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2014人教数学必修五【课件】 2.4等比数列(一)

时间:2013-08-18


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§2.4(一)

【学习目标】 1.通过实例,理解等比数列的概念并会应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.理解等比数列的通项公式及推导.
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【学法指导】 1.要善于通过实例的观察、分析、归纳,提炼等比数列的 概念. 2.学习等比数列时,要注意与等差数列

进行类比,掌握两 个数列的联系与区别. 3.由等差中项类比得到等比中项时,要注意等比中项的存 在前提是a,b必须同号,而且同号的两个数的等比中项 有两个,它们互为相反数,这点与等差中项不同.

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.4(一)

1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 比都等
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于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫 做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 q 表示(q≠0). an+1 2.{an}成等比数列? a =q(n∈N*,q≠0). n 3.等比中项的定义 如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的 等比中项 , 且G= ± ab .

an=a1qn-1 . 4.等比数列的通项公式:

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§2.4(一)

探究点一

等比数列的概念

观察下面几个数列:
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①1,2,4,8,16,? 1 1 1 1 ②1, , , , ,? 2 4 8 16 ③1,-1,1,-1,1,? 1 ④ ,-1,2,-4,8,? 2 上面这几组数列的共同点是:从第2项起,每一项与前一项的比

都等于同一个非零的常数 ________________________.像这样的数列,就叫做等比数
列.这个非零常数叫做等比数列的 公比 .

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§2.4(一)

①③ 问题 下列所给数列中,等比数列的序号是________.
①1,1,1,1,1,?.
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②0,1,2,4,8,?. ③2- 3,-1,2+ 3,?. 1 ④ ,2,4,8,16,?. 2

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§2.4(一)

探究点二
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等比中项

问题 请你类比等差中项的概念,给出等比中项的概念.
答案 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项.

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探究

§2.4(一)

下表是等差中项与等比中项概念的对比,请填充完整. 等差中项 若a,A,b成等差数 定义 列,则A叫做a与b的 等差中项 等比中项 若a,G,b成 等比 数列, 则G叫做a与b的等比中项

对比项

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定义式 公式 个数 备注

A-a=b-A a+b A= 2

G b a =G
G=± ab

a与b的等比中项有 两 个, a与b的等差中项唯一 且互为 相反数 任意两个数a与b都有 只有当 ab>0 时,a与b才 等差中项 有等比中项

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§2.4(一)

探究点三 等比数列的通项公式 问题 如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,你能用归纳的方
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法给出数列{an}的通项公式吗?
答案 根据等比数列的定义知: a1=a1q0,a2=a1q,a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,?, 一般地,有an=a1qn-1.

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§2.4(一)

探究 除了利用归纳法,你还有其它的方法推导等比数列的通项 公式吗?
答案 根据等比数列的定义得: a2 a3 a4 an =q,a =q,a =q,?, =q. a1 an-1 2 3

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将上面n-1个等式的左、右两边分别相乘, a2 a3 a4 an 得a · · · ?· =qn-1, an-1 1 a2 a3 an 化简得a =qn-1,即an=a1qn-1. 1
当n=1时,上面的等式也成立.

∴an=a1qn-1(n∈N*).

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【典型例题】 例1 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=-2,求a6; (2)已知a3=20,a6=160,求an.
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§2.4(一)



(1)由等比数列的通项公式,得


a6=3×(-2)6 1=-96.
?a q2=20 ? 1 (2)设等比数列的公比为q,那么? 5 ?a1q =160 ? ?q=2 ? ,解得? ?a1=5 ?

.

所以an=a1qn-1=5×2n-1.
小结 等比数列的通项公式an=a1qn-1中有四个量a1,q,n,

an.已知其中三个量可求得第四个,简称“知三求一”.

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§2.4(一)

20 跟踪训练1 已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求{an}的 3 通项公式.
解 设等比数列{an}的公比为q,则q≠0.
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a3 2 2 20 a2= q =q,a4=a3q=2q,∴q+2q= 3 .
1 解得q1=3,q2=3. ?1? - 1 当q= 时,a1=18,∴an=18×?3?n 1=2×33-n. 3 ? ?

2 2 当q=3时,a1= ,∴an= ×3n-1=2×3n-3. 9 9 1 综上,当q= 时,an=2×33-n; 3 当q=3时,an=2×3n 3.


