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线性回归方程(教师版)


2.4 线性回归方程与回归分析(教师版) 一、基本内容 1. 在实际问题中,变量之间的常见关系有两类,一类是:________________________;另一 类是_________________________. 通过散点图可以判断两个变量之间是否具有相关关系: ①如果所有的样本点都落在某一函 数曲线上,则变量之间具有函数关系; ②如果所有的样本点都落在某一直线附近,则

变量之 间具有线性相关关系 2. 能用直线方程 ? y ? bx ? a 近似表示的相关关系叫做 ______________; 方程 ? y ? bx ? a 叫

做___________________.其中,b=

?x y
i ?1 n i

n

i

? nxy ? nx
2

?x
i ?1

, a ? y ? bx ,

2 i

3. (1)对于变量 x 与 y 随机抽取到的 n 对数据(x1,y1), (x2,y2),:…, (xn,yn),

?(x
样本相关系数 r=
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( yi ? y)
2

? ( xi ? x )

? ( y i ? y)
i ?1

n

?
2

?x y
i ?1 i n 2 i ?1

n

i

? nx y
n 2

(? xi2 ? n x )(? yi2 ? n y )
i ?1

(2) r 具有以下性质: (1)当 r>0 时,表明两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关; (2)当|r|≤1,并且|r|越接近 1 时,两个变量的线性相关程度越强;当|r|越接近 0 时,两个变 量的线性相关程度越弱; 二、例题分析 例 1. 由施肥量 x 与水稻产量 y 试验数据的关系,画出散点图,并指出是否为线性相关关系.

【解析】散点图为:

通过图象可知施肥量 x 与水稻产量 y 之间为线性相关关系. 【规律总结】 散点图能直观地反映两个变量是否存在相关关系,观察点的分布是否在某条 线周围集中,再看这条线是否是一条直线,从而判断是否具有相关关系或线性相关关系 【互动探究】 1.下面变量是线性相关的是





A.人的身高与视力 B.角的大小与所对的圆弧长 C.收入水平与纳税水平 D.人的年龄与身高 【解析】 B 中两个变量之间是函数关系,A,D 不具有线性关系, ∴选 C 2. 关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中,得到如下一组数据: 年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2 51 29.6

画出散点图,判断它们是否有相关关系. 【解析】 散点图如图
35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 脂肪

脂肪

由散点图可见,两者之间具有相关关系 例 2. 某工厂某产品产量 x (千件) 与单位成本 y (元) 满足回归直线方程 y ? 77.36 ? 1.82x , 则以下说法中正确的是 ( ) A.产量每增加 1000 件,单位成本下降 1.82 元 B.产量每减少 1000 件,单位成本上升 1.82 元 C.产量每增加 1000 件,单位成本上升 1.82 元 D.产量每减少 1000 件,单位成本下降 1.82 元 【解析】 根据系数的含义可得 A
^

? ? 1.5 x ? 2 , 【互动探究】 3.设有一个回归方程为 y 则变量 x 增加 1 个单位时,y 平均



单位 【解析】增加 1.5 单位 例 3. 一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间由如下一 组数据: x y 1.0 8 2.2 1.1 2 2.3 1.1 9 2.4 1.2 8 2.5 1.3 6 2.6 1.4 8 2.7 1.5 9 2.9 1.6 1 8 .80 3.0 3 1.8 7 3.2 1.9 8 3.3 2.07 3.5

5

7

0

5

4

5

2

3

.14

6

6

0

(1)画出散点图; ( 2)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归直线方程. (3) 试预测月产量为 4 万件时,总成本多少? 【解析】

i

1

2

3

4

5

6 1.48 2.75

7 1.59 2.92 4.643

8 1.68 3.03

9 1.80 3.14

10 1.87 3.26

11 1.98 3.36 6.653

12 2.07 3.50 7.245

xi yi xi yi

1.08 1.12 1.19 2.25 2.37 2.40

1.28 1.36 2.55 2.64

2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07

5.090 5.652 6.096

=



=

=2.8475,

=29.808,

=99.2081,

=54.243

(1)画出散点图:

? =bx+a,利用 (2)设回归直线方程 y

计算 a,b,得 b≈1.215, a= y -b x ≈0.974,
? =1.215x+0.974 ∴回归直线方程为: y

? =1.215×4+0.974=5.834(万 (3) 据上面求得的回归直线方程,当月产量为 4 万件时, y

元) 产品总成本为 5.834(万元) 【规律总结】求回归方程,关键是要按步骤进行,并注意运算的准确性;其步骤如下: (1)列表 xi , yi , xi yi , (2)计算 x, y, 归方程 【互动探究】 在某种产品表面进行腐蚀性实验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据: 时间 t(s) 深度 y( ? m) 5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46

