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双曲线的参数方程、抛物线的参数方程-选修IB

时间:2017-04-12


二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a

y
A o B

?
B'

?M
A' x

| OA ' |?

在?OAA '中,x ? a | OA |
cos ? ?

cos ?

? a ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

双曲线的参数方程
x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的参数方程为: 2 a b
a

y A B' o B b

?

?M
A' x

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

? 3? 通常规定? ? [0, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

说明:

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

练习:

1、求双曲线 {

x ? 2 3 sec? y ? 4 3 tan?

的两个焦点坐标。
(?2 15,0)

x ? 3sec ? 2、双曲线{ (?为参数)的渐近线方程为 _______ y ? tan ?

1 y?? x 3

例1、已知圆O : x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1上一点 P 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上一点Q,求 P、Q 两点距离的最小值

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec 2 ? ? (tan ? ? 2) 2 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3 ? 5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1
2 2 2 2

x2 y2 例2. 如图, 设 M 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 上任意一点, a b
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两 渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现什么结论?

b 解: 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x . 不妨设M为双曲 a 线右支上一点, 其坐标为 (a sec ? , b tan ? ) , 则直线MA的方 b 程为 y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ) a b 将 y ? x 代入上式, 解得点A的 a a 横坐标为 x A ? (sec ? ? tan ? ) 2
同理, 得点B的横坐标为

a xB ? (sec ? ? tan ? ). 2



?AOx ? ? , 则

b tan ? ? , a

所以,

MAOB 的面积为

xA xB S ?| OA | ? | OB | sin 2? ? ? ? sin 2? cos ? cos ? a 2 (sec 2 ? ? tan 2 ? ) ? ? sin 2? 2 4 cos ? 2 2 a a b ab ? ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点 M 在双曲线上的位置无关.

例3.设P是双曲线b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 (a ? 0, b ? 0)上任意一点, 过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交 a 2 ? b2 于点Q和R,求证: PQ PR ? 4

3、抛物线的参数方程
y M(x,y)

?
o x

设抛物线的普通方程为 y 2 ? 2 px...........(5) 因为点M 在?的终边上,根据三角函数的 y 定义可得 ? tan ? ..................................(6) x 2p x? tan 2 ? 由(5), (6)解出x, y,得到 (? 为参数) 2p y? tan ?

{

这就是抛物线 (5) (不包括顶点)的参数方程

1 如果令t ? , t ? (??, 0) ? (0, ??), 则有 tan ? 2 x ? 2 pt { (t为参数) y ? 2 pt 当t ? 0时,由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0, 0)因此当t ? (??, ??)时,参数方程就表 示抛物线。参数t 表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。

1、若曲线{

x ? 2 pt y ? 2 pt

2

(t为参数)上异于原点的不同

两点 M 1, M 2 所对应的参数分别是 t1 , t2 , 则弦 M 1M 2 所在直线的斜率是 ( c ) 1 A、t1 ? t2 B、t1 ? t2 C、 t1 ? t2 1 D、 t1 ? t2

2、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)上异于顶点的两动点,且 OA ? OB, OM ? AB并于 AB 相交于点M , 求点M 的轨迹方程。

y A

M
o B x

探究: 在 2中, 点 A, B 在什么位置时, ?AOB的面积 最小?最小值是多少 ?

3、 设M 为抛物线 y ? 2 x 上的动点, 给定点
2

M 0 (?1, 0), 点 P 为线段 M 0 M 的中点, 求点 P 的轨迹方程。

1、解:因为2a ? 15565, 2b ? 15443, 所以 a ? 7782.5, b ? 7721.5, 所求的椭圆的参数 方程为 x ? 7782.5cos ? { (?为参数) y ? 7721.5sin ?

2、 证明: 设M (a cos ? , b sin ? ), P( x p , 0), Q( xQ , 0), 因为P、Q分别为B1M , B2 M 与x轴的交点, 所以 K B1P ? K B1M , K B2Q ? K B2 M 由斜率公式计算得 a cos ? a cos ? xP ? , xQ ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 所以 OP ? OQ ? xP ? xQ ? a 为定值
2

3、证明:设等轴双曲线的普通方程为 x ? y ? a (a ? 0), 则它的参数方程为 x ? a sec ? { (?为参数) y ? a tan ?
2 2 2

设M (a sec ? , a tan ? )是双曲线上任意一点, 则 点M 到两渐近线y ? x, 及y ? ? x的距离之积为 a sec ? ? a tan ? 1?1 ? 2 ? a sec ? ? a tan ? 1?1 a ? (常数) 2
2

( a sec ? ) 2 ? ( a tan ? ) 2

4、证明:设点 A, B的坐标分别为 (2 pt12 ,2 pt1 )
2 2 (2 pt2 ,2 pt2 ), 则点C的坐标为(2 pt2 ,?2 pt2 )

1 2 直线AB的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt1 ) t1 ? t 2 所以点D的坐标为(?2 pt1t 2 ,0) 1 直线AC的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2 所以E的坐标为(2 pt1t 2 ,0) 因为DE的中点为原点 (0,0), 所以抛物线的顶点 O平分线段DE。

1 5、 解: 直线 OA的方程为 y ? kx, 直线OB的方程为y ? ? x k y ? kx 2p 2p 解方程组{ 2 得点A的坐标是( 2 , ) y ? 2 px k k 1 y?? x 2 解方程组{ 得点 B 的坐标是 (2 pk , ?2 pk ) k y 2 ? 2 px

设点M的坐标为( x, y )则 2p 2p 2 ? 2 pk ? 2 pk 2 p p 2 k k x? ? 2 ? pk , y ? ? ? pk 2 k 2 k 所以,线段AB的中点M的轨迹的参数方程是 p x ? 2 ? pk 2 k { (k为参数) p y ? ? pk k

? ?x=m+2cos? 6.已知椭圆C1 : ? (?为参数 )及 ? ?y= 3 sin ? 3 2 抛物线C2 : y ? 6( x ? ).若C1 ? C 2 ? ?, 2 求m的取值范围.


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