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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.5 椭 圆


课时跟踪检测(五十三) 椭 圆

x2 y2 1.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点, 25 16 |OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A.4 C.2 ) B.3 D.5 )

x2 y2 2.(2012· 海淀模拟)2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6

-m A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分与不必要条件 )

3 3.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( 4 x2 y2 A. + =1 16 7 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 16 7 7 16 x2 y2 C. + =1 16 25 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 25 25 16

x2 y2 4.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直 a b 3a 线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

x2 y2 5.(2012· 安徽师大附中模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b), a b 且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. D. 5-1 2 3+1 4 3)是椭圆上一点, 且|PF1|, 1F2|, |F )

1+ 5 C. 4

6. 一个椭圆中心在原点, 焦点 F1, 2 在 x 轴上, F P(2, |PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x2 y2 A. + =1 8 6 )

x2 y2 B. + =1 16 6

x2 y2 C. + =1 8 4

x2 y2 D. + =1 16 4 3 ,且椭圆上一点到椭圆 2

7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. y2 8.(2012· 郑州模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 b 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=________. x2 y2 9.(2013· 哈尔滨模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左,右焦 25 16 点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 ________. x2 y2 10.(2012· 安徽高考)如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左,右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

x2 11.(2012· 陕西高考)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 4 相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, A, 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB =2 OA , 点 B 求直线 AB 的方程.

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x2 y2 6 12. (2013· 济南模拟)已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 3 F 为椭圆的右焦点,M,N 两点在椭圆 C 上,且 MF ,=λ FN ,(λ>0), 定点 A(-4,0). (1)求证:当 λ=1 时, MN ,⊥ AF ,; (2)若当 λ=1 时,有 AM ,· AN ,=

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106 ,求椭圆 C 的方程. 3

x2 y2 x2 y2 1.(2012· 太原模拟)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: 2+ 2=1(a2>b2> a1 b1 a2 b2 0)的焦点相同且 a1>a2.给出如下四个结论: a1 b1 2 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;②a2-a2=b2-b2;③ > ;④a1-a2<b1-b2. 1 2 1 a2 b2 其中,所有正确结论的序号是( A.②③④ C.①②④
2 2

) B.①③④ D.①②③

x y a2 2.设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在点 P, a b c 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是________. x2 y2 1 3. (2012· 西城模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0), 且离心率为 . a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围.





课时跟踪检测(五十三) A级 1 1.选 A 由题意知|OM|= |PF2|=3,所以|PF2|=6,由椭圆的定义知|PF1|=2×5-6= 2 4. x2 y2 2.选 B 若 + =1 表示椭圆, m-2 6-m

?m-2>0, ? 则有?6-m>0, ?m-2≠6-m, ?

∴2<m<6 且 m≠4,

x2 y2 故 2<m<6 是 + =1 表示椭圆的必要不充分条件. m-2 6-m 3 3.选 B ∵a=4,e= ,∴c=3. 4 ∴b2=a2-c2=16-9=7.

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 + =1 或 + =1. 16 7 7 16 4.选 C 由题意可得|PF2|=|F1F2|, 3 3 ∴2?2a-c?=2c,∴3a=4c,∴e= . ? ? 4 5.选 B 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0,解得 e= -1± 5 5-1 .又 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 x2 y2 6.选 A 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点(2, a b 4 3 3)在椭圆上知 2+ 2=1. a b

c 1 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2- a 2 b2,联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 c 7.解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),根据椭圆定义知 2a=12,即 a=6,由 = a b a 3 x2 y2 ,得 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. 2 36 9 x2 y2 答案: + =1 36 9 8.解析:由题意知|AF2|+|BF2|=2|AB|, 由椭圆的定义,|AF1|+|AF2|=2, |BF1|+|BF2|=2, 所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 =|AF2|+|BF2|+|AB|=3|AB|, 4 所以|AB|= . 3 4 答案: 3 9.解析:∵P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15, 当 P,M,F2 三点共线时取等号. 答案:15 1 10.解:(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= . 2 (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c). 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2, 8 3 3 ? 得 B? c,- c , 5 5 ? ?

