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山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编11:函数的应用问题 Word版含答案

时间:2013-12-26


山东省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 11:函数的 应用问题
一、填空题 1 . (山东省临朐七中 2014 届高三暑假自主学习效果抽测(二)数学试题)某工厂 8 年来某产

品产量 y 与时间 t 年的函数关系如下图,则:
y

O

3

8

>
t

①前 3 年总产量增长速度增长速度越来越快; ②前 3 年中总产量增长速度越来越慢; ③第 3 年后,这种产品停止生产; ④第 3 年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是__________________. 【答案】①④
二、解答题 2 . (山东省淄博第五中学 2014 届高三 10 月份第一次质检数学(理)试题)某上市股票在 30

天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两 条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如 右表所示. (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求 出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

?1 * ? 5 t ? 2,0 ? t ? 20, t ? N . ? 【答案】(1) P ? ? ?? 1 t ? 8,20 ? t ? 30, t ? N * . ? 10 ?
(2)设 Q ? at ? b(a, b为常数), 将(4,36)与(10,30) 的坐标代入,

得?

?4a ? b ? 36, 解得a ? ?1, b ? 40. ?10a ? b ? 30.

日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q ? 40 ? t ,0 ? t ? 30, t ? N* .

?1 ?( 5 t ? 2) ? (40 ? t ),0 ? t ? 20. ? y?? (3)由(1)(2)可得 ?(? 1 t ? 8) ? (40 ? t ),20 ? t ? 30. ? 10 ? ? 1 2 * ?? 5 t ? 6t ? 80,0 ? t ? 20, t ? N . ? 即y?? ? 1 t 2 ? 12t ? 320,20 ? t ? 30, t ? N * . ?10 ?
当 0 ? t ? 20 ,当t ? 15 , ymax ? 125; 时 时 当 20 ? t ? 30时, y ?

1 2 t ? 12t ? 320 在?20,30 ?上是减函数, 10

y ? y(20) ? y(15) ? 125.
所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元
3 . (山东省烟台市莱州一中 2014 届高三 10 月阶段测试数学试题(理) 已知一家公司生产某 )

种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元. 设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10 ? 且 R ? x? ? ? ?108 ? 1000 , x ? 10 ? x 3x 2 ?
(1)写出年复兴 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大. (注:年利润=年销售收入-年总成本)
【答案】.

4 . (山东省文登市 2014 届高三上学期期中统考数学(理)试题)新晨投资公司拟投资开发某

项新产品,市场评估能获得 10 ? 1000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课 题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金 不低于 1 万元,同时不超过投资收益的 20% . (Ⅰ)设奖励方案的函数模型为 f ( x) ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型

f ( x) 的基本要求.
(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: ① f ( x) ?

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知,公司对奖励方案的函数模型

x ?2; 150

② f ( x) ? 4 lg x ? 2.

f ( x) 的基本要求是:

当 x ? ?10,1000? 时, ① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 1 恒成立;③ f ? x ? ? (Ⅱ)①对于函数模型 f ? x ? ?

x 恒成立 5

x ? 2 :当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数, 150

则 f ? x ? ? 1 显然恒成立 而若使函数 f ( x) ?

(29x)min

x x ? 2 ? 在 ?10,1000? 上恒成立,整理即 29x ? 300 恒成立,而 150 5 x ? 290 ,∴ f ? x ? ? 不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. 5

②对于函数模型 f ? x ? ? 4 lg x ? 2 : 当 x ? ?10,1000? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ? min ? f ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 1 . ∴ f ? x ? ? 1 恒成立 设 g ? x ? ? 4 lg x ? 2 ? 当 x ? 10 时, g ? ? x ? ? 是减函数, 从而 g ? x ? ? g ?10 ? ? 4 lg10 ? 2 ? 2 ? 0 . ∴ 4 lg x ? 2 ?

