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2015-2016学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(7)(数列1)1


2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题



学(七) (数列 1)

命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.等差数列 ?a n ?满足 a2 ? 12, an ? ?20, d

? ?2, 则 n ? A.17 B.18 C.19 2. ?a n ?是等比数列,且 a2 ? 4, a6 ? 16 ,则 a4 ? A.8 A.4 B. ? 8 B .6 C. ? 8 D.20 D.10

2 3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a3 ? 2 ?1, a5 ? 2 ?1, 则 a3 ? 2a2a6 ? a3a7 ?

C .8 D. 8 ? 4 2 3 ? n2 4.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? log 2 ,那么 log 2 3 是这个数列的 4 A.第 6 项 B.第 5 项 C.第 4 项 D.第 3 项 5.已知两个数列 3,7,11,…,139 与 2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数 为 A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且 sn + an =2 n ( n ∈N*),则下列数列中一定是等比数列 的是 A.{ an } B.{ an -1} C.{ an -2} D.{ an +2}

7.已知函数 ?an ? 满足 a1 ? a, an ? an?1 ? 2 .定义数列 ?bn ? ,使得 bn ?

4 ? a ? 6 ,则数列 ?bn ? 的最大项为
A. b2 B. b3 C. b4 8.数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a6 ? 0 且数列 ?

1 , n ? N ? .若 an
D. b5

? 1 ? ? 是等差数列,则 a4 = a ? 1 ? n ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 6 2 4 a ? a5 1 9. 各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 且 a 2 , a 3 , a1 成等差数列, 则 4 的 2 a3 ? a 4
值为

1? 5 5 ?1 1? 5 1? 5 C. D . 或 2 2 2 2 10.设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 8a2 ? a5 ? 0 ,则下列式子中数值不能确定的是
A. B. A.

1? 5 2

11 已知正项等比数列 ?an ?满足: a7 =a6 ? 2a5 ,若存在两项 an , am 使得 am an ? 4a1 ,则
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a5 a3

B.

S5 S3

C.

S n ?1 Sn

D.

an?1 an

1 4 ? 的最小值为 m n 3 A. 2

B.

5 3

C.

25 6

D. 不存在

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , g ( x)

? f ( n) ? 31 f (1) f (?1) 5 ? ? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等 32 g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
于 A.4 B.5 C.6 D. 7 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 13.各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? a3 ? 27( 公式 a n ? .

1 1 ? ) ,则 ?an ?的通项 a 2 a3

14.等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a11 的值为 15.已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则

1 3

.

b2 . ? a1 ? a2 1 1 1 16.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) ,且 ? ?? ? ? 2 ,则 a1 a2 a2012 . a2013 ? 4a1 的最小值为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和. (Ⅰ) 若 a2 ? a9 ? 130, a4 ? a7 ? 31 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ?

Sn * , n ? N ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ). n

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18.已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (I)求数列{an}的通项公式 an; (II)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值.

19.已知函数 {an } 是首项为 2,公比为 项为 2 的等差数列. (1)求数列 {an },{bn } 的通项式 (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 sn 。

1 的等比数列,数列 {an ? bn } 是首项为-2,第三 2

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20.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (Ⅱ)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2

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21.已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,数列 {bn } 是等比数列, b1b2b3 ? 27 . (1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值.

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22. (1)已知两个等比数列 {an } , {bn } ,满足 a1 ? a(a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 2 , (1)求 a 的值; b3 ? a3 ? 3 ,若数列 {an } 唯一, (2)是否存在两个等比数列 {an } , {bn } ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成 公差不 为 0 的等差数列?若存在,求 {an } , {bn } 的通项公式,若不 存在,说明理由. . .

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2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(七)参考答案
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 A 答案 B A C D B C B 二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 13. 3
n ?1

9 B

10 C

11 A

12 B

14. 16

15.

3 10

16. ?

7 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 17.解(Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,由性质知 a2 ? a9 ? a4 ? a7 ? 31 , 所以 a2 , a9 是方程 x ? 31x ? 130 ? 0 的两个实数根,解得 x1 ? 5, x2 ? 26 ,
2

∴ a2 ? 5, a9 ? 26,? d ? 3,? an ? 3n ? 1 或 a2 ? 26, a9 ? 5, d ? ?3, an ? ?3n ? 32 即 an ? 3n ? 1 或 an ? ?3n ? 32

Sn n ?1 ?a? d n 2 1 2 3 2 ∵ b1,b2,b4 成等比数列,∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ? d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 1 2 1 1 1 ∴ ad ? d ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2 4 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2 ∴左边= S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a 右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a
(Ⅱ)证明:由题意知∴ S n ? na ?

n(n ? 1) d 2

∴ bn ?