?x
i ?1

12

2 i



?y
i ?1

12

2 i



?x
i ?1

12

2 2 i i

y (3)求出 b, a (4)求出回

(1) 画出散点图; (2) 试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程; (3) 试预测时间 t 为 140s 时,腐蚀深度是多少? 【解析】 (1)散点图如下图,呈直线形。
50 45 40 35

30 25 20 15 10 5
0 深度y( m)

0

20

40

60

80

100

120

140

(2)经计算可得

t =46.36, y =19.45, ? t i2 =36750, ? yi2 =5442, ? t i y i =13910
i ?1 i ?1 i ?1

11

11

11

?t y
B=
i ?1 11 i

11

i

? 11? ty
2

?t
i ?1

=

2 i

? 11? t

13910 ? 11 ? 46.36 ? 19.45 ? 0.3 36750 ? 11 ? 46.36 2

A= y -b t =19.45-03 ? 46.36 ? 5.542 故所求的回归直线方程为 y =0.3t+5.542
? =0.3×140+5.542=47.542 ( ? m) 3) 据上面求得的回归直线方程,当时间 t 为 140s 时, y 即腐蚀深度是 47.542 ( ? m)

?

? -85.7 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程, ? =0.85 x 例 4. (1)已知方程 y ?,y ? 的单位是 cm,kg,则该方程在样本(165,57)处的残差为________ 其中 x
? =57-(0.85×165-85.7)=2.45 【解析】 e ? y ? y
(2)测得 10 对某国父子身高(单位:英寸)如下: 父高 x 60 62 64 65 66 67 儿高 y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 68 67.4 70 68.3 72 70.1 74 70

(1)对变量 y 对 x 进行相关性检验; (2)如果 y 对 x 有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高 【解析】由于 x,y 的不确定关系,先进行相关关系检验,再求回归方程. (1) x =66.8 , y =67.01
10

?x
i ?1

10

2 i

? 44794

r= ?

?x y
i ?1 i 10 i ?1

i

? 10x y
10

?
2

44842 .2 ? 10 ? 4476 .27 (44794? 44622 .4)(44941? 44903 .4)

(? xi2 ? 10x )(? yi2 ? 10 y )
2 i ?1

=

79.7 6611 .748

? 0.98.1 又查表得 r0.05=0.632

因为 r>0.05,所以 y 与 x 之间具有线性相关关系.

? =a+bx (2) 设回归直线方程为 y

?x y
由 b=
i ?1 10 i

10

i

? 10x y ? 10x
2

?x
i ?1

?

2 i

44842 .4 ? 44762 .7 79.7 ? ? 0.4645 44794? 44622 .4 171.6

? =0.4645x+35.98 a= y ? b x =67.01-0.4645×66.8≈35.98, 故所求的回归直线方程为: y

? =0.4645×73+35.98=69.9 (3) 当 x=73 时, y
所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿子身高约为 69.9 英寸 【互动探究】 现随机抽取了我校 10 名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试中的 数学成绩(y) ,数据如下: 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 试问这 10 个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关关系? 【解析】易得 则相关系数为

? xi2 ? 116584, ? yi2 ? 47384, x ? 107.8 , y ? 68, ? xi yi ?73796.
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

? 0.7 5 0 .6 (116584? 10 ? 107.82 )(47384? 10 ? 682 ) 查表得相关关系临界值 r0.05 ? 0.6021,由 r ? r0.05 知,两次数学考试成绩有显著性的线
性相关关系. 三、课外练习 1. 某工厂某产品产量 x(万件)与单位成本 y(元)满足回归直线方程 y ? 80.36 ? 1.69x ,
^

r?

73796? 10 ? 107.8 ? 68

则以下说法中正确的是 A.产量每增加 10000 件,单位成本下降 1.69 元 B.产量每减少 10000 件,单位成本上升 1.69 元 C.产量每增加 10000 件,单位成本上升 1.69 元 D.产量每减少 10000 件,单位成本下降 1.69 元 【解析】 A





2. 从某大学随机抽取 8 名女大学生,其身高 x(cm) 和体重 y(kg) 的回归方程为

? ? 0.849x ? 85.712,则对身高为 172 的女大学生,由回归方程可以预报其体重( ) y
A .为 60.316 kg C.大于为 60.316 kg B.约为 60.316 kg D .小于为 60.316 kg

? ? 0.849?1.72 ? 85.712 ? 60.316 【解析】B y
3. (2007·广东江门模拟)两个相关变量满足如下关系: x 10 1003 15 1005 ( 20 1010 ) 25 1011 30 1014

y

两变量的回归直线方程为

A y = 0.56x +997.4 C

?