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ? ? x ? ? 5 x 5
4 lg e 1 2 lg e ? 1 lg e 2 ? 1 ? ? ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?10,1000? 上 x 5 5 5

x x x ? 0 ,即 4 lg x ? 2 ? ,∴ f ? x ? ? 恒成立. 5 5 5

故该函数模型符合公司要求
5 . (山东省潍坊市诸城一中 2014 届高三 10 月阶段性测试数学(理)试题)已知一企业生产某

产品的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设该企业年内共生产此种 产 品 x 千 件 , 并 且 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 f(x) 万 元 , 且

1 2 ? ?10.8 ? 30 x ? 0 ? x ? 10 ? ? ? ?108 ? 1000 ? x ? 10 ? ? x 3x 2 ?
(I)写出年利润 P(万元)关于年产品 x(千件)的函数解析式; (II)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入—年总成本)
【答案】

6 . (山东省实验中学 2014 届高三上学期第二次诊断性测试数学(理)试题)已知一家公司生

产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一 年 内 生 产 该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R(x) 万 元 , 且

1 ? 10.8 ? x 2 , 0 ? x ? 10 ? ? 30 R ? x? ? ? 108 1000 ? ? 2 , x ? 10 ? x 3x ?
(I)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (II)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大.
【答案】

7 . (山东省日照市第一中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)提高过江大桥的

车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千 米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小 时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 【答案】解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

1 200 再由已知得 200a+b=0,20a+b=60,解得 a=- 3 ,b= 3 .

0 ? x<20 ?60, ? v(x)= ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? 故函数 v(x)的表达式为
(2)依题意并由(1)可得

0 ? x<20 ?60x, ? f(x)= ? 1 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? .
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;

1 1 x+200 ? x 2 10000 f(x)= x(200 ? x) f(x)= ( ) ? 3 3 2 3 , 当 20≤x≤200 时, ≤
当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.

10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 3 . 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 3 ≈3333,
即当车流密度为 100 辆/千米时 ,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 8 . (山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)某连锁分店销售某种商品, 每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费,预计当每件 商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x)2 万件. (Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大 值. 【答案】解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的 函数关系式为 L( x) ? ( x ? 4 ? a)(10 ? x) , x ?[7,9]
2

(Ⅱ) L?( x) ? (10 ? x) ? 2( x ? 4 ? a)(10 ? x)
2

? (10 ? x)(18 ? 2a ? 3x),
2 a 或 x ? 10 3 20 2 ?1 ? a ? 3,? ? 6 ? a ? 8 . 3 3 3 2 ①当 6 ? a ? 7 ,即 1 ? a ? 时, 2 3
令 L ( x) ? 0 ,得 x ? 6 ?
'

? x ? [7,9] 时, L?( x) ? 0 , L( x) 在 x ? [7,9] 上单调递减,
故 L( x)max ? L(7) ? 27 ? 9a ②当 6 ?

2 3 a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2

2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 3 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? ) 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 2 27 ? 9a 万元; 2 3 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 3 2 a 3 4(2 ? ) 万元 3
9 . (山东省临沂市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)某厂以 x 千克/小时的速度

匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得的利润是100 ? 4 x ? 1 ?

? ?

3? ? x?

元. (I)要使生产该产品 1 小时获得的利润不低于 1200 元,求 x 的取值范围; (II)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润.
【答案】

10. (山东省临朐七中 2014 届高三暑假自主学习效果抽测(二)数学试题)某单位用 2160 万元

购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层.每层 2000 平方米的楼房.经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x( 单位:元).为使 楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
购地总费用 建筑总面积 ) (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

【答案】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ? 10800 , x2

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? Z ? ? 2000 x x
令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.
11. (山东省聊城市东阿一中 2014 届高三 10 月模块测试数学(理)试题)时下,网校教学越来

越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每 日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式

y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售 x?2

出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)
【答案】

所以 x ?

10 是函数 f (x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点, 3

所以当 x ?

10 ? 3.3 时,函数 f (x) 取得最大值. 3

故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
12. (山东省桓台第二中学 2014 届高三第二次阶段性测试数学试题)提高过江大桥的车辆通行

能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时) 是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞, 此时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米,/小时,研究表明: 当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时
【答案】(1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b.

1 ? ?a ? ? 3 , ?200a ? b ? 0, ? 再由已知得 ? 解得 ? 20a ? b ? 60. ? ?b ? 200 . ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ?

13. (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考数学(理)试题)本小题满分 12 分

某地

建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和 桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记 余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?
【答案】

14. (山东省德州市 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)统计表明某型号汽车在匀速

行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数为

y?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) . 128000 80

(1)当 x ? 64 千米/小时时,要行驶 100 千米耗油量多少升? (2)若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?
【答案】解:(1)当 x ? 64 千米/小时时,要行驶 100 千米需要

100 25 ? 小时 64 16

要耗油(

1 3 25 ? 643 ? ? 64 ? 8) ? ? 11.95(升) 128000 80 16

(2)设 22.5 升油该型号汽车可行驶 a 千米,由题意得

1 3 a ( x3 ? ? x ? 8) ? 22.5 ? 128000 80 x 22.5 ?a ? 1 8 3 x2 ? ? 128000 x 80 1 8 3 x2 ? ? 设 h( x ) ? 128000 x 80
则当 h( x) 最小时, a 取最大值, 由 h?( x) ?