∴左边=右边∴ Snk ? n2 Sk ( k , n ? N )成立
*

18.解: (1)?{an } 为等差数列,? a2 ? a5 ? a3 ? a4

?a2 ? a5 ? 15 ?a2 ? 6 ?a2 ? 9 解得 ? (因 d<0,舍去) ? ?? ?a5 ? 9 ?a5 ? 6 ?a2 ? a5 ? 54

?

?

d ? ?1 a1 ?1

? an ? 11? n.

(2)? a1 ? 10, an ? 11? n

? Sn ?

n(a1 ? a n ) 1 21 ? ? n 2 ? n. 2 2 2 1 21 又 ? ? 0 ,对称轴为 ,故当 学科网n = 10 或 11 时, 2 2
Sn 取得最大值,其最大值为 55. 1 19.解:(1)∵数列{ an }是首项 a1 =2,公比 q= 的等比数列, 2

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( ) n 1= 22?n , n ? N ? … ∴an=2·


1 2

依题意得数列{bn+an}的公差 d= ∴bn=2n-4- 2
2?n

2 ? ( ?2) =2,∴bn+an=-2+2(n-1)=2n-4, 2



1? 2? ?1-2n? ? 1 ? (2) 设 s n 为{ an }的前 n 项和,由(1)得 Sn= =4?1-2n?. 1 1- 2 则 Pn ?

n? N?

设数列{bn+an}的前 n 项和为 Pn .

n ( ?2 ? 2n ? 4) ? n( n ? 3) 2

1 1- n?=n2-3n-4+ 22?n ∴Tn=Pn-Sn=n(n-3)-4? ? 2? 20.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,则 ?4a1+6d=8a1+4d, ?a1=1, ? ? ? 解得? ? ? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1. ?d=2. * ∴an=2n-1,n∈N . 1 1 1 1 1 (Ⅱ)∵ = = ( - ), 2 anan+1 (2n-1)(2n+1) 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ = [(1- )+( - )+…+( - )]= (1- )< . a1a2 a2a3 3 3 5 2 anan+1 2 2n-1 2n+1 2n+1 2 21.解: (1)由题得 a2 ? 5, b2 ? 3 ,所以 a1 ? b2 ? 3 ,从而等差数列 {an } 的公差 d ? 2 , 所以 an ? 2n ? 1 ,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n ?1 . (2)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 a1 ? 5 ? d , b1 ?
a3 ? 5 ? d , b3 ? 3q .

3 , q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? ( a3 ? b3 ) ? ( a2 ? b2 ) 2 ? 64 . 设?

?a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , a ? b ? n ? 3 3

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?
解得 d ?

n ? m ? (m ? n ? 10) 2 ? 36 (舍去负根). 2
2

? a3 ? 5 ? d , ? 要 使 得 a3 最 大 , 即 需 要 d 最 大 , 即 n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取 最 大

值.? m, n ? N * , mn ? 64 ,
? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大值.
2

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2
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73 ? 7 61 2 22.解:(1)设 {an } 的公比为 q ,则 b1 ? 1 ? a , b2 ? 2 ? aq , b3 ? 3 ? aq2 ,

所以,最大的 a3 ?

由 b1, b2 , b3 成等比数列得 (2 ? aq)2 ? (1 ? a)(3 ? aq2 ) ,即 aq2 ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0 ,
2 由 a ? 0 得 ? ? 4a ? 4a ? 0 ,故方程有两个不同的实根,

1 . 3 (2)假设存在两个等比数列 {an } , {bn } 使 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等
再由 {an } 唯一,知方程必有一根为 0,将 q ? 0 代入方程得 a ? 差数列 设 {an } 的公比为 q1 , {bn } 的公比为 q2 , 则 b2 ? a2 ? b1q2 ? a1q1 , b3 ? a3 ? b1q22 ? a1q12 , b4 ? a4 ? b1q23 ? a1q13 , 由 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成等差数列得
2 2 ? ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1 ? a1 ? (b1q2 ? a1q1 ) ? 2 2 3 3 ? ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1q2 ? a1q1 ? (b1q2 ? a1q1 ) 2 2 ? ① ?b1 (q2 -1) ? a1 (q1 -1) ? 0 即? 2 2 ② ? ?b1q2 (q2 -1) ? a1q1 (q1 -1) ? 0 ① ? q2 ? ② 得 a1(q1 ? q2 )(q1 ? 1)2 ? 0

由 a1 ? 0 得 q1 ? q2 或 q1 ? 1 i)当 q1 ? q2 时,由①,②得 b1 ? a1 或 q1 ? q2 ? 1 ,这时 (b2 ? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 与公差不为 0 矛盾. ii)当 q1 ? 1 时, 由①,②得 b1 ? 0 或 q2 ? 1 ,这时 (b2 ? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 与公差不为 0 矛盾. 综上所述, 不存在两个等比数列 {an } , {bn } 使 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差数列.

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