16 ?8 所以|AB|= 1+3· 5c-0?= c. ? ? 5 1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|sin ∠F1AB= a· c· = a =40 3, 2 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3. 法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知, |BF1|=3a-t,再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° 可得, 8 1 8 3 2 3 2 t= a.由 S△AF1B= a·a· = a =40 3知, 5 2 5 2 5 a=10,b=5 3. y2 x2 11.解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 解得 a=4, y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB― →=2OA― →及(1)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中, 4 得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = . A 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中, 16 4 得(4+k2)x2=16, 所以 x2 = B 16 . 4+k2 a2-4 3 3 ,故 = , 2 a 2

2 又由 OB =2 OA ,得 x2 =4xA, B

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16 16 , 2= 4+k 1+4k2

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.

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x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中, 4 得(1+4k2)x2=4,所以

??? ? ??? ? 4 x2 = 2.由 OB =2 OA , A 1+4k
16 16k2 2 得 x2 = . 2,yB= B 1+4k 1+4k2 y2 x2 将 x2 ,y2 代入 + =1 中, B B 16 4 得 4+k2 =1,即 4+k2=1+4k2, 1+4k2

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 12.解:(1)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2), F(c,0), 则 MF ,=(c-x1,-y1), FN ,=(x2-c,y2). 当 λ=1 时, MF ,= FN ,, ∴-y1=y2,x1+x2=2c. ∵M,N 两点在椭圆 C 上, y2 y2 1 2 2 ∴x1=a2?1-b2?,x2=a2?1-b2?, 2 ? ? ? ?
2 ∴x1=x2. 2

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若 x1=-x2,则 x1+x2=0≠2c(舍去), ∴x1=x2, ∴ MN ,=(0,2y2), AF ,=(c+4,0), ∴ MN ,· AF ,=0, ∴ MN ,⊥ AF

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(2)当 λ=1 时,由(1)知 x1=x2=c, b2 b2 ∴M?c, a ?,N?c,- a ?, ? ? ? ?

???? ? b2 ∴ AM ,=?c+4, a ?, ? ? ???? b2 AN ,=?c+4,- a ?, ? ? ???? ???? ? b4 106 ∴ AM · AN =(c+4)2-a2= 3 .(*)
c 6 ∵ = , a 3

3 c2 ∴a2= c2,b2= ,代入(*)式得 2 2 5 2 106 c +8c+16= , 6 3 58 ∴c=2 或 c=- (舍去). 5 ∴a2=6,b2=2, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 B级
2 2 1.选 C 由已知条件可得 a2-b2=a2-b2,可得 a2-a2=b2-b2,而 a1>a2,可知两椭 1 1 2 1 2 1 2 2 圆无公共点,即①正确;又 a2-a2=b1-b2,知②正确;由 a2-b2=a2-b2,可得 a2+b2= 1 2 2 1 1 2 1 2

a1 b1 b2+a2,则 a1b2,a2b1 的大小关系不确定, > 不正确,即③不正确;∵a1>b1>0,a2> 1 2 a2 b2 b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得 a1-a2<b1- b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④. a2 b2 y 2.解析:设 P? c ,y?,线段 F1P 的中点 Q 的坐标为?2c,2?,则直线 F1P 的斜率 kF1P ? ? ? ? = cy cy (b2-2c2≠0)由 2,当直线 QF2 的斜率存在时,设直线 QF2 的斜率为 kQF2= 2 a +c b -2c2
2

?a2+c2??2c2-b2? kF1P· 2=-1 得 y2= kQF ≥0,但注意到 b2-2c2≠0,故 2c2-b2>0,即 3c2 c2 1 3 -a2>0,即 e2> ,故 <e<1.当直线 QF2 的斜率不存在时,y=0,F2 为线段 PF1 的中点. 3 3 a2 3 3 由 -c=2c 得 e= ,综上得 ≤e<1. c 3 3 答案:? 3 ? ? 3 ,1?

3.解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

?y=k?x-1?, ? 由?x2 y2 消去 y 并整理得 ? ? 4 + 3 =1,
(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.

设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 4k2 所以 x3= = , 2 3+4k2 -3k y3=k(x3-1)= . 3+4k2 4k2 ? 3k 1? 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ 2 . 2=- x- k ? 3+4k ? 3+4k 在上述方程中,令 x=0,得 y0= k 1 . 2= 3+4k 3 +4k k

3 当 k<0 时, +4k≤-4 3; k 3 当 k>0 时, +4k≥4 3. k 所以- 3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? . ? 12 , 12 ?

综上,y0 的取值范围是?-


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