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§2.4(一)

例2 在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列,求这3 个数.
解 设插入的三个数为a2,a3,a4,由题意得243,a2,a3,a4,3
5-1

成等比数列.
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设公比为q,则3=243· q

1 ,解得q=± . 3

1 当q=3时,a2=81,a3=27,a4=9; 1 当q=-3时,a2=-81,a3=27,a4=-9. 因此,所求三个数为81,27,9或-81,27,-9.
小结 利用等比数列的通项公式求各项时,要注意选取的首项

a1与项数n的对应关系,计算各项时注意防止序号出错.

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§2.4(一)

跟踪训练2

8 27 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列, 3 2

则插入的三个数的乘积为________. 216
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解析 设这个等比数列为{an},公比为q,
8 27 a5 81 4 a1=3,a5= 2 ,则q =a =16, 1
9 ∴q2=4.
∴a2·3·4=a1q·1q ·1q a a a a
2 3

83 93 3 6 =a1· =( ) ×( ) =63=216. q 3 4

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§2.4(一)

例3 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数 列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数 的和是12,求这四个数.
?a+d?2 解 方法一 设四个数依次为a-d,a,a+d, , a
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?a+d?2 ? ?a-d+ a =16, 由条件得? ?a+?a+d?=12. ?
?a=4, ? 解得? ?d=4, ? ?a=9, ? 或? ?d=-6. ?

所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

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2a a 方法二 设四个数依次为 q -a,q,a,aq(q≠0),
?2a ? q -a+aq=16 由条件得? ?a+a=12 ?q
?a=8 ? ,解得? ?q=2 ?

§2.4(一)

?a=3 ? 或? 1 . ?q=3 ?

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当a=8,q=2时,所求四个数为0,4,8,16;
1 当a=3,q= 时,所求四个数为15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

小结 合理地设出所求数中的三个,根据题意得出另一个是解决 a 这类问题的关键.一般地,三个数成等比数列,可设为 q ,a, aq;三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d.

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§2.4(一)

跟踪训练3 有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数 列,首末两项和为21,中间两项和为18,求这四个数.

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设这四个数分别为x,y,18-y,21-x,


?y2=x?18-y? ? 则由题意得? ?2?18-y?=y+?21-x? ?

? 75 ?x=3, ?x= 4 , ? 解得? 或? ?y=6 ? ?y=45. 4 ?

75 45 27 9 故所求的四个数为3,6,12,18或 4 , 4 , 4 ,4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§2.4(一)

1.在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3等于
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A.4
解析

B.8
?a ?q4-1?=15 ? 1 由? ?a1?q3-q?=6 ?

C.-4或4
?q=2 ? ,解得? ?a1=1 ?

( C ) D.-8或8
? 1 ?q= 或? 2 . ?a1=-16 ?

?a =1 ? 1 当? ?q=2 ?

?a1=-16 ? 时,a3=4;当? 1 时,a3=-4. ?q=2 ?

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§2.4(一)

2.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比 数列,则该等比数列的公比q为 1 1 A. B.3 C.± 3 3 ( B ) D.± 3

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解析 设等差数列为{an},公差为d,d≠0.
则a2=a2·6,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d), a 3 化简得d2=-2a1d,∵d≠0,∴d=-2a1, a3 ∴a2=-a1,a3=-3a1,∴q=a =3. 2

练一练·当堂检测、目标达成落实处 -60或60 3.45和80的等比中项为___________.
解析 设45和80的等比中项为G,则 G2=45×80,∴G=± 60.
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§2.4(一)

4.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数

80,40,20,10 列,则这4个数依次为______________.
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,
1 1 ∴q =32,∴q=2.
5

∴这4个数依次为80,40,20,10.

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§2.4(一)

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1.由等比数列的概念可知,要判定一个数列是否为等比数列, an+1 an+1 只需看 a 的比值是否为不为零的常数即可,也就是看 a n n =q(q≠0)是否对任意的正整数n都成立. 2.两个同号的实数a、b才有等比中项,而且它们的等比中项有 两个(± ab),而不是一个( ab),这是容易忽视的地方. 3.等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1,q,n,an四个量, 已知其中三个量可求得第四个量.


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