ? λ e,其中λ =( A
11 5

) D -2

B - 11
5

C2

(上海理科 6)已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 (天津理科 3)若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ?
o

(A) (?3,6)

(B) (3,?6)

(C) (6,?3)

(D) (?6,3)

(广东理科 1)已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? (A) ?3 (B) ?1 (C) 1 (D) 3

?

?

?

?

(江苏理科 16)平面向量 a, b 中,已知 a =(4,-3), b =1,且 a ? b =5,则向量 b =__________ (湖南理科 13)已知向量 a ? (cos? , sin ? ), 向量 b ? ( 3,?1) ,则 2a ? b 的最大值是

??? ? ??? ? ??? ? (浙江卷 14)已知平面上三点 A、B、C 满足| AB |=3, | BC | =4, | CA |=5,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于________.
(福建卷 8)已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则 a 与 b 的夹角是 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

(湖北卷 19)如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2 a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角θ 取何 值时 BP · CQ 的值最大?并求出这个最大值。

? ? ? ? ? ? ? ? (重庆卷 6)若向量 a与b 的夹角为 60? , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为( A 2 B 4 C 6 D 12



(2) 辽宁 1 套) 。请老师和同学们注意收集整理。


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