1 8 x3 ? 803 x2 ? 2 ? 64000 x 64000 x 2

令 h?( x) ? 0 ? x ? 80 当 x ? (0,80) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (80,120) 时, h?( x) ? 0 故当 x ? (0,80) 时,函数 h( x) 为减函数,当 x ? (80,120) 时,函数 h( x) 为增函数 所以当 x ? 80 时, h( x) 取得最小值,此时 a 取最大值为

?a ?

22.5 1 8 3 ? 802 ? ? 128000 80 80

? 200

答:若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米.
15. (山东省单县第五中学 2014 届高三第二次阶段性检测试题(数理)) 某地建一座桥,两端的桥

墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一 个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用 为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小 【答案】解:(1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m, 即 n= -1(0<x<m), 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x

m x

? ? =256? -1?+ (2+ x)x
m m

?x

? x

=

256m +m x+2m-256 (0<x<m)

x

256m m (2)由(1)知 f′(x)=- 2 + ,

x

2 x

3

令 f′(x)=0,得 x 2 =512,所以 x=64. 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当 64<x<640 时,f′(x)>0, f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,

m 640 此时,n= -1= -1=9. x 64
故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小
16. (山东省滨州市北镇中学 2014 届高三 10 月阶段性检测数学(理)试题)某民营企业生产

A.B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 产品 的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元) (1)分别将 A.B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A.B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

(甲)

(乙) 【答案】 解:(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f (x) 万元,B 产品的利润为 g (x) 万 元 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x 由图知 f (1) ?

1 4

? k1 ?

1 4 g ( x) ? 5 x ( x ? 0) 4

又g (4) ?

5 5 1 ,? k 2 ? ,? f ( x) ? x( x ? 0) 2 4 4

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元;设企业利润为 y 万元.

x 5 ? 10 ? x ,? (0 ? x ? 10) 4 4 10 ? t 2 5 1 5 65 令 10 ? x ? t , 则y ? ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16 5 65 25 当t ? 时, y max ? , 此时x ? 10 ? ? 3.75 2 16 4 y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
答:当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约

65 万元. 16

17. (山东省(中学联盟)济宁一中 2014 届高三 10 月月考数学(理)试题)某时令蔬菜,由历

年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,市场售价与上市时间的关系用图 1 的一条折 线表示;种植成本与上市时间的关系用图 2 的抛物线段表示. (1)写出图 1 表示的市场售价与时间的函数关系 P ? f (t ) ; 写出图 2 表示种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市纯收益最大?

(注:市场售价和种植成本的单位:元 / 10 kg ,时间单位:天) 解:由图象求出函数解析式并明确收益与售价和成本的关系: (Ⅰ)由图 1 可得市场售价与时间的函数关系为:
【答案】

2

0 ?300 ? t,? t ? 200 , f (t ) ? ? ?2t ? 300, 200 ? t ? 300
由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为:

g (t ) ?

1 (t ? 150 ) 2 ? 100 (0 ? t ? 300 ) 200

(Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得: h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,

? 1 2 1 175 0 ?? 200 t ? 2 t ? 2 , ? t ? 200 ? 即: h(t ) ? ? , 1 2 7 1025 ?? t ? t? , ? t ? 300 200 ? 200 2 2 ?

当 (0 ? t ? 200) 时,配方整理得: h(t ) ? ?

1 (t ? 50) 2 ? 100 , 200

所以,当 t ? 50 时, h(t ) 取得区间 [0, 200] 上的最大值 100 . 当 200 ? t ? 300 时,配方整理得: h(t ) ? ?

1 (t ? 350 ) 2 ? 100 200

所以,当 t ? 300 时, h(t ) 取得区间 [200, 300] 上的最大值 87 .5 . 综上所述,在区间 [0, 300] 上可以取得最大值 100 ,此时 t ? 50 , 即从二月一日开始的第 50 天时,上市纯收益最大.


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