B D

? y = 0.63x -231.2 ? y = 60.4x +400.7

? y = 50.2x +501.4

【解析】 A ? b=

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx2

?x
i ?1

? 0.56, a ? y ? b x ? 997.4 ,? y = 0.56x +997.4

?

2 i

? ? 50 ? 80 x ,下列判 4. 工人月工资( x 元)与劳动生产率( x 千元)变化的回归直线方程为 y
断不正确的是 ( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,则工资提高 80 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,则工资提高 130 元 D.当月工资为 210 元时,劳动生产率为 2000 元

? ? 80?1 ? 50 ? 130 【解析】 C x ? 1, y
5. 学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:

x
y

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01 )

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(

A

y ? 2x ? 2

B

1 y ? ( )x 2

C

y?log 2 x

D

y?

1 2 (x ? 1 ) 2

【解析】 D 出的 y 的值.

将自变量 x 的值分别代入四个函数,可发现 y ?

1 2 ( x ? 1) 的函数值最接近给 2

6. 对于线性相关系数 r,叙述正确的是 ( ) A |r|∈(0,+∞), |r|越大,相关程度越大,反之,相关程度越小 B |r|∈(-∞,+∞), r 越大,相关程度越大,反之,相关程度越小 C |r|≤1 且|r|越接近 1,相关程度越大,|r|越接近 0,相关程度越小 D 以上说法都不对 【解析】C 7. 一位母亲记录了儿子 3—9 岁的身高,数据(略) ,由此建立的身高与年龄的回归模型为 y=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( A 身高一定是 145.83cm B 身高在 145.83cm 以上 C 身高在 145.83cm 左右 D 身高在 145.83cm 以下 【解析】C[用回归模型 y=7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是个确定值] 8. 现有 5 组数据 A(1,3) 、 B(2,4) 、 C (4,5)、 D(3,10) 、 E (10,12) ,去掉 后,剩下的 4 组数据的线性相关性最大 【解析】 :作出散点图,可发现应去掉 D(3,10) 数据.作出散点图,可发现应去掉 D(3,10) 组数据 )

数据. 9. 某单位为了了解用电量 y (度)与气温 x( ?C) 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温,并制作了对比表: 18 24 13 34 10 38 -1 64

气温 ( ?C ) 用电量

由表中数据,得线性回归方程 ? y ? ?2x ? a ,则 a ? ___________ . 【解析】 :60. x ? 10 , y ? 40 ,所以, a ? 10. 10. 某市近 10 年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下: 年 份 1993 1 1994 1.2 7 1995 1.6 9.8 1996 1.8 12 1997 2 12.1 1998 2.5 14.5 1999 3.2 20 2000 4 24 2001 4.2 25.4 2002 4.5 27.5

x 用户(万户)

Y(百万立方米) 6
(1)画出散点图; (2)求回归方程;

(3)若市政府下一步再扩大 5 千煤气用户,试预测该市煤气消耗量将达到多少 【解析】 作出散点图(如下图) ,

煤 气 消 耗 量 ( 百 万 立 方 米 ) 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 0 0

1

3 4 5 煤 气 使 用 户 数 ( 万 户 ) y = 6 . 0 5 7 3 x+ 0 . 0 8 1 1 r= 0 . 9 9 6 1
2

2

? =0.08+6.06x; (2) y
? =30.38,所以煤气量约达 3038 万立方米. (3)x0=4.5+0.5=5,代入得 y
11. 下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用 y (万元)的几组统计数据:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

(1)请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y

?x ? a ?; 关于 x 的线性回归方程 y ? b
(3)估计使用年限为 10 年时,维修费用为多少? (参考数值: 2 ? 2.2 ? 3 ? 3.8 ? 4 ? 5.5 ? 5 ? 6.5 ? 6 ? 7.0 ? 112 .3 ) 【解析】(1)略 (2) ?

?x
i ?1

5

2

i

?4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 36 ? 90 ,

且 x ? 4, y ? 5, n ? 5 ,……6 分

?? ?b

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 ? ? 1.23 ……7 分 90 ? 5 ?16 10

? ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 ……8 分 a
∴回归直线为 y ? 1.23x ? 0.08 .……9 分 (3)当 x ? 10 时, y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38 ,……11 分 所以估计当使用 10 年时,维修费用约为 12.38 万元.……12 分 12. 一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一 些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验 的结果: 转速 x(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5 (1)变量 y 对 x 进行相关性检验; (2)如果 y 对 x 有线性相关关系,求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度 应控制在什么范围内? 【解析】 (1)r=0.995,所以 y 与 x 有线性性相关关系 (2)y=0.7286x-0.8571 (3)x 小于等于 14.9013


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